Números Complexos - Teoria e Operações Essenciais para Estudo

NÚMEROS COMPLEXOS ℚ ℤ Conjunto dos números complexos ℕ 𝕀 ℝ ℂ Número imaginário 𝑥² 1 0 𝑥² 1 𝑥 1 Número imaginário i 𝑥 𝑖 𝑥² 4 0 𝑥² 4 𝑥 4 𝑥 1 4 𝑥 2𝑖 𝑖5 𝑖4 𝑖 1 𝑖 𝒊 𝑖6 𝑖5 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖2 1 ² 𝟏 𝑖7 𝑖6 𝑖 1 𝑖 𝒊 𝑖8 𝑖7 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖2 1 𝟏 Número imaginário 𝒊 1 𝑖² 1 ² 𝟏 𝑖³ 𝑖² 𝑖 1 𝑖 𝒊 𝑖4 𝑖³ 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖2 1 𝟏 Número imaginário A cada quatro potências consecutivas de i iniciando com o expoente 1 o conjunto solução sempre é o mesmo i 1 i 1 Para determinar o valor de potências com expoentes maiores basta dividir o expoente por 4 e considerar o resto da divisão como o novo expoente que será o 1 2 ou 3 𝑖2014 503 2012 2 𝑖2014 𝑖² 1 Número complexo Forma Algébrica Um número complexo é todo número na forma z a bi Número complexo Parte real de z Parte imaginária de z Quando a 0 z bi Quando b 0 z a Nº imaginário puro Nº real Número complexo 2 4i número complexo 8 i 2 número complexo 6i número complexo puro 4 número real i número complexo puro i² número real Operações com números complexos Seja 𝑧 7 8𝑖 e 𝑤 2 5𝑖 ADIÇÃO 𝑧 𝑤 Operações com números complexos Seja 𝑧 7 8𝑖 e 𝑤 2 5𝑖 ADIÇÃO 𝑧 𝑤 7 2 8𝑖 5𝑖 𝑧 𝑤 9 3𝑖 Soma parte real com parte real e soma parte imaginária com parte imaginária Operações com números complexos Seja 𝑧 7 8𝑖 e 𝑤 2 5𝑖 SUBTRAÇÃO 𝑧 𝑤 Operações com números complexos Seja 𝑧 7 8𝑖 e 𝑤 2 5𝑖 SUBTRAÇÃO 𝑧 𝑤 7 2 8 5 𝑖 𝑧 𝑤 5 13𝑖 Subtrai parte real com parte real e subtrai parte imaginária com parte imaginária 𝑧 𝑤 7 8𝑖 2 5𝑖 𝑧 𝑤 7 8𝑖 2 5𝑖 Operações com números complexos Seja 𝑧 7 8𝑖 e 𝑤 2 5𝑖 MULTIPLICAÇÃO 𝑧 𝑤 Operações com números complexos Seja 𝑧 7 8𝑖 e 𝑤 2 5𝑖 MULTIPLICAÇÃO 𝑧 𝑤 14 35𝑖 16𝑖 40𝑖² 𝑧 𝑤 14 19𝑖 40 Aplica a propriedade da distributividade 𝑧 𝑤 54 19𝑖 Conjugado de um número complexo O conjugado de 𝑧 𝑎 𝑏𝑖 é ҧ𝑧 𝑎 𝑏𝑖 𝑧 ҧ𝑧 𝑎2 𝑎𝑏𝑖 𝑎𝑏𝑖 𝑏2𝑖² 𝑧 ҧ𝑧 𝑎2 𝑏2 1 Operações com números complexos Seja 𝑧 7 8𝑖 e 𝑤 2 5𝑖 DIVISÃO 𝑧 𝑤 7 8𝑖 2 5𝑖 A ideia é a mesma de quando tiramos uma raiz de um denominador ഥ𝑤 2 5𝑖 Conjugado de w Operações com números complexos Seja 𝑧 7 8𝑖 e 𝑤 2 5𝑖 DIVISÃO 𝑧 𝑤 7 8𝑖 2 5𝑖 Multiplica numerador e denominador pelo conjugado do denominador 2 5𝑖 2 5𝑖 14 35𝑖 16𝑖 40𝑖² 4 10𝑖 10𝑖 25𝑖² 26 29 51 29 𝑖 Operações com números complexos Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância Z 10 10j ohm Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte 𝑖 𝑈 𝑍 220 1010𝑗 Operações com números complexos Uma fonte de tensão de 220 V alimenta uma carga de impedância Z 10 10j ohm Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte 𝑖 𝑈 𝑍 220 1010𝑗 10 10𝑗 10 10𝑗 22002200𝑗 100100 2200 200 2200𝑗 200 𝑖 11 11𝑗 Operações com números complexos Sendo z23i e w14i obtenha a zw b zw c 3z6w d zw e zwzw f zw2 a 17i b 3i c 33 i d 10 17 11 17 𝑖 e 1020i f 4814i F x yi permite calcular a força de arrasto responsável pela sustentação do corpo A partir da solução dessa equação define se o perfil aerodinâmico que facilita a circulação do fluido em torno da asa do avião Os aviões da Air Race seguem os mesmos princípios de todos os aviões porém para a realização dos malabarismos a eficiência aerodinâmica dessas aeronaves precisam ser potencializadas