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Engenharia Civil ·
Isostática
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O diagrama de momento fletor é uma representação visual baseada em modelos matemáticos das forças de momento que atuam em uma estrutura Mas vamos começar do princípio O momento é definido como uma uma força aplicada em um sistema rotacional a uma determinada distância do eixo de rotação Imagine que você está dirigindo seu carro e por um acaso um dos seus pneus fura você desce e pega a chave no porta malas para afrouxar os parafusos que prendem a roda você encaixa a chave no primeiro parafuso e faz força mas o parafuso está apertado demais e não se mexe É intuitivo imaginar que se você usar uma chave mais longa ou algo que alongue a haste da chave formando um braço de alavanca maior será mais fácil afrouxar o parafuso O momento é justamente essa relação entre a força e a distância do eixo em que aplicamos essa força de forma que quanto mais longe do eixo menos força precisa ser aplicada para que um mesmo momento seja gerado Integral Para fazermos um diagrama de momento fletor temos que seguir o mesmo princípio de integração apresentado no artigo Diagrama de Esforço Cortante no entanto temos que integrar o diagrama de esforço cortante dessa vez Cargas pontuais passam a ser funções constantes que por sua vez passam a ser funções de primeiro grau ax b Cargas distribuídas constantes passa a ser funções de primeiro grau ax b que por sua vez passam a ser funções de segundo grau ax² bx c Perceba que o ponto em que o momento atinge seu máximo é o mesmo ponto em que a reta do esforço cortante cruza o eixo X Cargas descritas por uma função de primeiro grau passam a ser funções de segundo grau ax² bx c que por sua vez passam a ser funções de terceiro grau ax³bx²cxd Perceba que o ponto em que o momento atinge seu máximo é o mesmo ponto em que a curva do esforço cortante cruza o eixo X Exemplo 1 Cargas Concentradas Primeiro utilizamos a equação de equilíbrio dos momentos para encontrar a força das reações dos apoios RA e RB Com as reações dos apoios descobertas podemos traçar o diagrama de esforço cortante Teoria Integrando cada trecho A constante 63275 passa a ser a expressão 63275X A constante 01275 passa a ser a expressão 01275X A constante 83725 passa a ser a expressão 83725X Multiplicando por X temos os seguintes resultados 6327517 1075675 KNm 0127510 01275 KNm 8372513 1088425 KNm Com esses resultados podemos desenhar nosso diagrama de momento fletor O diagrama de momento fletor é feito com os valores positivos no lado de baixo e os valores negativos no lado de cima convenção pois dessa forma o desenho representa as posições das armaduras que serão colocadas em uma viga Prática A área de cada trecho do diagrama de esforço cortante equivale à variação do mesmo trecho no diagrama de momento fletor como na imagem Onde a área do retângulo vermelho de 63275 KN 17 m 1075675 KNm e o retângulo azul de 83725 KN 13 m 1088425 KNm É importante ter em mente também que o ponto onde o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X é sempre o ponto onde o momento atinge o máximo Exemplo 2 Cargas distribuídas Primeiro fazemos a simplificação das cargas para poder utilizar a equação do equilíbrio dos momentos Sabendo que a força resultante de 320 KN está localizada no centro da estrutura podemos então utilizar a equação do equilíbrio dos momentos Com as reações dos apoios descobertas podemos traçar o diagrama de esforço cortante Teoria O carregamento forma uma função constante de 80 Para fazermos o diagrama de esforço cortante integramos essa função constante Detalhe Sabemos que o diagrama de esforço cortante inicia no lado esquerdo acima do eixo X essa distância é exatamente a reação RA quando a extremidade da viga for apoiada Caso a extremidade da viga seja em balanço o diagrama de esforço cortante inicia em zero Essa distância vertical entre o eixo X e o ponto onde a nossa reta inicia é prevista matematicamente como o b da equação de primeiro grau aX b 80 passa a ser 8X16 Essa equação será negativa em função da direção em que esta carga está sendo aplicada já que sabemos que a reta percorrerá uma direção decrescente Com a equação do esforço cortante fazemos então mais uma integral para obter a equação que descreve o momento fletor 8X16 passa a ser 4X²16X Para calcularmos o momento máximo em teoria temos que fazer a derivada da equação 4X²16X e igualarmos a zero dessa forma estamos calculando qual a posição em que a inclinação da reta é nula em uma parábola isso só acontece em um