Correcao de Exercicios Calculo III - Maximos e Minimos

CÁLCULO III Prof Fernanda Medeiros Assef Email fernandaassefuniopetedubr Tel 041 999384536 U n i O p e t CORREÇÃO 1 Suponha que a capacidade de produção de uma certa mercadoria não possa exceder 30 unidades Se a função de lucro para esta mercadoria é dada por Onde x é o número de unidades produzidas quantas unidades devem ser produzidas para que o lucro seja máximo 194950 2 𝑳 𝒙𝟎𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐𝒐𝒖𝑴í𝒏𝒊𝒎𝒐𝒅𝒆𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒙 𝟑𝟓𝟐𝟓 𝟐𝟏 𝟑𝟓𝟓 𝟐 Grupo Educacional UniOpet U n i O p e t CORREÇÃO 2 Uma caixa sem tampa será construída recortandose pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma folha de estanho que mede 12x12 cm e dobrandose os lados resultantes para cima Que tamanho esses quadrados das bordas devem ter para que essa caixa tenha capacidade máxima 194950 3 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎 𝒆𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂𝒃𝒂𝒔𝒆𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝟏𝟐𝒄𝒎 𝟏𝟐𝒄𝒎 𝒙 𝒄𝒎 𝒙 𝒄𝒎 𝟏𝟐𝟐 𝒙 𝒄𝒎 𝟏𝟐𝟐 𝒙 𝒄𝒎 𝑽 𝒄𝟏𝟐𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝑥𝑐𝑚 Grupo Educacional UniOpet U n i O p e t CORREÇÃO 2 Uma caixa sem tampa será construída recortandose pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma folha de estanho que mede 12x12 cm e dobrandose os lados resultantes para cima Que tamanho esses quadrados das bordas devem ter para que essa caixa tenha capacidade máxima 194950 4 𝑽 𝒄𝟏𝟐𝟐𝒙 𝟐 𝒙 𝟖 𝟐 𝟒𝟏𝟏𝟐 Não tem como 𝑽 𝒄𝟏𝟐𝟐𝒙 𝟐𝒙 Grupo Educacional UniOpet U n i O p e t CORREÇÃO 3 É necessário projetar uma lata que tenha o formato de um cilindro reto e capacidade de 1 litro Determine as dimensões desse cilindro para que seja necessário a menor quantidade de material 194950 5 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒅𝒂𝑳𝒂𝒕𝒂𝝅𝒓𝒂𝒊𝒐 𝟐 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒓𝒆𝒉𝒑𝒂𝒓𝒂𝒒𝒖𝒆𝒕𝒆𝒏𝒉𝒂𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓𝒖𝒔𝒐𝒅𝒆𝒎𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍 Á𝒓𝒆𝒂𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇 í𝒄𝒊𝒆𝟐𝝅𝒓 𝟐 𝟐𝝅𝒓𝒉 Grupo Educacional UniOpet U n i O p e t CORREÇÃO 3 É necessário projetar uma lata que tenha o formato de um cilindro reto e capacidade de 1 litro Determine as dimensões desse cilindro para que seja necessário a menor quantidade de material 194950 6 𝑨𝒔𝟐𝝅𝒓 𝟐𝟐 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒓 𝒉 𝒓 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝝅 𝒓 𝟐 𝒓𝒂𝒊𝒐𝟓𝟒𝟐𝒄𝒎 Grupo Educacional UniOpet AULA 03 194951 8 U n i O p e t TIPOS DE FUNÇÕES Funções de uma variável Funções de várias variáveis Funções vetoriais de uma variável Funções vetoriais de duas variáveis Funções vetoriais de várias variáveis 𝑓 ℝℝ 𝑓 ℝ 𝑛ℝ 𝑓 ℝℝ 𝑛 𝑓 ℝ2ℝ𝑛 𝑓 ℝ𝑚ℝ𝑛 Grupo Educacional UniOpet 194951 9 U n i O p e t FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ÁREA DO CÍRCULO ÁREA DO QUADRADO 𝐴 𝑟 𝜋 𝑟 2 𝐴 𝑙 𝑙2 𝐴 10𝜋 10 2 10 15 𝐴 1515 2 15 Grupo Educacional UniOpet 194951 10 U n i O p e t FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS VOLUME DE CILINDRO CUSTO DE PRODUÇÃO FUNÇÃO DE PRODUÇÃO COBBDOUGLAS 𝑉 𝑟 h 𝜋 𝑟 2h𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑟 𝑒𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 h 𝐶 𝑥 𝑦 55 𝑥22 𝑦 𝑚𝑎𝑡 é 𝑟𝑖𝑎𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑥 𝑒h𝑜𝑟𝑎𝑠 h 