e o arrasto reduzido Representação gráfica do número complexo No plano cartesiano podemos representar qualquer número complexo através de um ponto xy onde x é a parte real e y a parte imaginária 1 2 3 4 4 3 2 1 z 3 2i y reta imaginária x reta dos reais AFIXO de z w 1 i Os números complexos são representados geometricamente no plano XY pela seguinte equivalência z a bi P a b conforme ilustração a seguir a Represente no plano XY anterior os números complexos z1 2 2i e z2 2 2i RESPOSTA Exercício Módulo de um número complexo Por definição o módulo é a distância do número até a sua origem No número complexo o módulo será a distância do seu afixo à origem z a bi a b 𝒛 𝒂² 𝒃² 𝐄𝐱 𝑧 1 3 𝑖 𝑧 1² 3 ² 𝑧 1 3 2 Forma polar ou trigonométrica de um número complexo z a bi a b 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒃 𝒛 𝒃 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒂 𝒛 𝒂 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒛 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒛 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒛 𝒊 𝒛 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊 𝒕𝒈𝜽 𝒃 𝒂 𝒐𝒖 𝒛 𝒛 𝜽 𝜽 𝒂𝒓𝒈𝒛 Determine o módulo o argumento e represente graficamente o número complexo z 2 RESPOSTA 2 3i Considere a mira z e o alvo w indicados na figura ao lado Determine o tiro certeiro de z em w RESPOSTA NÚMEROS COMPLEXOS NO VESTIBULAR Exercício Forma polar ou trigonométrica de um número complexo Um afixo de um número complexo pode variar em uma circunferência de centro na origem e raio igual a 1 Assim o número complexo Z tem módulo 1 e seu argumento ângulo varia 𝒛 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊 Operações de multiplicação utilizando a forma polar 𝒛𝟏𝒛𝟐 𝒛𝟏 𝒛𝟐𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏 𝜽𝟐 𝒊 𝒛𝟏𝒛𝟐 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝜽𝟏 𝜽𝟐 𝒐𝒖 Operações de divisão utilizando a forma polar 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 𝜽𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏 𝜽𝟐 𝒊 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝒛𝟏 𝒛𝟐 𝜽𝟏 𝜽𝟐 𝒐𝒖 Operações de potenciação utilizando a forma polar 𝒛𝒏 𝒛𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒏𝒏𝜽𝒊 𝒛𝒏 𝒛 𝒏 n𝜽 𝒐𝒖 Exercícios Realize as operações com os números complexos abaixo Z125j Z241 36º Z33 98º Z45j Z53COS60ºjSEN60º Z6208j Z71015j Z8Z54COS30ºjSEN30º a Z1Z2Z3 b Z3Z7 c Z8Z2Z4 d Z8Z2Z7 e Z6Z7Z4Z2 f Z2Z4Z1 g Z8Z5Z3 a 504597j b 5406 4117º c 6541932j d 044 2628º e 48518 1381º f 8 1232j g 455357j Aplicações de Números Complexos Um circuito elétrico que contém um resistor R um indutor L e um capacitor C conectados em série ou em paralelo é denominado circuito RLC A medida da resistência de um circuito RLC é chamada de impedânciaZ A corrente elétrica i não confundir com o número imaginário é dada por 𝑈 𝑍 onde U é a tensão diferença de potencial ou voltagem Z R j X ou na forma polar Z Z 𝜽 j² 1 não usa i para não confundir com corrente elétrica f é o ângulo argumento de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito Z é o módulo de Z R é a resistência elétrica em ohm X é a resultante em ohm das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito Exercícios Determine a corrente do circuito abaixo I11 11365º A