Determinantes Matriz 3x3 Regra de Cramer e Escalonamento Sistemas Lineares

Modelagem e simulação de fenômenos elétricos e magnéticos Determinantes matriz 3x3 Regra de Cramer e escalonamento Determinantes matriz 3x3 Se M é de ordem 3 o detM é a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais menos a soma dos produtos dos elementos da diagonais secundárias Ao resolvermos o determinante repetimos a 1ª e a 2ª colunas M detM regara de Sarrus detM a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 Exemplo 1 Calcule o determinante da matriz de coeficientes do sistema linear abaixo x y z 6 x y z 4 2x y z 1 Exemplo 2 Calcule o determinante da matriz de coeficientes do sistema linear abaixo x 3y z 0 3x 3y z 8 2y z 0 Regra de Cramer A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear usada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais Portanto ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante D da equação incompleta ou matriz dos coeficientes e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes Dx Dy e Dz Regra de Cramer A solução do sistema de 3 equações e 3 incógnitas será Exemplo 3 Resolva o sistema linear utilizando a regra de Cramer x y z 6 x y z 4 2x y z 1 Exemplo 4 Resolva o sistema linear utilizando a regra de Cramer x 3y z 0 3x 3y z 8 2y z 0 Exemplo de aplicação Aplicando as Leis de Kirchhoff em um circuito com três malhas foi descrito um sistema linear com três equações onde I1I2 e I3 representam as correntes Sendo assim qual valor de I1 I2 S114 Escalonamento Uma ferramenta para resolver sistemas lineares é o método da eliminação de Gauss com pivoteamento ou escalonamento que consiste em transformar o sistema dado em outro sistema triangular superior facilitando sua resolução Para isso realizamos algumas operações chamadas operações elementares Permutar trocar de posição duas equações do sistema Multiplicar uma das equações por uma constante não nula Substituir uma equação multiplicandoa por um escalar e adicionando ou subtraindo com alguma outra equação Escalonamento Exemplos de sistemas escalonados No primeiro exemplo é fácil perceber que z 5 Substituindo z por 5 na 2ª equação concluímos que y 0 Substituindo y e z por 0 e 5 respectivamente na 1ª equação obtemos x 2 Portanto S 2 0 5 Escalonamento Troca da ordem das equações Podemos passar a equação da linha 2 para a linha 1 Escalonamento Multiplicação ou divisão de todos os termos de uma equação por um mesmo número real diferente de zero Podemos multiplicar todos os termos de uma equação qualquer do sistema 3x 2y z 5 Multiplicando todos os termos por 3 9x 6y 3z 15 Escalonamento Multiplicação dos termos de uma equação por um número real e soma ou subtração do resultado aos termos correspondentes de outra equação do sistema Podemos multiplicar todos os elementos da equação da primeira linha por 2 Escalonamento Somamos a equação obtida termo a termo com a equação da segunda linha e substituímos na segunda linha o resultado Obtemos o sistema escalonado Escalonamento Escalone e resolva o sistema x 2y z 0 3x y z 7 2x 3y z 7 S 1 2 3