Análise de Variância em Avaliação Simulada de Professores

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Prof Dr Guilherme Augusto Pianezzer Considere três professores que apresentaram as notas de suas turmas na mesma avaliação simulada apresentadas na Tabela 2 Prof 1 82 64 64 79 64 76 52 61 85 Prof 2 64 88 79 67 85 100 82 Prof 3 73 91 82 85 82 67 Tabela 2 Notas de cada aluno para cada professor em avaliação simulada Fonte O autor 2020 ANÁLISE DE VARIÂNCIA ANÁLISE DE VARIÂNCIA Iremos construir a Tabela da ANOVA para esse caso Como auxílio recomendase a construção de uma tabela como a indicada na Tabela 3 Nela separamos as observações e encontramos o somatório de alguns termos quadráticos que serão utilizados para encontrar as informações descritas na Tabela 1 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Obs Prof 1 Prof 2 Prof 3 Total 𝑦1𝑗 𝑦1𝑗 2 𝑦2𝑗 𝑦2𝑗 2 𝑦3𝑗 𝑦3𝑗 2 1 82 6724 64 4096 73 5329 2 64 4096 88 7744 91 8281 3 64 4096 79 6241 82 6724 4 79 6241 67 4489 85 7225 5 64 4096 85 7225 82 6724 6 76 5776 100 10000 67 4489 7 52 2704 82 6724 8 61 3721 9 85 7225 Soma 627 44679 565 46519 480 38772 1672 129970 Tabela 3 Tabela de auxílio para os cálculos manuais Fonte O autor 2020 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Neste exemplo temos 𝑛1 9 𝑛2 7 𝑛3 6 e portanto 𝑛 22 Com o uso da Tabela 3 podemos verificar que 𝑦1 627 e 𝑦1 2 393129 𝑦2 565 e 𝑥2 2 319225 𝑦3 480 e 𝑦3 2 230400 𝑦 1672 e 𝑦2 2795584 𝑗1 𝑛1 𝑦1𝑗 2 44679 𝑗1 𝑛2 𝑦2𝑗 2 46519 𝑗1 𝑛3 𝑦3𝑗 2 38772 𝑖1 3 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 2 129970 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Assim podemos encontrar 𝑆𝑄𝐴 𝑖1 𝑘 𝑦𝑖 2 𝑛𝑖 𝑦2 𝑛 393129 9 319225 7 230400 6 2795584 22 613 𝑆𝑄𝑇 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 2 𝑦2 𝑛 129970 2795584 22 2898 𝑆𝑄𝐸 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝐴 2898 613 2285 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Para este exemplo temos os seguintes graus de liberdade para 𝑆𝑄𝑇 temos 𝑔𝑙 𝑛 1 21 para 𝑆𝑄𝐴 temos 𝑔𝑙 𝑘 1 2 para 𝑆𝑄𝐸 temos 𝑔𝑙 𝑛 𝑘 19 Por fim calculamos as médias quadráticas 𝑀𝑄𝐴 𝑆𝑄𝐴 𝑘 1 613 2 3065 𝑀𝑄𝐸 𝑆𝑄𝐸 𝑛 𝑘 2285 19 1203 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Finalmente a Tabela 4 apresenta a Tabela da ANOVA para o exemplo dado Variação 𝑆𝑄 𝑔𝑙 𝑀𝑄 Fator 613 2 3065 Erro 2285 19 1203 Total 2898 21 Tabela 4 Tabela da ANOVA para o exemplo dado Fonte O autor 2020 ANÁLISE DE VARIÂNCIA O uso da ANOVA permite comparar se um determinado fator altera ou não de forma significativa a média da população analisada Assim o teste de hipótese que devemos verificar é sobre o efeito do fator 𝐴 𝐻0 𝛼1 𝛼2 𝛼𝑘 0 𝐻1 𝛼𝑖 0 para algum 𝑖 12 𝑘 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Podemos mostrar qual a distribuição de 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝐴 e 𝑆𝑄𝐸 Discutimos que os erros 𝜖𝑖𝑗 no modelo 𝑦𝑖𝑗 𝜇 𝛼𝑖 𝜖𝑖𝑗 possuem por suposição distribuição 𝑁0 𝜎2 Sendo assim podemos mostrar que 𝑦𝑖𝑗 tem distribuição 𝑁 𝜇 𝛼𝑖 𝜎2 Sendo independentes também mostramos que 𝑆𝑄𝑇 𝜎2 tem distribuição 𝜒𝑛1 2 quiquadrado com 𝑛 1 graus de liberdade E de forma equivalente 𝑆𝑄𝐸 𝜎2 e 𝑆𝑄𝐴 𝜎2 têm distribuição 𝜒𝑛𝑘 2 e 𝜒𝑘1 2 Assim podemos verificar qual a variável de teste que devemos calcular 𝐹0 𝑆𝑄𝐴 𝑘 1 𝑆𝑄𝐸 𝑛 𝑘 𝑀𝑄𝐴 𝑀𝑄𝐸 que segue uma distribuição 𝐹𝑘1𝑛𝑘 𝐹 de Snedecor ANÁLISE DE VARIÂNCIA Note que o teste estatístico da ANOVA é realizado comparandose 𝐹0 com 𝐹1 𝛼 𝑘 1 𝑛 𝑘 Este último corresponde ao valor obtido na Tabela de Snedecor para um nível de confiança de 1 𝛼 Note que a região crítica aquela que rejeita 𝐻0 e conclui que as médias analisadas são diferentes é obtida quando 𝐹0 𝐹1 𝛼 𝑘 1 𝑛 𝑘 Com a necessidade de calcularmos 𝐹0 podemos ampliar a Tabela da ANOVA como apresentado na Tabela 5 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Variação 𝑺𝑸 𝒈𝒍 𝑴𝑸 𝑭𝟎 Fator 𝑆𝑄𝐴 𝑘 1 𝑀𝑄𝐴 𝑀𝑄𝐴 𝑀𝑄𝐸 Erro 𝑆𝑄𝐸 𝑛 𝑘 𝑀𝑄𝐸 Total 𝑆𝑄𝑇 𝑛 1 Tabela 5 Tabela da ANOVA ampliada com o cálculo de 𝐹0 Fonte O autor 2020 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Variação 𝑺𝑸 𝒈𝒍 𝑴𝑸 𝑭𝟎 Fator 613 2 3065 2547 Erro 2285 19 1203 Total 2898 21 Tabela 6 Tabela da ANOVA ampliada para o resultado do grupo de discentes de cada professor Fonte O autor 2020 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Em consulta à Tabela 𝐹 de Snedocor podemos encontrar 𝐹95219 352 Note que como 𝐹95219 𝐹0 ie 352 2547 não podemos rejeitar a hipótese de que as médias das turmas desses professores são iguais Nota Máxima 5