Cálculo III - Integral por Substituição e por Partes

U n i O p e t CÁLCULO III Prof Fernanda Medeiros Assef Email fernandaassefuniopetedubr Tel 041 999384536 U n i O p e t 121209 2 INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO න 𝟐𝒙 𝟏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟐 𝟐𝒙 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒖 𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝟐𝒙 𝒅𝒖 𝟐𝒙 𝒅𝒙 න 𝟐𝒙 𝟏 𝒖 𝒅𝒙 න 𝟏 𝒖 𝟐𝒙𝒅𝒙 න 𝟏 𝒖 𝒅𝒖 න 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒍𝒏𝒖 𝑪 𝒖 𝒙 𝒙𝟐 𝒍𝒏 𝒖 𝑪 𝒍𝒏𝒙𝟐 𝑪 න 𝟐𝒙 𝟏 𝒖 𝒅𝒙 U n i O p e t 121209 3 INTEGRAL POR PARTES 𝑹𝒆𝒈𝒓𝒂 𝒅𝒐 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 derivadas 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒉𝒙 𝒇𝒙 𝒉 𝒙 𝒈𝒙 𝒈 𝒙 𝒉𝒙 න 𝒉 𝒙 𝒈𝒙 𝒈 𝒙 𝒉𝒙 𝒅𝒙 𝒈𝒙 𝒉𝒙 න 𝒉 𝒙 𝒈𝒙 𝒅𝒙 න 𝒈 𝒙 𝒉𝒙𝒅𝒙 𝒈𝒙 𝒉𝒙 න 𝒉 𝒙 𝒈𝒙 𝒅𝒙 𝒈𝒙 𝒉𝒙 න 𝒈 𝒙 𝒉𝒙𝒅𝒙 𝒖 𝒉𝒙 𝒗 𝒈𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝒉𝒙 𝒅𝒗 𝒅𝒙 𝒈𝒙 𝒅𝒖 𝒉 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒗 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 න 𝒖𝒅𝒗 𝒖𝒗 න 𝒗𝒅𝒖 U n i O p e t CORREÇÃO PÓSAULA U n i O p e t 121209 5 1 Os dados de vendas de uma empresa mostram que a taxa de variação da receita receita marginal em reais por produto é 𝑅𝑀 300 02𝑥 onde 𝑥 representa a quantidade vendida Encontre a função de receita total do produto Depois encontre a receita total 𝑅𝑇𝑥 para a venda de 1000 unidades do produto Sabese que 𝑅𝑀 𝑅𝑇𝑥 𝑹𝑴 𝟑𝟎𝟎 𝟎 𝟐𝒙 𝑹𝑻𝒙 න 𝟑𝟎𝟎 𝟎 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝑹𝑻 𝒙 න 𝟑𝟎𝟎𝒅𝒙 න 𝟎 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝑹𝑻 𝒙 𝟑𝟎𝟎𝒙 𝟎 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝑪 A Receita de um Produto sempre depende da quantidade de produto 𝒙 𝟎 𝑹𝑻 𝒙 𝟎 𝑹𝑻 𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟐 𝟎𝟐 𝟐 𝑪 𝟎 𝑪 𝟎 𝑹𝑻 𝒙 𝟑𝟎𝟎𝒙 𝟎 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 Calcular a Receita para 𝑥 1000 𝑹𝑻 𝒙 𝟑𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟐 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟐 𝟐 𝑹𝑻 𝒙 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 U n i O p e t 121209 6 2 Suponha que a taxa de variação no valor de uma casa que custa inicialmente 𝑅 10000000 possa ser modulada por 𝑑𝑉 𝑑𝑡 77 𝑒0077𝑡 onde 𝑉 é o valor de mercado dessa casa em milhares de reais e 𝑡 é o tempo em anos desde que esse imóvel foi comprado Primeiramente encontre a função 𝑉𝑡 e em seguida apresente o valor dessa casa após 10 anos 𝒅𝑽 𝒅𝒕 𝟕 𝟕 𝒆𝟎𝟎𝟕𝟕𝒕 𝑽𝒕 න 𝟕 𝟕 𝒆𝟎𝟎𝟕𝟕𝒕𝒅𝒕 𝒖 𝟎 𝟎𝟕𝟕𝒕 𝒅𝒖 𝒅𝒕 𝟎 𝟎𝟕𝟕 𝒅𝒖 𝟎 𝟎𝟕𝟕 𝒅𝒕 𝒅𝒖 𝟎 𝟎𝟕𝟕 𝒅𝒕 𝑽 න 𝟕 𝟕 𝒆𝒖𝒅𝒖 𝟎 𝟎𝟕𝟕 𝑽 𝟕 𝟕 𝟎 𝟎𝟕𝟕 න 𝒆𝒖𝒅𝒖 𝑽 𝟕 𝟕 𝟎 𝟎𝟕𝟕 𝒆𝒖 𝑪 𝑽 𝟏𝟎𝟎𝒆𝟎𝟎𝟕𝟕𝒕 𝑪 𝑽 𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝒆𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎 𝑪 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝑪 𝟏𝟎𝟎 𝑪 𝟎 𝑽 𝒕 𝟏𝟎𝟎𝒆𝟎𝟎𝟕𝟕𝒕 𝑽 