Séries Uniformes em Matemática Financeira: Operações Antecipadas

MATEMÁTICA FINANCEIRA SÉRIES UNIFORMES 2 No trabalho anterior vimos séries de pagamentos com operações postecipadas agora veremos quando as operações são antecipadas ou seja o primeiro pagamento ocorre no início da operação entrada Como nas operações postecipadas aqui também poderemos resolver as situações problemas com o uso da calculadora HP12C ou com o uso de fórmulas Para isso primeiro precisamos distinguir que como a maioria das operações são postecipadas a HP12C geralmente está configurada para elas para realizarmos operações antecipadas devemos passar a calculadora para o modo Begin Início fazemos isso acionando as teclas e 7 𝐁𝐄𝐆 Para retornarmos ao modo postecipado acionamos as teclas e 8 𝐄𝐍𝐃 Em relação às fórmulas se pegarmos as fórmulas de pagamentos postecipados e anteciparmos um período de pagamento obtermos FV PMT1 i1 in 1 i e PV PMT1 in 1 i1 in1 Exemplos 1 Uma empresa adquiriu uma máquina de R 6540000 que deverá ser paga em 10 prestações mensais iguais sendo o primeiro pagamento no ato da compra Se for cobrada uma taxa de juros de 09 am então o valor de cada prestação será de Resolução Temos PV 65400 n 10 i 09 0009 PMT Usando a fórmula obtemos PV PMT1 in 1 i1 in1 65400 PMT1 000910 1 00091 0009101 65400 0093734PMT 00097558 Portanto PMT R 680681 Pela HP12C f CLX g BEG 65400 CHS PV 10 n 09 i PMT 2 Uma pessoa deseja comprar seu primeiro veículo para isso irá dispor de R 62000 em 36 meses Se ela possui para entrada apenas o valor da prestação e seu financiador cobra uma taxa de 1 am então o veículo que ela procurar deverá ter um preço máximo de Resolução Temos PV n 36 i 1 001 PMT 620 Usando a fórmula obtemos PV PMT1 in 1 i1 in1 6201 00136 1 0011 001361 2670766458 0014166027 1885332 Portanto o veículo deverá ter valor máximo de R 1885332 Pela HP12C f CLX g BEG 620 CHS PMT 36 n 1 i PV 3 Gerusa abriu uma conta de capitalização que remunera uma taxa de 08 am de juros com um g g depósito de R 35400 se ela realizar outros onze depósitos mensais com o mesmo valor após o décimo segundo depósito o saldo de sua conta será de Resolução Temos FV n 12 i 08 0008 PMT 354 Usando a fórmula obtemos FV PMT1 i1 in 1 i 3541 00081 000812 1 0008 3580405676 0008 447551 Portanto a conta terá R 447551 Pela HP12C f CLX g BEG 354 CHS PMT 12 n 08 i FV 4 Uma pessoa pretende ter daqui a 1 ano e meio R 1000000 para isso ela vai abrir uma conta de aplicação com um depósito e repetilo a cada mês Se a aplicação rende 09 am qual será o valor dos depósitos Resolução Temos FV 10000 n 15 ano 18 meses i 09 0009 PMT Usando a fórmula obtemos FV PMT1 i1 in 1 i 10000 PMT1 00091 000918 1 0009 10000 0176583532PMT 0009 PMT 50967 Portanto os depósitos deverão ser de R 50967 Pela HP12C f CLX g BEG 10000 CHS FV 18 n 09 i PMT Renda Perpétua Uma renda perpétua tratase de uma renda em que a anuidade não tem previsão de término podendo ser infinita como um condomínio um aluguel Essa renda é calculada por meio da equação 𝑉𝑟𝑝 PMT 𝑖 onde Vrp Valor da Renda Perpétua PMT parcelas i Taxa na forma decimal Exemplo Uma pessoa irá comprar uma casa para viver com a renda do seu aluguel pretende alugar essa casa por R 250000 mensais Quanto a pessoa está disposta a pagar pela casa sabendose que a taxa de referência é de 08 am Resolução Temos PMT 2500 i 08 am 0008 Vrp 𝑉𝑟𝑝 PMT 𝑖 2500 0008 312500 Portanto terá que investir R 31250000 Outras Situações Até esse