Cálculo Diferencial Aplicado à Cinemática: Reta Tangente e Coeficiente Angular

Análise de fenômenos físicos da natureza Profª Josiane Paula Cálculo diferencial aplicado à Cinemática Reta tangente 2 A equação reduzida da reta é y mx n De acordo com o gráfico ao lado podemos escrever y2 mx2 n e y1 mx1 n Equação geral da reta y2 y1 mx2 x1 Reta tangente 3 Exemplo 1 Ache o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P 32 e Q 14 Substituindo temos y2 mx2 n e y1 mx1 n 𝑚 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥1 4 2 1 3 2 4 1 2 𝑚 1 2 coeficiente angular da reta por P e Q Reta tangente 4 Seja a curva y fx definida em ab e os pontos Px1y1 e Qx2y2 A inclinação da reta s que é secante de fx passando por P e Q é 𝑚 tan 𝛼 𝑦2 𝑦1 𝑥2 𝑥1 𝑦 𝑥 onde 𝑦 fx2 fx1 𝑦 fx1 Δx fx1 Reta tangente 5 Mantendo P fixo e deslocando Q sobre a curva na direção de P Quanto mais Q se aproxima de P menos varia a inclinação da reta s tendendo para um limite constante Esse limite é a inclinação da reta tangente à curva no ponto P Reta tangente 6 Fazendo a secante tender a tangente com isso Δx tende a zero o ponto Q tende ao ponto P o ângulo betha tende ao ângulo alpha e em consequência o valor ΔyΔx tende a um valor constante esse valor é o seu limite Reta tangente 7 Coeficiente angular da reta tangente 𝑚𝑡𝑔 lim 𝑥0 𝑓𝑥0 𝑥 𝑓𝑥0 𝑥 tg 𝛼 ou 𝑚𝑡𝑔 lim 𝑥𝑥0 𝑓𝑥 𝑓𝑥0 𝑥 𝑥0 tg 𝛼 E a equação da reta tangente fica 𝑦 𝑦0 𝑚𝑡𝑔𝑥 𝑥0 Reta tangente 8 Exemplo 2 use as duas definições para encontrar uma equação para a reta tangente a função 𝑓𝑥 𝑥2 no ponto P11 Exemplo 3 encontre uma equação para a reta tangente a curva 𝑓𝑥 2𝑥 no ponto P21 Exemplo 4 encontre as inclinações das retas tangentes à curva 𝑓𝑥 𝑥 em 𝑥0 1 Velocidade 10 Se uma partícula em movimento retilíneo percorre o eixo s de tal modo que a função da coordenada da posição em termos do tempo t decorrido é 𝑠 𝑓𝑡 então 𝑓 é chamada função posição da partícula A velocidade média da partícula em um intervalo de tempo 𝑡0 𝑡0 𝑡 é definida como 𝑣𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑓 𝑡0 𝑡 𝑓𝑡0 𝑡 Velocidade 11 Exemplo 5 Suponha que 𝑠 𝑓𝑡 1 3𝑡 2𝑡2 seja a função posição de uma partícula onde s está em metros e t está em segundo Encontre as velocidades médias da partícula nos intervalos de tempo a 0 1 b 1 3 Velocidade instantânea 12 A velocidade instantânea descreve o comportamento da partícula num instante de tempo específico ou seja quando 𝑡 0 Assim a velocidade instantânea 𝑣 da partícula no instante 𝑡0 é dado por 𝑣 lim ℎ0 𝑓 𝑡0 𝑡 𝑓𝑡0 𝑡 Geometricamente a velocidade instantânea em 𝑡0 é a inclinação da curva posição versus tempo no ponto P𝑡0 𝑓𝑡0 Velocidade instantânea 13 A velocidade pode ser vista como uma taxa de variação da posição em relação ao tempo Outros exemplos Taxas de variação 14 Considere uma barra uniforme de 40 cm de comprimento isolada em sua superfície lateral e com as extremidades numa temperatura 25C e 5C O comportamento gráfico da temperatura nessa barra é dado por Taxas de variação 15 A inclinação é dada por m05 Ou seja a temperatura decresce a uma taxa 05C por centímetro Para uma reta ymxb a inclinação taxa de variação é constante Mas isso não é válido para uma curva qualquer 𝑓𝑥 Taxa de variação média de y em relação a x no intervalo 𝑥0 𝑥1 é dada por 𝑟𝑚 𝑓 𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 Taxas de variação 16 Taxa de variação instantânea de y em relação a x é 𝑟𝑚 lim 𝑥0 𝑓 𝑥1 𝑓𝑥0 𝑥1 𝑥0 Ou podemos reescrever tomando Δx 𝑥1 𝑥0 𝑟𝑚 lim 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑓𝑥0 𝑥 Função derivada 17 A inclinação da reta tangente a 𝑓𝑥 no ponto 𝑥 𝑥0 ou a taxa de variação instantânea de y com relação a 𝑥 em 𝑥 𝑥0 são limites importantes e possuem uma notação especial 𝑓 𝑥0 lim 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥 𝑓𝑥0 𝑥 Definição a função 𝑓 definida pela fórmula 𝑓 𝑥 lim 𝑥0 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓𝑥 𝑥 é denominada derivada de f em relação a x O domínio de f consiste em todos os x do domínio de f com os quais existe o limite Função derivada 18 Exemplo 6 encontre a derivada da função em relação a x de 𝑓𝑥 𝑥3 𝑥 Exemplo 7 encontre a derivada da função em relação a x de 𝑓𝑥 𝑥 Técnicas de derivação 20 Derivadas de uma constante 𝑓𝑥 𝑐 𝑓 𝑥 0 Regra da Potência para n inteiro 𝑓𝑥 𝑥𝑛 𝑓 𝑥 𝑛𝑥𝑛1 Exemplo 8 calcule a derivada de 𝑓𝑥 4𝑥3 Técnicas de derivação 21 Derivada de somas e diferenças 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 Exemplo 9 calcule dydx se 𝑦 3𝑥8 2𝑥5 6𝑥 1 Técnicas de derivação 22 Derivada de um quociente 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 𝑔𝑥2 Exemplo 10 encontre dydx se 𝑦 𝑥3 2𝑥2 1x 5