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎𝒆𝟎𝟎𝟕𝟕𝟏𝟎 𝑽 𝟏𝟎 𝟐𝟏𝟓 𝟗𝟕 Como V está em milhares de Reais 𝑽 𝒂𝒑ó𝒔 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒐𝒔 𝟐𝟏𝟓 𝟗𝟕 𝟏𝟎𝟑 𝑽 𝒂𝒑ó𝒔 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒐𝒔 𝟐𝟏𝟓𝟗𝟕𝟎 U n i O p e t 121209 7 3 Suponha que 𝐶𝑀 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 101 𝑥 190 001 e 𝑅𝑀 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 1 2𝑥1 2 onde 𝑥 é a quantidade de unidades vendidas em milhares e tanto a receita quanto o custo estão em milhares de reais Além disso suponha que os custos fixos sejam de 𝑅10023600 e que a produção está limitada a no máximo 180𝑚𝑖𝑙 unidades Encontre os valores do custo total receita total e lucro total em relação a esse produto 𝑪𝑴 𝟏 𝟎𝟏 𝒙 𝟏𝟗𝟎 𝟎𝟎𝟏 Encontrar Custo Total 𝑪𝑻 න 𝟏 𝟎𝟏 𝒙 𝟏𝟗𝟎 𝟎𝟎𝟏𝒅𝒙 𝒖 𝒙 𝟏𝟗𝟎 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝑪𝑻 𝟏 𝟎𝟏 න 𝒖 𝟎𝟎𝟏𝒅𝒖 𝑪𝑻 𝟏 𝟎𝟏 𝒙 𝟏𝟗𝟎𝟏𝟎𝟏 𝟏 𝟎𝟏 𝑪 Custo fixo Independe da Produção Custo fixo Constante mesmo se x0 𝑪𝑻 𝟎 𝟎 𝟏𝟗𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝑪 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟑𝟔 𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟑𝟓 𝑪 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟑𝟔 𝑪 𝟏𝟎𝟎 𝑪𝑻 𝒙 𝟏𝟗𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 Encontrar Receita Total 𝑹𝑴 𝟏 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝑹𝑻 න 𝟏 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝒖 𝟐𝒙 𝟏 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝟐 𝒅𝒖 𝟐𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝟐 𝒅𝒙 𝑹𝑻 න 𝟏 𝟐𝒙 𝟏 𝒅𝒙 න 𝟐 𝒅𝒙 𝑹𝑻 න 𝟏 𝒖 𝒅𝒖 𝟐 𝟐𝒙 𝑪 𝑹𝑻 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝑪 𝑹𝑻 𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝑪 U n i O p e t 121209 8 3 Suponha que 𝐶𝑀 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 101 𝑥 190 001 e 𝑅𝑀 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 1 2𝑥1 2 onde 𝑥 é a quantidade de unidades vendidas em milhares e tanto a receita quanto o custo estão em milhares de reais Além disso suponha que os custos fixos sejam de 𝑅10023600 e que a produção está limitada a no máximo 180𝑚𝑖𝑙 unidades Encontre os valores do custo total receita total e lucro total em relação a esse produto 𝑹𝑻 𝒙 𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝟏 𝑪𝑻 𝒙 𝟏𝟗𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝑳𝑻 𝒙 𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝟏 𝒙 𝟏𝟗𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝑳𝒖𝒄𝒓𝒐 𝑹𝒆𝒄𝒆𝒊𝒕𝒂 𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝑳𝑻𝒙 𝑹𝑻𝒙 𝑪𝑻𝒙 𝑳𝑻 𝒙 𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝟏 𝒙 𝟏𝟗𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟎 A Receita de um Produto sempre depende da quantidade de produto 𝒙 𝟎 𝑹𝑻 𝒙 𝟎 𝑹𝑻 𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝑪 𝑹𝑻 𝟎 𝟐 𝟎 𝟏 𝟐 𝟎 𝑪 𝟎 𝑹𝑻 𝟎 𝟏 𝑪 𝟎 𝑪 𝟏 𝑳𝑻 𝒙 𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝒙 𝟏𝟗𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝟗𝟗 Para 180mil unidades 𝑳𝑻 𝟏𝟖𝟎 𝟐𝟏𝟖𝟎 𝟏 𝟐 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟖𝟎 𝟏𝟗𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝟗𝟗 𝑳𝑻 𝟏𝟖𝟎 𝟖𝟓 𝟒𝟔 𝟖𝟓 𝟒𝟔 𝟏𝟎𝟑 𝟖𝟓𝟒𝟔𝟎𝟎 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 U n i O p e t 121209 9 4 Dada uma função de densidade de probabilidade para a vida de um componente se um computador seja dada por 𝑓 𝑥 01𝑒01𝑥 onde 𝑥 0 é o número de anos em que o componente está em uso Encontre a probabilidade de que o componente dure de 3 a 5 anos 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒖𝒓𝒆 𝟑 𝒂 𝟓 𝒂𝒏𝒐𝒔 න 𝟑 𝟓 𝟎 𝟏𝒆𝟎𝟏𝒙𝒅𝒙 𝑷 𝒙 න 𝟑 𝟓 𝟎 𝟏𝒆𝟎𝟏𝒙𝒅𝒙 𝒖 𝟎 𝟏𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝟎 𝟏 𝒅𝒖 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝟎 𝟏 𝒅𝒙 𝑷 𝒙 𝟎 𝟏 න 𝟑 𝟓 𝒆𝒖 𝒅𝒖 𝟎 𝟏 𝑷 𝒙 𝟎 𝟏 𝒆𝟎𝟏𝒙 𝟎 𝟏 อ𝟓 𝟑 𝑷 𝒙 𝟎 𝟏 𝒆𝒖 𝟎 𝟏 𝑷 𝒙 𝒆𝟎𝟏𝒙 อ𝟓 𝟑 𝑷 𝒙 𝒆𝟎𝟏𝟓 𝒆𝟎𝟏𝟑 𝑷 𝒙 𝟎 𝟏𝟑𝟒𝟑 U n i O p e t 121209 10 5 Se a taxa de fluxo de renda de um bem é 1000𝑒002𝑡 em milhões de reais por ano e se a taxa investida 𝑟 é de 6 capitalizados continuamente encontre o valor futuro desse bem daqui a 4 anos 𝑘 Considere o valor futuro como sendo 𝑉𝐹 𝑒𝑟𝑘 0 𝑘 𝑓 𝑡 𝑒𝑟𝑡𝑑𝑡 𝑽𝑭 𝒆𝒓𝒌 න 𝟎 𝒌 𝒇 𝒕 𝒆𝟎𝟎𝟔𝒕𝒅𝒕 𝑽𝑭 𝒆𝟎𝟎𝟔𝟒 න 𝟎 𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒆𝟎𝟎𝟐𝒕 𝒆𝟎𝟎𝟔𝒕𝒅𝒕 𝑽𝑭 𝒆𝟎𝟐𝟒 න 𝟎 𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒆𝟎𝟎𝟐𝒕𝟎𝟎𝟔𝒕𝒅𝒕 𝑽𝑭 𝒆𝟎𝟐𝟒 න 𝟎 𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒆𝟎𝟎𝟒𝒕𝒅𝒕 𝒖 𝟎 𝟎𝟒𝒕 𝒅𝒖 𝒅𝒕 𝟎 𝟎𝟒 𝒅𝒖 𝟎 𝟎𝟒 𝒅𝒕 𝒅𝒖 𝟎 𝟎𝟒 𝒅𝒕 𝑽𝑭 𝒆𝟎𝟐𝟒 න 𝟎 𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒆𝒖 𝒅𝒖 𝟎 𝟎𝟒 𝑽𝑭 𝒆𝟎𝟐𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟎𝟒 𝒆𝒖 ቤ𝟒 𝟎 𝑽𝑭 𝒆𝟎𝟐𝟒 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒆𝟎𝟎𝟒𝒕 ቤ𝟒 𝟎 𝑽𝑭 𝒆𝟎𝟐𝟒 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒆𝟎𝟏𝟔 𝒆𝟎 𝑽𝑭 𝒆𝟎𝟐𝟒 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒆𝟎𝟏𝟔 𝟏 𝑽𝑭 𝟒𝟔𝟗𝟗 𝟎𝟓 𝒎𝒊𝒍𝒉õ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 𝑽𝑭 𝟒𝟔𝟗𝟗 𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟔𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 𝑽𝑭 𝟒 𝟔𝟗𝟗 𝟎𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 INTEGRAIS MÚLTIPLAS U n i O p e t INTEGRAIS DUPLAS 121209 12 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟓 𝒚 𝟏 𝒙𝟐 𝟎 𝟐𝟓 𝟎 𝟕𝟓 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟎 𝟏 𝟏 𝟒 𝟏𝟓 𝟏𝟔 𝟎 𝟗𝟑𝟕𝟓 𝟎 𝟕𝟓 𝟑 𝟒 𝟕 𝟏𝟔 𝟎 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝐴𝑟𝑒𝑎 078125 𝟎 𝟏 𝒚 𝟏 𝒙𝟐 𝟏 U n i O p e t DETERMINAÇÃO DE VOLUMES 121209 13 INTEGRAIS DUPLAS 𝒂 𝒃 න 𝑎 𝑏 1 𝑥2𝑑𝑥 𝒚 𝟏 𝒙𝟐 𝒙 𝒚 𝒛 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒛 𝒇𝒙 𝒚 න 𝒂 𝒃 න 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 𝕽 U n i O p e t 121209 14 INTEGRAIS