Resolução de Integrais Múltiplas - Cálculo III

U n i O p e t CÁLCULO III Prof Fernanda Medeiros Assef Email fernandaassefuniopetedubr Tel 041 999384536 RESOLUÇÃO PÓSAULA U n i O p e t 143712 3 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒚 𝒙 2 𝜃 2𝜋 න න ℜ 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 න 𝜃1 𝜃2 න 𝑟𝛼𝜃 𝛽𝜃 𝑓 𝑟 cos 𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 ቊ 𝟎 𝒓 𝟐 𝟎 𝜽 𝟐𝝅 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒇 𝒓 𝜽 𝒇 𝒓 𝜽 𝒓𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟐 𝒓𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟐 𝒇 𝒓 𝜽 𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒇 𝒓 𝜽 𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒇 𝒓 𝜽 𝒓𝟐𝟏 𝒇 𝒓 𝜽 𝒓 න 𝟎 𝟐𝝅 න 𝟎 𝟐 𝒓𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝜽 න 𝟎 𝟐𝝅 න 𝟎 𝟐 𝒓𝟐𝒅𝒓 𝒅𝜽 න 𝟎 𝟐𝝅 𝒓𝟑 𝟑 ቤ𝟐 𝟎 𝒅𝜽 න 𝟎 𝟐𝝅 𝟖 𝟑 𝒅𝜽 𝟖 𝟑 𝜽 ቤ𝟐𝝅 𝟎 𝟏𝟔𝝅 𝟑 U n i O p e t 143711 4 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ඵ 𝕽 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 0 1 2 3 4 U n i O p e t 143711 5 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ඵ 𝕽 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 U n i O p e t 143711 6 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 0 1 2 3 4 ቊ𝒖 𝒙 𝒚 𝒗 𝒙 𝒚 ඵ 𝕽 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 U n i O p e t 143712 7 INTEGRAIS MÚLTIPLAS 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 ቊ𝒖 𝒙 𝒚 𝒗 𝒙 𝒚 Isolar x e y em função de u e v 𝒙 𝒖 𝒚 Para y 𝒗 𝒙 𝒚 𝒗 𝒖 𝒚 𝒚 𝒗 𝒖 𝟐𝒚 𝟐𝒚 𝒗 𝒖 𝒚 𝒗 𝒖 𝟐 𝒚 𝒖 𝒗 𝟏 𝟐 𝒚 𝒖 𝒙 Para x 𝒗 𝒙 𝒚 𝒗 𝒙 𝒖 𝒙 𝒗 𝟐𝒙 𝒖 𝟐𝒙 𝒗 𝒖 𝒙 𝒗 𝒖 𝟐 𝒙 𝒗 𝒖 𝟏 𝟐 𝒙 𝒖 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒙 𝒗 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒚 𝒖 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒚 𝒗 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝒙 𝒖 𝒙 𝒗 𝒚 𝒖 𝒚 𝒗 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟐 𝟒 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝟏 𝟐 ඵ 𝕽 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 U n i O p e t INTEGRAIS MÚLTIPLAS 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 ቊ𝒖 𝒙 𝒚 𝒗 𝒙 𝒚 ඵ 𝕽 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ඵ 𝑺 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒆𝒕 𝑱𝒂𝒄 𝝓 𝒅𝑨𝒖𝒗 ඵ 𝑺 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝟏 𝟐 𝒅𝑨𝒖𝒗 𝟏 𝟐 ඵ 𝑺 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝑨𝒖𝒗 ඵ 𝕽 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 Intervalos de Integração ቊ𝒙 𝒚 𝟏 𝒖 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 𝒖 𝟐 𝒚 𝒖 𝒗 𝟏 𝟐 𝒙 𝒗 𝒖 𝟏 𝟐 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑞 𝑥 0 𝑒 𝑦 0 Para 𝑥 0 𝒙 𝒗 𝒖 𝟏 𝟐 𝟎 𝒖 𝒗 𝟎 𝒗 𝒖 Para y 0 𝒚 𝒖 𝒗 𝟏 𝟐 𝟎 𝒖 𝒗 𝟎 𝒗 𝒖 𝟏 𝟐 න 𝟏 𝟐 න 𝒖 𝒖 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒗𝒅𝒖 ቊ𝒙 𝟎 𝒗 𝒖 𝒚 𝟎 𝒗 𝒖 U n i O p e t INTEGRAIS MÚLTIPLAS 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 ቊ𝒖 𝒙 𝒚 𝒗 𝒙 𝒚 ඵ 𝕽 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ℜ 𝟏 𝒙 𝒚 𝟐 𝒙 𝟎 𝒚 𝟎 𝟏 𝟐 න 𝟏 𝟐 න 𝒖 𝒖 𝒄𝒐𝒔 𝒗 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒗𝒅𝒖 𝟏 𝟐 න 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒔𝒆𝒏𝒗 ቤ 𝒖 𝒖 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 න 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒔𝒆𝒏𝒖 𝒅𝒖 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 𝟐 න 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 න 𝟏 