Funções de Várias Variáveis: Domínio, Imagem e Gráfico

Funções de várias variáveis ObjEtIVOS No final desta aula o aluno deverá ser capaz de 1 Determinar o domínio de uma função de várias variáveis 2 Descrever e esboçar as curvas de nível de uma função de duas variáves 3 Fazer o esboço de uma superfície a partir das suas curvas de nível 2 1 DOMínIO IMAgEM E gRÁFICO DE UMA FUnçãO DE DUAS VARIÁVEIS i i cap2 20091015 2227 page 3 3 i i i i i i Capítulo 2 Funções de várias variáveis O objetivo desta aula é introduzir os conceitos de funções de várias variá veis e de curvas de nível de funções de duas variáveis No final desta aula o aluno deverá ser capaz de 1 Determinar o domínio de uma função de várias variáveis 2 Descrever e esboçar as curvas de nível de uma função de duas variá ves 3 Fazer o esboço de uma superfície a partir das suas curvas de nível 21 Domínio imagem e gráfico de uma função de duas variáveis No curso de Cálculo I foram introduzidos os conceitos de domínio ima gem e gráfico de uma função de uma variável Nesta seção estenderemos tais conceitos para funções de várias variáveis No caso de uma função de uma variável o seu gráfico é uma curva no plano já os gráficos de funções de duas variáveis serão superfícies no espaço Definição 21 Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais x y de um subconjunto D do R2 um único número real denotado por f x y O conjunto D é o domínio de f e a sua imagem é o conjunto dos valores possíveis de f x y ou seja f x y x y D O gráfico de f é o conjunto de pontos do R3 dado por x y f x y x y D e ele representa uma superfície no espaço Se f for dada por uma fórmula e seu domínio não for especificado estará implicito que ele é o conjunto de todos os x y para os quais a regra está bem definida no sentido que ela nos dê um número real As definições acima se estendem de maneira natural para uma função de mais de duas variáveis 3 Exemplo 21 Encontre o dominio da funcao fxy x Fy Solucdo Como a funcao raiz quadrada s6 esta definida para nimeros reais nao negativos devemos ter x y 0 0 que geometricamente é a regiao do plano xy que esta acima da reta y x incluindo a propria reta O Exemplo 22 Encontre 0 dominio da funcao fxy In9 x 9y Solucdéo Como a funcdo logaritmo sé esta definida para nimeros reais positivos devemos ter 9 x 9y 0 o que geometricamente repre senta a regiao do plano xy interior a elipse x y1 O Exemplo 23 Encontre o dominio da funcdo fxy x2 y2 14In4 x y Solugao Como a fungdo f é a soma das fungdes Vx2y21 e In4xy o seu dominio sera a intersegdo dos dominios das mesmas ou seja temos que tomar xy de modo que eles satisfagam simultaneamente as seguin tes desigualdades Py10 e 4xy0 ou seja 1 x y 27 0 que geometricamente é a regiao do plano xy entre os circulos centrados na origem e de raios 1 e 2 incluindo os pontos do circulo de raio 1 e excluindose os pontos do circulo de raio 2 O yx2 Exemplo 24 Encontre o dominio da fungao fxy nee Solucio Como f é 0 quociente das funcgdes y x2 e Inx y 4 devemos tomar a intersecaéo dos dominios destas e excluir os pontos onde o denominador se anula Ou seja queremos que y x 0 ry40e ry441 ou seja yxr PyY4exr4Y 45 0 que geometricamente é a regido do plano que esta acima da parabola y x e exterior ao circulo x y 4 da qual tiramos os pontos que estado no circulo x y 5 O Exercicio 21 Determine e esboce os dominios das fungées dadas 1 1 1 a fuyaty b fxy VY fy Tass a fY ata e fxy Vy Inxy f fxy Vet V g fy VIx 9 h fxy Inzy i fxy ae