DUPLAS 𝒙 𝒚 𝒛 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒛 𝒇𝒙 𝒚 න 𝒂 𝒃 න 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 𝕽 DETERMINAÇÃO DE VOLUMES 𝒙 𝒚 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝕽𝒊𝒋 𝒙𝒊 𝒙𝒊𝟏 𝒚𝒊 𝒚𝒊𝟏 U n i O p e t Propriedades de Integrais duplas 121209 15 INTEGRAIS DUPLAS ඵ 𝕽 𝒇 𝒙 𝒚 𝒈 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ඵ 𝕽 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ඵ 𝕽 𝒈 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ඵ 𝕽 𝒄 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 𝒄 ඵ 𝕽 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 Soma de Integrais duplas Multiplicação por constante Teorema de Fubini ඵ 𝕽 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 න 𝒄 𝒅 න 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 න 𝒂 𝒃 න 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 𝒙 𝒚 𝒛 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒛 𝒇𝒙 𝒚 𝕽 U n i O p e t Exemplo Calcule ℜ 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 para 𝑓 𝑥 𝑦 100 6𝑥2𝑦 e ℜ 0 𝑥 2 1 𝑦 1 121209 16 INTEGRAIS DUPLAS ඵ 𝕽 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 න 𝟏 𝟏 න 𝟎 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝒙𝟐𝒚𝒅𝒙𝒅𝒚 න 𝟏 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝒙 𝟔 𝒙𝟑 𝟑 𝒚 ቤ𝟐 𝟎 𝒅𝒚 න 𝟏 𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟐 𝟐 𝟐𝟑 𝒚 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟐 𝟎 𝒚 ቤ𝟐 𝟎 𝒅𝒚 න 𝟏 𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟔𝒚 𝒅𝒚 𝟐𝟎𝟎𝒚 𝟏𝟔 𝒚𝟐 𝟐 ቤ 𝟏 𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝟏 𝟖 𝟏𝟐 𝟐𝟎𝟎 𝟏 𝟖𝟏𝟐 𝟐𝟎𝟎 𝟖 𝟐𝟎𝟎 𝟖 𝟒𝟎𝟎 U n i O p e t Exemplo Calcule ℜ 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 para 𝑓 𝑥 𝑦 10 𝑥2 3𝑦2 e ℜ 0 𝑥 1 0 𝑦 2 121209 17 INTEGRAIS DUPLAS U n i O p e t 121209 18 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 𝒙 𝒚 𝒛 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒛𝒊 𝒛𝒊𝟏 𝒛𝒊𝟏 𝒛𝒊 𝓑 ම 𝓑 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝑽 න 𝒂 𝒃 න 𝒄 𝒅 න 𝒑 𝒒 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒛 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙𝒊 𝒙𝒊𝟏 𝒂 𝒃 𝒚𝒊𝟏 𝒚𝒊 𝒄 𝒅 𝒛𝒊𝟏 𝒛𝒊 𝒑 𝒒 Teorema de Fubini න 𝒑 𝒒 න 𝒂 𝒃 න 𝒄 𝒅 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒛 U n i O p e t 121209 19 INTEGRAIS MÚLTIPLAS Exemplo Calcule ℬ 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉para 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 3𝑦2𝑠𝑒𝑛 𝑥 ln𝑧 Considerando ℬ 0 𝑥 𝜋 2 3 𝑦 3 1 𝑧 𝑒 U n i O p e t 124559 20 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 1 1 3 5 7 9 11 1 05 0 05 1 15 2 25 3 𝒚 𝟑𝒙 𝒚 𝒙𝟐 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒓 𝒏𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊𝒂𝒐 𝕽 ඵ 𝕽 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 1 Buscar uma variável para