Matemática Financeira: Séries Uniformes e Cálculo do Valor Futuro

1 MATEMÁTICA FINANCEIRA SÉRIES UNIFORMES Conceito A série de pagamentos nada mais é do que uma sucessão de capitais exigíveis periodicamente seja para amortizar uma dívida seja para formar um fundo de reserva Classificação das Séries de Pagamentos Quanto ao Número de Termos Finita Quando existir uma última prestação Infinita ou Perpetuidade Quando não existir a última prestação Quanto a Natureza dos seus Termos Uniforme Todos os termos iguais NãoUniforme Termos diferentes Quanto ao intervalo entre seus termos Periódica Intervalo constante entre dois termos sucessivos Nãoperiódica Intervalo não constante Quanto ao vencimento de seus termos Postecipada Os termos ocorrem ao fim de cada período 1 pagto ocorre 30 dias após o ato Antecipada Os termos ocorrem no início de cada período 1 pagto ocorre no ato As séries de pagamentos podem ser Constantes Se os valores forem iguais Periódicas Se todos os períodos forem iguais Uma série uniforme caracterizase por uma sucessão de capitais iguais pagamentos ou recebimentos Prestações Postecipadas Dado PMT achar FV O Problema do tipo Dado PMT achar FV consiste em determinar o montante acumulado FV no final de n períodos a partir da capitalização das n prestações de uma série uniforme todas com o mesmo valor e igual a PMT com uma taxa de juros i por períodos no regime de juros compostos Para encontrarmos o valor futuro de uma série de pagamentos ou recebimentos iguais de forma composta observemos o exemplo abaixo Exemplo O Sr Pedro deposita R 100000 mensalmente em um fundo de investimento durante 4 meses à taxa de 5 ao mês Qual o montante a ser recebido pelo Sr Pedro Comentário Sobre o 1 depósito de R 100000 são calculados juros do 1 mês somase o 2 depósito e calculase mais um mês de juros e assim sucessivamente até o último depósito que simplesmente será somado Sobre esse último não haverá juros pois o montante é calculado exatamente nesta data Observe a sequência dos cálculos 2 Início Depósito de R 100000 1º mês F V l 00000 l 005 l 05000 Depósito da 2 parcela 100000 205000 2º mês FV 205000 l 005 215250 Depósito da 3 parcela 100000 315250 3º mês FV 315250 1005 331013 Depósito da 4 parcela 100000 431013 O cálculo foi feito mês a mês apenas para entendimento pois existe a fórmula específica para se chegar ao montante de uma série de parcelas iguais que é a seguinte Usando as teclas financeiras da HP o cálculo ficará ainda mais fácil PMT Valor das Prestações Teclado financeiro DADO FV ACHAR PMT 𝑷𝑴𝑻 𝑭𝑽 𝒊 𝟏 𝒊𝒏 𝟏 Exemplo Uma pessoa deseja comprar daqui a 5 meses mercadorias no valor de 2790546 Quanto deverá depositar mensalmente se receber juros de 55 am PMT FV 2790546 i 55 100 0055 n 5 𝑷𝑴𝑻 𝑭𝑽 𝒊 𝟏𝒊𝒏𝟏 𝑷𝑴𝑻 𝟐𝟕 𝟗𝟎𝟓 𝟒𝟔 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓𝟓𝟏 PMT 500000 Dado PMT achar PV O problema do tipo Dado PMT achar PV consiste em determinar o valor presente PV principal a partir do desconto das n prestações de uma série uniforme todas com o mesmo valor e igual a PMT com uma taxa de juros i por 3 período no regime de juros compostos O objetivo é trazer todos os pagamentos ou prestações para o momento inicial Exemplo Quanto o Sr Pedro precisará aplicar hoje para que receba mensalmente R 100000 durante 4 meses à taxa de 5 ao mês Note que calcular o valor presente significa extrair da prestação à taxa de juros nela embutida Quando falamos em prestações devemos lembrar que cada uma vence em um período diferente Portanto os juros embutidos são diferentes em cada período Para efetuarmos os cálculos demonstrados no gráfico aplicamos a fórmula 𝑷𝑽 𝑭𝑽 𝟏𝒊𝒏 a cada parcela conforme abaixo 𝑷𝑽 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟓 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟓𝟐 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟓𝟑 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟓𝟒 PV 95238 90703 86384 82270 PV 354595 Da mesma forma como no cálculo do montante o cálculo do valor presente pode ser feito com a fórmula abaixo ou pelas funções financeiras da HP Fórmula 𝑷𝑽 𝑷𝑴𝑻 𝟏𝒊𝒏𝟏 𝟏𝒊𝒏𝒊 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟓𝟒𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟓𝟒𝟎𝟎𝟓 PV R 354595 Dado PV achar PMT Exemplo O Sr Pedro efetuou um empréstimo no valor de R 354595 para pagamento em 4 vezes a uma taxa de juros de 5 am Qual o valor das prestações 4 Fórmula 𝐏𝐌𝐓 𝐏𝐕 𝟏 𝐢𝐧 𝐢 𝟏 𝐢𝐧 𝟏 𝐏𝐌𝐓 𝟑 𝟓𝟒𝟓 𝟗𝟓 𝟏 𝟎 𝟎𝟓𝟒 𝟎 𝟎𝟓 𝟏 𝟎 𝟎𝟓𝟒 𝟏 𝐏𝐌𝐓 𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 CALCULANDO i TAXA Exemplo NA HP12C Valor a Vista R 120000 3151485 CHS PMT Qtde de Parcelas 4 4 n Vir das parcelas R3151485 120000 PV