único ponto Sabemos então que o ponto onde o momento atinge seu máximo é em X2 usamos essa informação na equação principal Com todas essas informações podemos então desenhar o diagrama Prática Sabendo o formato que o diagrama deve ter podemos simplesmente calcular a área de um dos triângulos formados no diagrama de esforço cortante para sabermos o momento máximo Lembrando que o momento máximo fica localizado onde o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X Sabendo também que o momento é nulo nos apoios já temos as informações necessárias para desenhar nosso diagrama de momento fletor exatamente como na imagem anterior Exemplo 3 Carga triangular Primeiro fazemos a simplificação das cargas para poder utilizar a equação do equilíbrio dos momentos Com as reações dos apoios descobertas podemos traçar o diagrama de esforço cortante Teoria Infelizmente para esse tipo de carregamento não temos uma forma prática Sabemos que o carregamento atinge um pico de 75 KN depois de percorrer 40 m então podemos deduzir que ou seja a cada 10 m percorrido a carga aumenta 1875 KN Podemos deduzir então que o carregamento segue a equação Para obtermos o diagrama de esforço cortante fazemos a integral dessa equação lembrando que a curva deve começar 49875 acima do eixo X ou seja fazemos a integral da equação primária 1875X e adicionamos 49875 ao final dela Outro detalhe é que temos que inverter o sinal da equação para que o desenho fique correto Agora que temos a equação que descreve o momento fletor falta apenas achar o momento máximo Momento máximo em carregamentos triangulares Primeiro precisamos achar a posição em que o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X para isso igualamos a equação do esforço cortante a zero e utilizamos a fórmula de Bhaskara Utilizaremos o valor positivo X Agora que sabemos o ponto onde o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X podemos calcular a área indicada Para calcularmos a área indicada vamos precisar usar a integral definida A integral definida vai ter os limites de 0 a 23065 Indicamos o uso do Integral Calculator para o cálculo de integrais Basta escrever sua equação na caixa de texto Para impor os limites você deve clicar em options no lado direito da caixa de texto Sabemos então que o ponto onde o momento atinge o seu máximo fica em X 23065 m e equivale a 767 KNm Lembrando que o diagrama de momento fletor tem seus lados positivo e negativo invertidos Exemplo 4 Continuação do exercício do artigo anterior Diagrama de Esforço Cortante Vamos separar o diagrama de esforço cortante em trechos para facilitar os cálculos Trecho 1 O trecho 1 é dado por uma função constante de 135 integrando uma vez obtemos a função de 135X Trecho 2 O trecho 2 é dado por uma função constante de 63 integrando uma vez obtemos a função de 63X mas devemos ainda somar a altura resultante do primeiro trecho onde 13510 m 135 temos assim a função 63X135 Trecho 3 O trecho 3 é dado uma uma função de primeiro grau 42X integrando uma vez obtemos a função 21X² no entanto essa função vai precisar de algumas informações adicionais Primeiro Temos que inverter o sinal da primeira parte da equação 21X² Segundo Temos que adicionar o b da equação que será dado em função da equação anterior 63X Então temos até agora a seguinte equação 21X²63X Desta forma temos a parábola e a posição X em que ela se localiza falta apenas a altura dela Terceiro Temos que adicionar o c da equação que é dado em função da altura atingida pela soma dos 2 trechos anteriores ou seja 13510 m 135 KNm 6310 m 135 198 KNm Finalmente obtemos a equação 21X²63X198 Sabemos também que o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X a 35 m do começo da viga lado direito Para saber quanto é o momento máximo basta calcularmos a área do triângulo formado no trecho 3 e somarmos com os 198 área dos outros 2 trechos 63152 4725 198 24525 KNm Trecho 4 É a continuação do trecho 3 porém devemos mudar as coordenadas da equação em função da carga concentrada e do novo ponto de início Mantemos o 21X² por se tratar ainda de uma função de segundo grau trocamos o 63X era a altura do ponto onde a equação começava entre o trecho 3 e o trecho 2 por 65X em relação a carga concentrada A altura do ponto de início que antes era 198 passa a ser 24525 já que o ponto de início desse trecho coincide com o ponto de momento máximo que calculamos anteriormente Obtemos então Trecho 5 A equação que descreve o diagrama de esforço cortante no trecho 5 é dada por Agora que temos todas as equações e todos os pontos importantes levantados podemos finalmente desenhar nosso diagrama de momento fletor