integrar com valores fixos 2 Intervalo da outra variável fica em função da primeira Opção 1 Opção 2 𝟎 𝒙 𝟑 𝒙𝟐 𝒚 𝟑𝒙 𝟎 𝒚 𝟗 𝒚 𝟑 𝒙 𝒚 න 𝟎 𝟑 න 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 න 𝟎 𝟗 න 𝒚 𝟑 𝒚 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 U n i O p e t 125028 21 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 1 1 3 5 7 9 11 1 05 0 05 1 15 2 25 3 𝒚 𝟑𝒙 𝒚 𝒙𝟐 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒓 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝒚 𝒏𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊𝒂𝒐 𝕽 ඵ 𝕽 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 Opção 1 𝟎 𝒙 𝟑 𝟑𝒙 𝒚 𝒙𝟐 න 𝟎 𝟑 න 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙 න 𝟎 𝟑 න 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝒙𝒚𝒅𝒚𝒅𝒙 න 𝟎 𝟑 𝒙 𝒚𝟐 𝟐 ቤ𝟑𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒙 න 𝟎 𝟑 𝒙 𝟑𝒙 𝟐 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 න 𝟎 𝟑 𝒙 𝟗𝒙𝟐 𝒙𝟒 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 න 𝟎 𝟑 𝟗𝒙𝟑 𝒙𝟓𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝟗𝒙𝟒 𝟒 𝒙𝟔 𝟔 ቤ𝟑 𝟎 𝟏 𝟐 𝟗 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟔 𝟗 𝟎 𝟒 𝟒 𝟎 𝟔 U n i O p e t 131143 22 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 1 1 3 5 7 9 11 1 05 0 05 1 15 2 25 3 𝒚 𝟑𝒙 𝒚 𝒙𝟐 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒓 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝒚 𝒏𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊𝒂𝒐 𝕽 ඵ 𝕽 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 Opção 2 𝟎 𝒚 𝟗 𝒚 𝟑 𝒙 𝒚 𝟏 𝟐 𝟗 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑𝟔 𝟔 𝟗 𝟎 𝟒 𝟒 𝟎 𝟔 𝟏 𝟐 𝟕𝟐𝟗 𝟒 𝟕𝟐𝟗 𝟔 𝟏 𝟐 𝟔𝟎 𝟕𝟓 𝟑𝟎 𝟑𝟕𝟓 U n i O p e t Mudanças de variáveis Utilizada quando a integral for difícil de resolver Normalmente o uso dessa técnica ocorre quando uma expressão se repete muito no integrando ou no domínio de integração A ideia é propor a mudança mudar o domínio de integração e calcular a integral em termos de u v s 121209 23 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ඵ 𝕽 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝒙 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟑 6 4 2 0 2 4 6 2 15 1 05 0 05 1 15 2 25 3 ℜ U n i O p e t 121209 24 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ඵ 𝕽 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝒙 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟑 ቊ𝒖 𝒙 𝒚 𝒗 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝟎 𝒗 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒗 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒖 𝟏 𝒙 𝒚 𝟑 𝒖 𝟑 6 4 2 0 2 4 6 2 15 1 05 0 05 1 15 2 25 3 ℜ 𝑥 𝑦 3 𝑥 𝑦 1 𝑥 𝑦 0 𝑥 𝑦 1 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝒙 𝒖 𝒙 𝒗 𝒚 𝒖 𝒚 𝒗 𝒙𝒖 𝒗 𝒚𝒖 𝒗 Á𝒓𝒆𝒂 𝕽 ඵ 𝑫 𝒇𝒙 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 ඵ 𝑫𝟎 𝒇 𝒙 𝒖 𝒗 𝒚 𝒖 𝒗 𝑱𝒂𝒄 