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙 𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑦 𝑃 𝐿 𝐾 𝑏 𝐿𝛼 𝐾 1 𝛼 Grupo Educacional UniOpet 194951 11 U n i O p e t FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Uma função de variáveis associa a um conjunto ordenado um valor único real denotado por Exemplo Considerando uma função de três variáveis dada pela regra determine 𝑓 1233 133 2 2 25 𝑓 210 3 23 0 1 2 126 𝑓 210 1 23 23 1 2 10 2 1 228 Grupo Educacional UniOpet 194951 12 U n i O p e t FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Domínio O domínio de uma função é o subconjunto de para os quais a função está definida Critérios comuns Não existe divisão por zero Raiz quadrada não pode ter argumento negativo Argumento do logaritmo tem que ser positivo e maior do que zero Não existe base de logaritmo negativa zero ou 1 Não existe tangente de 90º ou 270º Grupo Educacional UniOpet 194951 13 U n i O p e t FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 𝑥2𝑦 2𝑧 2 0 𝐷𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑥𝑦 𝑧 0 𝑥 0 𝑦 0 𝑥𝑦 𝑧 0 𝐷 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3𝑥0 𝑦 0 𝑥𝑦 𝑧 l n 𝑧 0 𝑒𝑥 𝑦0 𝑧0 𝑒𝑥 𝑦 𝐷𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3𝑥ln 𝑦 𝑧 0 Grupo Educacional UniOpet 194951 14 U n i O p e t GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS O gráfico de uma função de variáveis é o conjunto de todos os pontos em tal que para todos os pontos do domínio 𝑦 𝑓 𝑥𝑥2 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑤 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑧𝑦 3 𝑧 𝑒𝑥 httpsqrgopagelink wkqGV Grupo Educacional UniOpet U n i O p e t LIMITES DE FUNÇÕES Seja uma função definida em um intervalo aberto em torno exceto possivelmente Se fica arbitrariamente próxima de para todos os valores de suficientemente próximos de então dizemos que a função tem limite quando tende para e escrevemos Exemplo lim 𝑥 4 𝑥2 lim 𝑥 4 4 216 194951 Grupo Educacional UniOpet 15 U n i O p e t LIMITES DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Dizemos que se aproxima do limite quando se aproxima se os valores de estão cada vez mais próximos de um número para todos os pontos próximos de Exemplos 194951 Grupo Educacional UniOpet 16 U n i O p e t LIMITES DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Resolução lim 𝑥 𝑦 4 3 4 3 4 42 3 3 4 3 264 192 108148 lim 𝑥 𝑦 𝑧 2 13 2 3cos 22 13 26cos 0 92 lim 𝑥 𝑦 2 10 5 22 log 1020 119 194951 Grupo Educacional UniOpet 17 U n i O p e t LIMITES DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Porque não é contínua no ponto no qual a função não está definida e o não existe 194951 Grupo Educacional UniOpet 18 U n i O p e t CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Uma função é contínua no ponto se Exemplos 194951 Grupo Educacional UniOpet 19 U n i O p e t CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4 sã 𝑜𝑐𝑜𝑛𝑡 í 𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑥 𝑦 𝑥𝑦10 𝑥 𝑦0 194951 Grupo Educacional UniOpet 20 U n i O p e t CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Exemplo 3 Exemplo 4 194951 Grupo Educacional UniOpet 21 U n i O p e t TESTE DOS DOIS CAMINHOS 𝑓 00 0202 0202 0 0 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 çã𝑜 1º h 𝐶𝑎𝑚𝑖𝑛 𝑜 𝑥 0 𝑦0 lim 𝑥 𝑦 00 𝑥202 𝑥202 𝑥2 𝑥21 2º h 𝐶𝑎𝑚𝑖𝑛 𝑜 𝑥0 𝑦𝑥 lim 𝑥 𝑦 00 𝑦 2𝑦 2 𝑦 2 𝑦 2 0 2 𝑦 20 Os Limites são diferentes logo não há limite nesse ponto 194951 Grupo Educacional