Taxa de Juros i i 200 ALGÉBRICO NÃO HÁ MANEIRA DE ISOLAR A VARIÁVEL i O ÚNICO PROCESSO DE CÁLCULO SEM USAR OS RECURSOS DE UMA CALCULADORA FINANCEIRA É ATRAVÉS DA TENTATIVA E ERRO E PROCESSOS DE APROXIMAÇÃO O QUE É BASTANTE TRABALHOSO CALCULANDO N Exemplo NA HP12C Valor a Vista R 120000 1200 PV Taxa de Juros 200 a m 2 i Qtde de Parcelas 3151485 CHS PMT Vlr Das Parcelas 3151485 n 4 Exercícios 01 Ao vender uma televisão o vendedor propôs os seguintes planos Pagamento à vista de R 130000 ou em 3 parcelas de R 46845 sem entrada Qual é a taxa cobrada no financiamento 02 Qual o capital que será necessário aplicar hoje em Caderneta de Poupança para que uma pessoa receba mensalmente uma parcela de R 15000 durante 10 anos sabendo que a poupança paga juros reais de 05 am 03 Certo cliente financiou um veículo no valor de R 1890000 em 4 parcelas iguais e mensais Se a taxa de juros foi de 5 ao mês qual o valor das parcelas 04 O Sr Paulo deseja comprar daqui a 3 meses um imóvel no valor de 3120000 Quanto deverá depositar mensalmente se receber juros de 28 a m 05 Qual o valor presente de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 2 am no regime de juros compostos e que dever ser quitado em 18 parcelas mensais de 123400 06 Determinar o valor das prestações semestrais de um financiamento realizado com taxa de 5 ao semestre no regime de juros compostos sabendose que o valor do principal é 100000 e que o prazo da operação é de 4 anos 07 Sabendose que um empréstimo pode ser liquidado em 18 parcelas mensais de 180000 cada uma e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é de 290 a m Calcular o valor do empréstimo 08 A empresa Beta Mar Ltda está preocupada com o desenvolvimento de um produto que espera colocar no mercado ao final de 06 meses Estimase que os custos de propaganda e distribuição da época do lançamento estarão por volta de 5 10000000 para que não haja problema financeiro para colocar o produto no mercado quanto a empresa terá de poupar de sua receita mensal a uma taxa de juros de 1 am 09 Maria Lúcia deposita 63000 em uma aplicação de CDB ao fim de cada ano durante 8 anos A instituição paga taxa de 15 de juro ao ano Qual será o montante acumulado ao final de 8 anos 10 Uma pessoa deseja comprar daqui a 5 meses mercadorias no valor de 2790546 Quanto deverá depositar mensalmente se receber juros de 55 am 11 Determinar o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1 am no regime de juros compostos e que dever ser liquidado em 12 prestações mensais sucessivas e iguais a 100000 12 Determinar o valor das prestações anuais de um financiamento realizado com taxa de 8 ao ano no regime de juros compostos sabendose que o valor do principal é 100000 e que o prazo da operação é de 4 anos 13 Sabendose que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de 250000 cada uma e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é de 475 am Calcular o valor do empréstimo 14 A empresa XYZ está preocupada com o desenvolvimento de um produto que espera colocar no mercado ao final de 12 meses Estimase que os custos de propaganda e distribuição da época do lançamento estarão por volta de 20000000 para que não haja problema financeiro para colocar o produto no mercado quanto a empresa terá de poupar de sua receita mensal a uma taxa de juros de 1 am 15 Uma pessoa deposita 50000 em uma instituição de crédito ao fim de cada ano durante cinco anos A instituição paga taxa de 5 de juro ao ano Qual será o montante acumulado ao final de 5 anos imediatamente após o quinto deposito 16 Uma compra no valor de 1600000 será paga por meio de uma entrada de 20 e um determinado numero de prestações mensais de 403862 sendo a primeira um mês após a compra a juros efetivos de 10 am Calcular o numero de prestações necessárias para liquidar a divida 17 Uma máquina com valor de 209180 é vendida em 12 prestações mensais de 30700 Qual a taxa de juros efetivos cobrada 18 Para se ter um montante de 230000000 uma pessoa decidiu fazer depósitos mensais de 8958993 com um rendimento efetivo de 6 a m Por quantos meses essa pessoa deverá realizar os depósitos 19 Um bem é vendido à vista por 1500000 ou a prazo em prestações mensais de 88571 a juros efetivos de 3 a m calcular o número de prestações necessárias 20 Uma concessionária oferece o seguinte plano de compra de um Palio 100000 de entrada mais 36 prestações de 47200 ou 1194500 avista Qual a taxa de juros mensal cobrada Respostas 1 4 am 2 R 1351100 3 R 533002 4 1011416 5 1850017 6 15472 7 2496693 8 1625483 9 531269 10 500000 11 1125507 12 30192 13 2247389 14 1576976 15 276281 16 4 prestações 17 10 am 18 16 meses 19 24 meses 20 260 am