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O diagrama de momento fletor é uma representação visual baseada em modelos matemáticos das forças de momento que atuam em uma estrutura Mas vamos começar do princípio O momento é definido como uma uma força aplicada em um sistema rotacional a uma determinada distância do eixo de rotação Imagine que você está dirigindo seu carro e por um acaso um dos seus pneus fura você desce e pega a chave no porta malas para afrouxar os parafusos que prendem a roda você encaixa a chave no primeiro parafuso e faz força mas o parafuso está apertado demais e não se mexe É intuitivo imaginar que se você usar uma chave mais longa ou algo que alongue a haste da chave formando um braço de alavanca maior será mais fácil afrouxar o parafuso O momento é justamente essa relação entre a força e a distância do eixo em que aplicamos essa força de forma que quanto mais longe do eixo menos força precisa ser aplicada para que um mesmo momento seja gerado Integral Para fazermos um diagrama de momento fletor temos que seguir o mesmo princípio de integração apresentado no artigo Diagrama de Esforço Cortante no entanto temos que integrar o diagrama de esforço cortante dessa vez Cargas pontuais passam a ser funções constantes que por sua vez passam a ser funções de primeiro grau ax b Cargas distribuídas constantes passa a ser funções de primeiro grau ax b que por sua vez passam a ser funções de segundo grau ax² bx c Perceba que o ponto em que o momento atinge seu máximo é o mesmo ponto em que a reta do esforço cortante cruza o eixo X Cargas descritas por uma função de primeiro grau passam a ser funções de segundo grau ax² bx c que por sua vez passam a ser funções de terceiro grau ax³bx²cxd Perceba que o ponto em que o momento atinge seu máximo é o mesmo ponto em que a curva do esforço cortante cruza o eixo X Exemplo 1 Cargas Concentradas Primeiro utilizamos a equação de equilíbrio dos momentos para encontrar a força das reações dos apoios RA e RB Com as reações dos apoios descobertas podemos traçar o diagrama de esforço cortante Teoria Integrando cada trecho A constante 63275 passa a ser a expressão 63275X A constante 01275 passa a ser a expressão 01275X A constante 83725 passa a ser a expressão 83725X Multiplicando por X temos os seguintes resultados 6327517 1075675 KNm 0127510 01275 KNm 8372513 1088425 KNm Com esses resultados podemos desenhar nosso diagrama de momento fletor O diagrama de momento fletor é feito com os valores positivos no lado de baixo e os valores negativos no lado de cima convenção pois dessa forma o desenho representa as posições das armaduras que serão colocadas em uma viga Prática A área de cada trecho do diagrama de esforço cortante equivale à variação do mesmo trecho no diagrama de momento fletor como na imagem Onde a área do retângulo vermelho de 63275 KN 17 m 1075675 KNm e o retângulo azul de 83725 KN 13 m 1088425 KNm É importante ter em mente também que o ponto onde o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X é sempre o ponto onde o momento atinge o máximo Exemplo 2 Cargas distribuídas Primeiro fazemos a simplificação das cargas para poder utilizar a equação do equilíbrio dos momentos Sabendo que a força resultante de 320 KN está localizada no centro da estrutura podemos então utilizar a equação do equilíbrio dos momentos Com as reações dos apoios descobertas podemos traçar o diagrama de esforço cortante Teoria O carregamento forma uma função constante de 80 Para fazermos o diagrama de esforço cortante integramos essa função constante Detalhe Sabemos que o diagrama de esforço cortante inicia no lado esquerdo acima do eixo X essa distância é exatamente a reação RA quando a extremidade da viga for apoiada Caso a extremidade da viga seja em balanço o diagrama de esforço cortante inicia em zero Essa distância vertical entre o eixo X e o ponto onde a nossa reta inicia é prevista matematicamente como o b da equação de primeiro grau aX b 80 passa a ser 8X16 Essa equação será negativa em função da direção em que esta carga está sendo aplicada já que sabemos que a reta percorrerá uma direção decrescente Com a equação do esforço cortante fazemos então mais uma integral para obter a equação que descreve o momento fletor 8X16 passa a ser 4X²16X Para calcularmos o momento máximo em teoria temos que fazer a derivada da equação 4X²16X e igualarmos a zero dessa forma estamos calculando qual a posição em que a inclinação da reta é nula em uma parábola isso só acontece em um único ponto Sabemos então que o