𝟐 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒔𝒆𝒏𝒖 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 න 𝟏 𝟐 𝟐𝒅𝒖 𝟏 𝟐 𝟐 න 𝟏 𝟐 𝒅𝒖 𝒖 ቤ𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 U n i O p e t 143712 10 INTEGRAIS MÚLTIPLAS ම 𝑊 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑉 න 𝜃1 𝜃2 න 𝑟1 𝑟2 න 𝑧1 𝑟𝜃 𝑧2 𝑟𝜃 𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑧 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝒙 𝒚 𝒛 𝟓 𝟑 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙𝟐 𝒚𝟐 ቐ 𝟎 𝒓 𝟑 𝟎 𝜽 𝟐𝝅 𝟎 𝒛 𝟓 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒇 𝒓 𝜽 𝒛 𝒓𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝟐 𝒓𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟐 𝒇 𝒓 𝜽 𝒛 𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 𝒇 𝒓 𝜽 𝒛 𝒓𝟐𝟏 න 𝟎 𝟐𝝅 න 𝟎 𝟑 න 𝟎 𝟓 𝒓𝟐𝒓 𝒅𝒛 𝒅𝒓 𝒅𝜽 න 𝟎 𝟐𝝅 න 𝟎 𝟑 𝒓𝟑 𝒛 อ𝟓 𝟎 𝒅𝒓 𝒅𝜽 𝟓 න 𝟎 𝟐𝝅 𝒓𝟒 𝟒 ቤ𝟑 𝟎 𝒅𝜽 න 𝟎 𝟐𝝅 න 𝟎 𝟑 𝟓𝒓𝟑𝒅𝒓 𝒅𝜽 𝟓 𝟖𝟏 𝟒 න 𝟎 𝟐𝝅 𝒅𝜽 𝟓 𝟖𝟏 𝟒 𝟐𝝅 𝟒𝟎𝟓 𝟒 𝝅 U n i O p e t INTEGRAIS DE LINHA E INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE U n i O p e t Parametrizar uma curva determinar as coordenadas de cada ponto da curva através de um parâmetro Parametrize a reta que passa pelos pontos 12 34 Equação Parametrizada da Reta ቊ 𝒙 𝒕 𝟑 𝒚 𝟑𝒕 𝟏 𝒓 𝒕 𝟑 𝟑𝒕 𝟏 𝒕 𝟏 𝑷 𝟒 𝟒 𝒕 𝟐 𝑷𝟓 𝟕 143711 12 PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS 2 3 4 5 0 1 2 3 4 𝒙 𝟏 𝟑 𝒚 𝟐 𝟒 𝒙 𝒕 𝟐 𝒚 𝟐 𝒕 𝑷𝒕 𝟐 𝟐𝒕 U n i O p e t Parametrizar Curvas 𝑥2 𝑦2 𝑟2 equação do círculo com raio 𝑟 143712 13 PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS 𝒚 𝒙 𝑟 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝒓𝟐 𝑟 𝒙 𝒚 𝜃 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝑪𝑶 𝑯𝒊𝒑 𝒚 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝑪𝑨 𝑯𝒊𝒑 𝒙 𝒓 𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒚 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒙 𝑪 ቊ𝒙 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒚 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 U n i O p e t 143712 14 CAMPO VETORIAL 𝐹 𝒚 𝒙 Existem situações em que é natural considerar um vetor associado a cada ponto de uma região dada Tal coleção de vetores é denominada um campo de vetores ou então um campo vetorial 𝑭 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹1 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹2 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹3 𝑥 𝑦 𝑧 Ou 𝑭 𝑭𝟏𝒊 𝑭𝟐𝒋 𝑭𝟑𝒌 Esboce o campo vetorial dado por 𝐹 𝑦 𝑥 𝑪𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒙 𝑪𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝒚 𝑫𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝑭𝒊 𝑫𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝑭𝒋 U n i O p e t 143712 15 INTEGRAL DE LINHA 𝟎 𝟏 𝒚 𝟏 𝒙𝟐 𝟏 න 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 Integrar uma função em uma curva do plano 𝒙 𝒚 𝒛 𝒇𝒙 𝒚 ℂ න ℂ 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝒔 𝒓 𝒕 𝒙 𝒕 𝒚 𝒕 𝒛 𝒕 𝒂 𝒕 𝒃 U n i O p e t 143712 16 INTEGRAL DE LINHA ℂ 𝒓 𝒕 𝒙 𝒕 𝒚 𝒕 𝒛 𝒕 𝒂 𝒕 𝒃 𝑭 𝒙 𝒚 𝒛 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 න ℂ 𝑭 𝒅𝒓 Soma das projeções do campo vetorial 𝐹 ao longo do caminho dado em 𝑑Ԧ𝑟 න 𝒂 𝒃 𝑭𝒓 𝒓𝒅𝒕 Integral do campo vetorial aplicado em Ԧ𝑟 no interval de t 𝑭𝒓 Exemplo 𝑭𝟏 𝒙𝟐 𝒚 𝒓 𝒕 𝒕𝟐 𝒕 𝑥𝑡 𝑦𝑡 𝑭𝟏𝒓 𝒕𝟐 𝟐 𝒕 Pegar as componentes de Ԧ𝑟𝑡 e substituir pelas suas respectivas em 𝐹1 𝑭𝟏 𝒙𝟐 𝒚 𝑭𝟏𝒓 𝒕𝟒 𝒕 Repetir o processo para 