momento vimos situações em que havia um pagamentorecebimento único e outras situações em que há vários pagamentosrecebimentos uniformes em períodos iguais e com o mesmo valor Na prática existem situações em que os pagamentosrecebimentos acontecem em períodos distintos e com valores diferentes essas situações serão exploradas em outra disciplina Agora veremos situações em que aparecem um prazo de carência Exemplos 1 Uma empresa fez um empréstimo de R 2500000 Para quitação ela terá 4 meses de carência e fará o pagamento em 12 parcelas iguais sob uma taxa de juros de 06 ao mês Qual o valor de cada parcela a ser depositada Obs Como não foi citado o pagamento pode ser antecipado ou postecipado aqui apresento as duas resoluções Resolução Pagamento Postecipado Para compreensão usamos o fluxo de caixa abaixo 25000 A PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT No fluxo de caixa A representa o valor da dívida passados 3 meses FV e representa também o valor que irá determinar as parcelas PV assim primeiro temos que calculálo Da fórmula de juros compostos temos A FV PV1in 250001 00063 A 2545271 agora calculamos o valor da parcela 𝐴 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇1 𝑖𝑛 1 𝑖1 𝑖𝑛 2545271 𝑃𝑀𝑇1 000612 1 00061 000612 2545271 0074424167𝑃𝑀𝑇 0006446545 𝑃𝑀𝑇 220469 Portanto a empresa deverá fazer 12 pagamentos de R 220469 Pela HP12C f CLX 25000 CHS PV 3 n 06 i FV anota o resultado 2545271 F CLX g END 2545271 CHS PV 12 n 06 i PMT Resolução Pagamento Antecipado O valor de A é deslocado 1 mês coincidindo com o 1º PMT 25000 A PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT No fluxo de caixa A representa o valor da dívida passados 4 meses de carência FV e representa também o valor que irá determinar as parcelas PV assim primeiro temos que calculálo Da fórmula de juros compostos temos A FV PV1in 250001 00064 A 2560542 agora calculamos o valor da parcela 𝐴 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇1 𝑖𝑛 1 𝑖1 𝑖𝑛1 2560542 𝑃𝑀𝑇1 000612 1 00061 000611 2560572 0074424167𝑃𝑀𝑇 000640809642 𝑃𝑀𝑇 220471 Portanto a empresa deverá fazer 12 pagamentos de R 220471 Pela HP12C f CLX 25000 CHS PV 4 n 06 i FV anota o resultado 2560542 F CLX g BEG 2560542 CHS PV 12 n 06 i PMT R 220469 Exercícios 1 Uma pessoa deseja comprar daqui a 4 meses mercadorias no valor de 2790546 Quanto deverá depositar mensalmente se o primeiro depósito ocorrer hoje e se receber juros de 55 am Resposta RS 609144 2 Determinar o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa efetiva de 1 am no regime de juros compostos e que dever ser liquidado em 12 prestações mensais iguais a R 100000 a primeira prestação ocorre no ato do financiamento Resposta R 1136763 3 Determinar o valor das prestações anuais pagamento antecipado de um financiamento realizado com taxa de 8 ao ano no regime de juros compostos sabendose que o valor do principal é R 8100000 e que o prazo da operação é de 4 anos Resposta R 2264406 4 Sabendose que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de R 250000 cada uma e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é de 475 am Sabendo que o pagamento é com entrada calcular o valor do empréstimo Resposta R 2354140 5 A empresa XYZ está preocupada com o desenvolvimento de um produto que espera colocar no mercado ao final de 12 meses Estimase que os custos de propaganda e distribuição da época do lançamento estarão por volta de R 20000000 para que não haja