ponto onde o momento atinge seu máximo é em X2 usamos essa informação na equação principal Com todas essas informações podemos então desenhar o diagrama Prática Sabendo o formato que o diagrama deve ter podemos simplesmente calcular a área de um dos triângulos formados no diagrama de esforço cortante para sabermos o momento máximo Lembrando que o momento máximo fica localizado onde o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X Sabendo também que o momento é nulo nos apoios já temos as informações necessárias para desenhar nosso diagrama de momento fletor exatamente como na imagem anterior Exemplo 3 Carga triangular Primeiro fazemos a simplificação das cargas para poder utilizar a equação do equilíbrio dos momentos Com as reações dos apoios descobertas podemos traçar o diagrama de esforço cortante Teoria Infelizmente para esse tipo de carregamento não temos uma forma prática Sabemos que o carregamento atinge um pico de 75 KN depois de percorrer 40 m então podemos deduzir que ou seja a cada 10 m percorrido a carga aumenta 1875 KN Podemos deduzir então que o carregamento segue a equação Para obtermos o diagrama de esforço cortante fazemos a integral dessa equação lembrando que a curva deve começar 49875 acima do eixo X ou seja fazemos a integral da equação primária 1875X e adicionamos 49875 ao final dela Outro detalhe é que temos que inverter o sinal da equação para que o desenho fique correto Agora que temos a equação que descreve o momento fletor falta apenas achar o momento máximo Momento máximo em carregamentos triangulares Primeiro precisamos achar a posição em que o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X para isso igualamos a equação do esforço cortante a zero e utilizamos a fórmula de Bhaskara Utilizaremos o valor positivo X Agora que sabemos o ponto onde o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X podemos calcular a área indicada Para calcularmos a área indicada vamos precisar usar a integral definida A integral definida vai ter os limites de 0 a 23065 Indicamos o uso do Integral Calculator para o cálculo de integrais Basta escrever sua equação na caixa de texto Para impor os limites você deve clicar em options no lado direito da caixa de texto Sabemos então que o ponto onde o momento atinge o seu máximo fica em X 23065 m e equivale a 767 KNm Lembrando que o diagrama de momento fletor tem seus lados positivo e negativo invertidos Exemplo 4 Continuação do exercício do artigo anterior Diagrama de Esforço Cortante Vamos separar o diagrama de esforço cortante em trechos para facilitar os cálculos Trecho 1 O trecho 1 é dado por uma função constante de 135 integrando uma vez obtemos a função de 135X Trecho 2 O trecho 2 é dado por uma função constante de 63 integrando uma vez obtemos a função de 63X mas devemos ainda somar a altura resultante do primeiro trecho onde 13510 m 135 temos assim a função 63X135 Trecho 3 O trecho 3 é dado uma uma função de primeiro grau 42X integrando uma vez obtemos a função 21X² no entanto essa função vai precisar de algumas informações adicionais Primeiro Temos que inverter o sinal da primeira parte da equação 21X² Segundo Temos que adicionar o b da equação que será dado em função da equação anterior 63X Então temos até agora a seguinte equação 21X²63X Desta forma temos a parábola e a posição X em que ela se localiza falta apenas a altura dela Terceiro Temos que adicionar o c da equação que é dado em função da altura atingida pela soma dos 2 trechos anteriores ou seja 13510 m 135 KNm 6310 m 135 198 KNm Finalmente obtemos a equação 21X²63X198 Sabemos também que o diagrama de esforço cortante cruza o eixo X a 35 m do começo da viga lado direito Para saber quanto é o momento máximo basta calcularmos a área do triângulo formado no trecho 3 e somarmos com os 198 área dos outros 2 trechos 63152 4725 198 24525 KNm Trecho 4 É a continuação do trecho 3 porém devemos mudar as coordenadas da equação em função da carga concentrada e do novo ponto de início Mantemos o 21X² por se tratar ainda de uma função de segundo grau trocamos o 63X era a altura do ponto onde a equação começava entre o trecho 3 e o trecho 2 por 65X em relação a carga concentrada A altura do ponto de início que antes era 198 passa a ser 24525 já que o ponto de início desse trecho coincide com o ponto de momento máximo que calculamos anteriormente Obtemos então Trecho 5 A equação que descreve o diagrama de esforço cortante no trecho 5 é dada por Agora que temos todas as equações e todos os pontos importantes levantados podemos finalmente desenhar nosso diagrama de momento fletor