𝐹2 e 𝐹3 U n i O p e t 143712 17 INTEGRAL DE LINHA ℂ 𝒓 𝒕 𝒙 𝒕 𝒚 𝒕 𝒛 𝒕 𝒂 𝒕 𝒃 𝑭 𝒙 𝒚 𝒛 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 න ℂ 𝑭 𝒅𝒓 න 𝒂 𝒃 𝑭𝒓 𝒓𝒅𝒕 Exemplo 01 integral de linha de 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 sobre a curva 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟏 1º Parametrizar a curva e definir seus limites de integração 𝒂 𝒕 𝒃 𝒓 𝒕 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒕 Circunferência completa 𝟐𝝅 𝟎 𝒕 𝟐𝝅 2º Observar a função Calcular 𝑭𝒓 𝒓 𝒕 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝑭 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒕 3º Encontrar 𝒅𝒓 𝒅𝒓 𝒓 𝒅𝒕 𝒓 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒓 𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒓 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝟐 𝒓 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒕 𝒓 𝟏 𝒓 𝟏 𝒅𝒓 𝟏 𝒅𝒕 U n i O p e t 143712 18 INTEGRAL DE LINHA ℂ 𝒓 𝒕 𝒙 𝒕 𝒚 𝒕 𝒛 𝒕 𝒂 𝒕 𝒃 𝑭 𝒙 𝒚 𝒛 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 න ℂ 𝑭 𝒅𝒓 න 𝒂 𝒃 𝑭𝒓 𝒓𝒅𝒕 Exemplo 01 integral de linha de 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 sobre a curva 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟏 4º Resolver a Integral න ℂ 𝑭 𝒅𝒓 න 𝒂 𝒃 𝑭𝒓 𝒓𝒅𝒕 𝟎 𝒕 𝟐𝝅 𝑭 𝒓 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒓 𝟏 𝒅𝒕 න 𝟎 𝟐𝝅 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝟏 𝒅𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒕 ቤ𝟐𝝅 𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅 𝒔𝒆𝒏 𝟎 𝐜𝐨𝐬𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 U n i O p e t INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 143712 19 U n i O p e t Integral de Superfície não é uma Integral Dupla 1 Parametrizar a superfície 𝓢 escrever a superfície em 2 termosparâmetros 2 Encontrar 𝒅𝒔 3 Trocar 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 pela função parametrizada da superfície 143712 20 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE Integral de Linha ℂ 𝑭 𝒅𝒓 𝒂 𝒃 𝑭𝒓 𝒓𝒅𝒕 Integral de Superfície 𝓢 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒔 U n i O p e t 143712 21 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE Integral de Superfície 𝓢 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒔 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒛 𝒚𝟐 𝒙 𝒚 𝟏 Exemplo 02 Calcular a integral de superfície dada pela função abaixo na superfície 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 no primeiro octante 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 𝟏 𝟏 1º Parametrizar a Superfície isolando uma das variáveis 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 𝒛 𝟏 𝒙 𝒚 Aqui já vou ter as minhas variáveis principais parâmetros ቊ𝒙 𝒖 𝒚 𝒗 𝒛 𝟏 𝒖 𝒗 2º Reescrever a Superfície na forma Parametrizada 𝑺 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 𝟏 𝒖 𝒗 U n i O p e t 143712 22 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE Integral de Superfície 𝓢 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒔 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒛 𝒚𝟐 𝒙 𝒚 𝟏 Exemplo 02 Calcular a integral de superfície dada pela função abaixo na superfície 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 no primeiro octante 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 𝟏 𝟏 3º Definir limites de integração para 𝒖 e 𝒗 𝒙 𝒚 