Aplicações do Cálculo Integral em Física, Engenharia e Estatística - Guia Completo

TRANS FORMAR O PAÍS PELA EDUCAÇÃO É O QUE NOS MOVE FENÕMENOS ELÉTRICOS MAGNÉTICOS E OSCILATÓRIOS Profa Christianne Garcia Rodrigues christiannegarciaprofunabr COMPORTAMENTO QUÍMICO E MECÂNICO DOS MATERIAIS REFERÊNCIA BOULOS Paulo Introdução ao Cálculo Cálculo Diferencial São Paulo Editora Blucher 2019 E book APLICAÇÃO DO CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAIS ELEMENTARES PARA QUE SERVE A INTEGRAL A integral é uma ferramenta matemática poderosa que tem várias aplicações em diversas áreas como física engenharia economia estatística entre outras Aqui estão algumas das principais utilizações da integral Cálculo de Áreas e Volumes A integral é frequentemente usada para calcular áreas sob curvas em gráficos e volumes de sólidos em geometria A integral definida é particularmente útil para calcular áreas delimitadas por curvas Cálculo de Centros de Massa e Momentos de Inércia Na física e na engenharia a integral é usada para determinar os centros de massa de objetos e calcular momentos de inércia em sistemas físicos Resolução de Problemas de Movimento e Cinemática No estudo do movimento como na física newtoniana a integral é essencial para resolver problemas de velocidade aceleração deslocamento e outras grandezas relacionadas ao movimento de objetos Análise de Circuitos Elétricos Em engenharia elétrica a integral é usada para analisar circuitos elétricos calcular a energia consumida determinar correntes e tensões em diferentes partes do circuito entre outras aplicações 4 PARA QUE SERVE A INTEGRAL Resolução de Equações Diferenciais A integral é fundamental na resolução de equações diferenciais pois muitas vezes envolve a integração de funções para encontrar soluções específicas Cálculo de Probabilidades e Estatísticas Na teoria da probabilidade e na estatística a integral é utilizada para calcular probabilidades encontrar distribuições de probabilidades e realizar análises estatísticas Cálculo de Trabalho e Energia em Física A integral é usada para calcular trabalho realizado por forças energia potencial e cinética e outras quantidades relacionadas à energia em sistemas físicos Esses são apenas alguns exemplos das muitas aplicações da integral Em resumo a integral é uma ferramenta fundamental que nos permite compreender e resolver uma ampla variedade de problemas matemáticos e físicos em diversas áreas do conhecimento 5 Vamos calcular a integral definida de uma função simples como fx2x no intervalo de x0 a x3 Ou seja queremos calcular Para resolver essa integral primeiro precisamos encontrar a antiderivada da função fx2x A antiderivada de 2x em relação a x é x2C onde C é a constante de integração Agora podemos calcular a integral definida substituindo os limites de integração e aplicando a antiderivada Potência de x 3 𝑥𝑛 0 𝑥𝑛1 6 𝑛 1 𝐶 Funções Elementares do Cálculo Integral 7 1Constante k dx kx C onde k é uma constante 2Potência de x xn dx xn1n1 C para n 1 3Exponencial ex dx ex C 4Logaritmo Natural 1x dx lnx C para x 0 5Função Trigonométrica Seno sinx dx cosx C 6Função Trigonométrica Cosseno cosx dx sinx C 7Função Trigonométrica Tangente tanx dx lncosx C 8Função Trigonométrica Cotangente cotx dx lnsinx C 9Função Trigonométrica Secante secx dx lnsecx tanx C 10Função Trigonométrica Cossecante cscx dx lncscx cotx C dx x c xⁿ dx xⁿ ¹ n 1 c n 1 1 x dx ln x c eˣ dx eˣ c aˣ dx aˣ ln a c a 0 a 1 Cálculo da Energia Consumida por um Dispositivo Elétrico Suponha que um dispositivo elétrico tenha uma corrente elétrica It em Ampères A dada pela função It2t onde t está em segundos s e varia de 0 a 5 segundos Para calcular a energia consumida por este dispositivo ao longo de 5 segundos usamos a fórmula 5 E0 𝑃𝑇 onde Pté a potência instantânea em Watts W dada por PtRIt² sendo R a resistência em Ohms Ω Se R4Ω então a energia consumida é 0 5 E 2𝑡 2𝑑𝑡 9 Cálculo do Trabalho Realizado por uma Fonte de Corrente Suponha que uma fonte de corrente constante I3 A esteja conectada a um resistor de R5 Ohms Para calcular o trabalho realizado pela fonte ao transferir carga elétrica através do resistor durante 10 segundos usamos a fórmula do trabalho onde Vt é a voltagem em Volts V no resistor Como VtRI o trabalho é 10 Cálculo da Carga Elétrica Acumulada ao Longo do Tempo Se a corrente It4t em Ampères está fluindo através de um circuito durante 8 segundos podemos determinar a carga elétrica acumulada durante este período usando a fórmula 11 Cálculo da Carga Armazenada em um Capacitor Suponha que um capacitor tenha uma capacitância C10 microfarads μF e seja carregado por uma corrente It5sent em microamperes μA onde t está em segundos s e varia de 0 a π segundos Queremos calcular a carga elétrica Q armazenada no capacitor ao longo do intervalo de tempo de 0 a π segundos A carga Q armazenada em um capacitor é dada pela integral da corrente em relação ao tempo 12 Carga Armazenada em um Capacitor Considere um circuito elétrico contendo um capacitor de 8 μF que é inicialmente descarregado A tensão aplicada ao capacitor é dada por Vt12sin1000t volts V onde t é o tempo em segundos Queremos determinar a quantidade de carga elétrica armazenada no capacitor após 5 milissegundos ms de operação 1 Primeiro precisamos calcular a corrente que flui através do circuito A corrente em um capacitor é dada por 2 Calcula a derivada da função Vt12sin1000t em relação ao tempo 121000cos1000t12000cos1000t 3 Agora calculamos a corrente It810x106 12000cos1000tA It0096cos1000t A It0096cos1000t A 13 Carga Armazenada em um Capacitor 4 Em seguida para determinar a carga armazenada após 5 ms integramos a corrente ao longo do intervalo de 0 a 5 ms 14