problema financeiro para colocar o produto no mercado quanto a empresa terá de poupar a partir de hoje de sua receita mensal a uma taxa de juros de 1 am Resposta R 1561362 6 Uma pessoa deposita 5 parcelas de R 50000 em uma instituição de crédito ao fim de cada ano durante cinco anos A instituição paga taxa de 5 de juro ao ano Qual será o montante acumulado ao final de 5 anos imediatamente após o quinto deposito Resposta R 290096 7 Um financiamento de R 13200000 será liquidado em 14 prestações mensais Considerando uma taxa de juros efetiva de 3 a m Calcular o valor da prestação na hipótese a serem pagas a postecipadamente fim de cada mês Resposta R 1168548 b antecipadamente início de cada mês Resposta R 1134512 8 Uma compra no valor de R 1600000 será paga por meio de um determinado número de prestações mensais de RS 383705 sendo a primeira no ato da compra a juros efetivos de 10 am Calcular o número de prestações necessárias para liquidar a dívida Resposta 5 9 Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de R 30700 com entrada igual às prestações a juros efetivos de 10 am qual deveria ser seu valor a vista Resposta 230098 10 Calcular o valor da aplicação mensal necessária que permita acumular ao fim de 16 prestações mensais um montante de R 230000000 considerando um rendimento efetivo de 6 am Resposta R 8451880 11 Um empréstimo de R 100000000 será pago com 11 prestações anuais de R 15000000 cada Calcular a taxa de juros efetiva cobrada considerando que as prestações serão a Postecipadas Resposta 94377 aa b Antecipadas Resposta 119291 aa 12 Um bem é vendido à vista por R 1500000 ou a prazo em prestações mensais de R 85991 a juros efetivos de 3 a m calcular o número de prestações necessárias considerando pagamento antecipado Resposta 24 13 Uma concessionária oferece o seguinte plano de compra de um Palio 36 prestações de 47200 sendo a 1ª no ato ou 1094500 avista Qual a taxa de juros mensal cobrada Resposta 27817 14 Uma empresa contraiu um empréstimo de R 3260000 terá 3 meses de carência para iniciar o pagamento que deverá ser feito em 20 parcelas mensais iguais com juros de 15 am Qual deverá ser o valor de cada parcela Resposta R 195620 32600 A PMT PMT F CLX g END 32600 CHS PV 3 n 15 i FV A 3408912 15 Uma empresa precisa de um empréstimo de R 5000000 sabe que precisa de uma carência de 5 meses e que a taxa cobrada pelo banco será de 12 am Se ela sabe que após os 5 meses ela irá dispor no máximo de R 310325 a cada mês para pagar as parcelas em quantos pagamentos ela deverá negociar esse empréstimo Resposta 19 parcelas 16 Uma Máquina de R 12500000 foi vendida com prazo de carência de 4 meses e para ser quitada em 12 prestações com capitalização mensal Se a taxa de juros nominal cobrado for de 1268 aa então o valor de cada prestação será de Resposta R 1144262 12500 PV PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT 11268 enter 12 1x yx F CLX g END 125000 PV 4 n 1 i Fv 13007550 F CLX g BEG 13007550 PV 12n 1i PMT 17 Um empréstimo foi concedido a uma taxa de 15 am para ser pago em 12 parcelas mensais postecipadas de R 293376 Com dificuldades o contratante solicita uma carência de 6 meses isso fará a parcela passar para o valor de Resposta R 316049 Postecipada g END f CLX 15 i 12 n 316049 CHS PMT PV 3200000 Corrigindo o PV em 6 meses f CLX 32000 CHS PV 6 n 15 i FV 3499018 Calculando as parcelas g BEG f CLX 3499018 CHS PV 12 n 15 i PMT 316049 32000 3499018 PMT