𝒖 𝒗 𝟏 𝟏 Para 𝒛 𝟎 𝒙 𝒚 𝟎 𝟏 𝒙 𝒚 𝟏 𝒚 𝟏 𝒙 ቊ 𝟎 𝒖 𝟏 𝟎 𝒗 𝟏 𝒖 U n i O p e t 143712 23 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE Integral de Superfície 𝓢 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒔 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒛 𝒚𝟐 𝒙 𝒚 𝟏 Exemplo 02 Calcular a integral de superfície dada pela função abaixo na superfície 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 no primeiro octante 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 𝟏 𝟏 4º Encontrar 𝒅𝒔 𝒅𝒔 𝒏 𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒏 𝑺𝒖 𝒗 𝒖 𝑺𝒖 𝒗 𝒗 𝑺 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 𝟏 𝒖 𝒗 𝑺 𝒖 𝟏 𝟎 𝟏 𝑺 𝒗 𝟎 𝟏 𝟏 𝒏 𝒊 𝒋 𝒌 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝒊 𝟏 𝟎 𝒋 𝟎 𝟏 𝒏 𝟎𝒊 𝟎𝒋 𝒌 𝟏𝒋 𝟏𝒊 𝟎𝒌 𝒏 𝒌 𝒋 𝒊 𝒏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒅𝒔 𝒏 𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒅𝒔 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒅𝒔 𝟑 𝒅𝒖 𝒅𝒗 U n i O p e t 143712 24 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE Integral de Superfície 𝓢 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒔 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒛 𝒚𝟐 𝒙 𝒚 𝟏 Exemplo 02 Calcular a integral de superfície dada pela função abaixo na superfície 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 no primeiro octante 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 𝟏 𝟏 5º Trocar 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 pela função parametrizada da superfície 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒛 𝒚𝟐 𝒙 𝒚 𝟏 𝑺 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 𝟏 𝒖 𝒗 𝒇 𝒖 𝒗 𝟏 𝒖 𝒗 𝒗𝟐 𝒖 𝒗 𝟏 6º Calcular a Integral 𝒇 𝒖 𝒗 𝟏 𝒖 𝒗 𝒗𝟐 𝒖 𝒗 𝟏 𝒇 𝒖 𝒗 𝒗𝟐 න න 𝓢 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒔 ቊ 𝟎 𝒖 𝟏 𝟎 𝒗 𝟏 𝒖 𝒇 𝒖 𝒗 𝒗𝟐 𝒅𝒔 𝟑 𝒅𝒖 𝒅𝒗 න 𝟎 𝟏 න 𝟎 𝟏𝒖 𝒗𝟐 𝟑𝒅𝒗 𝒅𝒖 න 𝟎 𝟏 𝒗𝟑 𝟑 𝟑 ቤ𝟏 𝒖 𝟎 𝒅𝒖 𝟑 𝟑 න 𝟎 𝟏 𝟏 𝒖 𝟑𝒅𝒖 U n i O p e t 143712 25 INTEGRAL DE SUPERFÍCIE Integral de Superfície 𝓢 𝒇𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝒔 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒛 𝒚𝟐 𝒙 𝒚 𝟏 Exemplo 02 Calcular a integral de superfície dada pela função abaixo na superfície 𝒙 𝒚 𝒛 𝟏 no primeiro octante 𝒙 𝒛 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 න 𝟎 𝟏 𝟏 𝒖 𝟑𝒅𝒖 𝟑 𝟑 𝟏 𝒙 𝟒 𝟒 ቤ𝟏 𝟎 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟒 𝟒 𝟏 𝟎 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟏 𝟒 𝟑 𝟏𝟐 U n i O p e t EXERCÍCIOS Prof Fernanda M Assef Email fernandaassefuniopetedubr 143712 26 U n i O p e t Exercícios 1 Considere 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦𝑧 e C o segmento de reta de 000 até 622 parametrizado por C𝑡 6𝑡 2𝑡 2𝑡 ao longo de 0 𝑡 1 Qual é o valor da integral nessa curva 2 Qual é o valor da integral de 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 na curva parametrizada 𝐶 𝑡 cos 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 ao longo de 0 𝑡 𝜋 3 Considere 𝐹00 𝑥 e 𝑆 𝑢 𝑣 𝑢2 𝑣 𝑢3 𝑣2 para o primeiro octante onde 0 𝑢 𝑣 1 Calcule 𝒮 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑠 4 Calcular a integral de superfície dada pela função abaixo na superfície 2𝑥 𝑦 𝑧 1 no primeiro octante de 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 𝑧2 143712 27 INTEGRAL DE LINHA E SUPERFÍCIE U n i O p e t ATÉ A PRÓXIMA AULA Prof Fernanda M Assef Email fernandaassefuniopetedubr 143712 28