𝜱 𝒅𝒖𝒅𝒗 U n i O p e t 121209 25 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ඵ 𝕽 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝒙 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟑 ቊ𝒖 𝒙 𝒚 𝒗 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝟎 𝒗 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒗 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒖 𝟏 𝒙 𝒚 𝟑 𝒖 𝟑 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝒙 𝒖 𝒙 𝒗 𝒚 𝒖 𝒚 𝒗 Isolar x e y em função de u e v 𝒙 𝒖 𝒚 Para y 𝒗 𝒙 𝒚 𝒗 𝒖 𝒚 𝒚 𝒗 𝒖 𝟐𝒚 𝟐𝒚 𝒗 𝒖 𝒚 𝒗 𝒖 𝟐 𝒚 𝒖 𝒗 𝟏 𝟐 𝒚 𝒖 𝒙 Para x 𝒗 𝒙 𝒚 𝒗 𝒙 𝒖 𝒙 𝒗 𝟐𝒙 𝒖 𝟐𝒙 𝒗 𝒖 𝒙 𝒗 𝒖 𝟐 𝒙 𝒗 𝒖 𝟏 𝟐 𝒙 𝒖 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒙 𝒗 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒚 𝒖 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒚 𝒗 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝒙 𝒖 𝒙 𝒗 𝒚 𝒖 𝒚 𝒗 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 U n i O p e t 121209 26 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ඵ 𝕽 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝒙 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟑 ቊ𝒖 𝒙 𝒚 𝒗 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝟎 𝒗 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒗 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒖 𝟏 𝒙 𝒚 𝟑 𝒖 𝟑 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟐 𝟒 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟏 𝟐 ඵ 𝕽 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ඵ 𝑺 𝒗 𝒖 𝒅𝒆𝒕 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝒅𝑨𝒖𝒗 𝟏 𝟐 න 𝟎 𝟏 න 𝟏 𝟑 𝒗 𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒗 ඵ 𝑺 𝒗 𝒖 𝟏 𝟐 𝒅𝑨𝒖𝒗 ඵ 𝑺 𝒗 𝒖 𝟏 𝟐 𝒅𝑨𝒖𝒗 𝟏 𝟐 න 𝟎 𝟏 𝒗 𝒍𝒏 𝒖 ቤ𝟑 𝟏 𝒅𝒗 𝟏 𝟐 න 𝟎 𝟏 𝒗 𝒍𝒏 𝟑 𝒍𝒏 𝟏 𝒅𝒗 𝟏 𝟐 𝒍𝒏𝟑 න 𝟎 𝟏 𝒗𝒅𝒗 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 𝟑 𝒗𝟐 𝟐 ቤ𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 𝟑 𝟏𝟐 𝟐 𝟎𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏 𝟒 𝒍𝒏 𝟑 𝟎 𝟐𝟕𝟒𝟔 U n i O p e t Mudanças de variáveis 𝑫 𝒇𝒙 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 𝑫𝟎 𝒇 𝒙 𝒖 𝒗 𝒚 𝒖 𝒗 𝒙𝒚 𝒖𝒗 𝒅𝒖𝒅𝒗 𝒙𝒚 𝒖𝒗 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝒙 𝒖 𝒙 𝒗 𝒚 𝒖 𝒚 𝒗 121209 27 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 𝒗 𝒖 𝒚 𝒙 𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝓓 𝑷 𝜙 𝑰𝒎𝒂𝒈𝒆𝒎 𝓡 𝝓𝓓 𝝓𝑷 U n i O p e t Exemplo de Utilização Coordenadas Polares 121209 28 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 𝜽 𝒓 𝒚 𝒙 𝜃 𝜃2 𝝓𝑷 𝜃 𝜃1 Plano 𝑟 𝜃 𝑟1 𝑟2 𝑟1 𝑟2 𝜃2 𝜃1 U n i O p e t EXERCÍCIOS Prof Fernanda M Assef Email fernandaassefuniopetedubr 121209 29 U n i O p e t 121209 30 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ඵ 𝕽 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 0 1 2 3 4 U n i O p e t ATÉ A PRÓXIMA AULA Prof Fernanda M Assef Email fernandaassefuniopetedubr 121210 31