UniOpet 22 U n i O p e t TESTE DOS DOIS CAMINHOS 𝑓 𝑥 𝑦 5𝑥10 𝑦𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑒 𝑦 1 𝑥 3 𝑦 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟 á𝑟𝑖𝑜 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 150 100 50 0 50 100 194951 Grupo Educacional UniOpet 23 U n i O p e t PROPRIEDADES DE LIMITES EM FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Considerando as funções e funções de duas variáveis com e 1 2 Se e forem contínuas em as propriedades apresentadas também serão 194951 Grupo Educacional UniOpet 24 U n i O p e t EXERCÍCIOS Defina o valor do limite para os seguintes exemplos Nem sempre é possível determinar o valor do limite de uma função Em alguns casos o limite pode não existir Para verificar que um limite não existe basta calcular seu valor por caminhos diferentes Determine o valor de Uma das propriedades do limite garante que ao conhecer o limite de duas funções é possível determinar o limite do produto entre elas Utilize tal propriedade para calcular 1 sendo e 194951 Grupo Educacional UniOpet 25 194951 26 U n i O p e t DERIVADAS PARCIAIS Considere a função de duas variáveis e o ponto pertencente ao domínio de A interseção do plano com a superfície é a curva dada por a qual está contida no plano Assim se mantém constante se deslocarmos ao longo dessa curva fazendo com que não seja uma variável Grupo Educacional UniOpet 194951 27 U n i O p e t DERIVADAS PARCIAIS Definimos como a derivada parcial de em relação a no ponto como a derivada ordinária de em relação a no ponto Notação Grupo Educacional UniOpet 𝑓 𝑥 𝑥0 𝑦0lim h 0 𝑓 𝑥0h 𝑦 0 𝑓 𝑥0 𝑦 0 h Taxa de variação de em relação a enquanto é mantido fixo em 194951 28 U n i O p e t DERIVADAS PARCIAIS Grupo Educacional UniOpet 194952 29 U n i O p e t CÁLCULO DE DERIVADAS PARCIAIS Para calcularmos a tratamos como uma constante e derivamos a função de maneira usual em relação à variável Grupo Educacional UniOpet Para calcularmos a tratamos como uma constante e derivamos a função de maneira usual em relação à variável 𝑓 𝑥 𝑦 3 𝑥2 2 𝑥𝑦4 𝑦3 𝑓 𝑥 𝑦 3 𝑥2 2 𝑥𝑦4 𝑦3 𝑓 𝑥 6 𝑥2 𝑦 𝑓 𝑥 2 𝑥12 𝑦 2 194952 30 U n i O p e t DERIVADAS DIRECIONAIS Se for uma função de duas variáveis e então a em será denotada por Grupo Educacional UniOpet 𝐷𝑢 𝑓 𝑥0 𝑦0𝑓 𝑥 𝑥 𝑦 𝑢1 𝑓 𝑦 𝑥 𝑦 𝑢2 Obs o vetor deve ser unitário caso contrário temos que dividilo pelo seu módulo usando Derivadas direcionais servem para calcularmos a taxa de variação instantânea da função em relação ao ponto em relação a uma direção especificada U n i O p e t EXERCÍCIOS Ache a derivada direcional de no ponto nas direções de e de sendo um vetor unitário 194952 Grupo Educacional UniOpet 31 194952 32 U n i O p e t VETOR GRADIENTE Qual é a maior taxa de crescimento ou decrescimento de uma função para determinado ponto Grupo Educacional UniOpet 194952 33 U n i O p e t VETOR GRADIENTE Grupo Educacional UniOpet Vetor Gradiente aponta para o crescimentodecrescimento máximo da função Taxa de variação quanto é a taxa de crescimentodecrescimento é representada pela norma do vetor Cálculo do vetor gradiente 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 𝑖 𝑓 𝑦 𝑗 U n i O p e t EXERCÍCIOS Ache a derivada direcional de no ponto nas direções de sendo um vetor unitário 194952 Grupo Educacional UniOpet 34 ATIVIDADE ATÉ A PRÓXIMA AULA Prof Fernanda M Assef Email fernandaassefuniopetedubr 194952 36 Grupo Educacional UniOpet