Análise de Variância na Estatística

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Prof Dr Guilherme Augusto Pianezzer ANÁLISE DE VARIÂNCIA ANÁLISE DE VARIÂNCIA ANÁLISE DE VARIÂNCIA Seja bemvindo à última aula do curso de Probabilidade e Estatística Nesta aula iremos estudar um dos principais métodos estatísticos conhecido como Análise de Variância Aqui partiremos de um estudo de caso para discutir quando podemos afirmar que duas médias encontradas são ou não diferentes A conclusão extraída aqui traz o que há de especial em estatística nem sempre aquilo que está visível pode ser confirmado como uma verdade ANÁLISE DE VARIÂNCIA Suponha que você seja o gestor de uma instituição de ensino e está preocupado em saber se o trabalho desenvolvido pelos professores afeta de fato o desempenho obtido pelos discentes Assim resolve extrair as médias dos alunos de cada turma e obtém valores diferentes Nesse cenário fica a pergunta será que esses dados são o suficiente para determinar essa relação Note que nesse caso cada professor possui uma amostra diferente de alunos Se cada uma dessas amostras saiu da mesma população podemos afirmar que o trabalho do professor afeta o desempenho de cada um desses discentes Entretanto se cada professor possui uma amostra de alunos oriunda de populações diferentes nada podemos afirmar sobre o impacto investigado ANÁLISE DE VARIÂNCIA Fonte O autor 2020 ANÁLISE DE VARIÂNCIA No modelo estatístico de ANOVA para um fator nosso objetivo é determinar se as amostras foram obtidas de uma única população ou de populações distintas vide Figura 1 O modelo estatístico de ANOVA com um fator objetiva determinar a resposta 𝑦𝑖𝑗 de uma observação 𝑗 para o nível 𝑖 do fator 𝐴 Assim esperamos concluir que 𝑦𝑖𝑗 𝜇 𝛼𝑖 𝜖𝑖𝑗 𝑗 12 𝑛𝑖 𝑖 12 𝑘 Ou seja estamos analisando um fator que possui 𝑘 níveis e 𝑛𝑖 observações para cada nível Note que a resposta 𝑦𝑖𝑗 depende do efeito que o nível 𝑖 do fator provoca o que é considerado pela variável 𝛼𝑖 mas também depende de um erro aleatório experimental definido por 𝜖𝑖𝑗 para cada observação 𝜖𝑖𝑗 é gerado devido à variabilidade de outros fatores que não são considerados no planejamento desse experimento ANÁLISE DE VARIÂNCIA No caso em que estamos tratando sobre o desempenho dos professores consideramos 𝜇 como a média das notas da população de alunos 𝛼𝑖 representa o efeito causado na nota dos alunos pelo professor 𝑖 enquanto 𝜖𝑖𝑗 representa o efeito causado na nota dos alunos por outros fatores que não a influência do professor ANÁLISE DE VARIÂNCIA Para o desenvolvimento da ANOVA também determinamos algumas expressões Definimos o tamanho amostral total como a soma do tamanho de cada amostra 𝑛 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑖 Definimos a soma das observações do nível 𝒊 do fator 𝑨 e a média das observações do nível 𝒊 do fator 𝑨 como respectivamente 𝑦𝑖 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑦𝑖 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑛𝑖 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Definimos a soma de todas as observações e a média geral das observações como respectivamente 𝑦 𝑖1 𝑛 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑖1 𝑛 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑛 Note que considerando o exemplo discutido 𝑦𝑖 representa a soma das notas dos alunos do professor 𝑖 enquanto 𝑦 representa a soma das notas de todos os alunos investigados ANÁLISE DE VARIÂNCIA Alguns requisitos são necessários para a utilização da ANOVA consideramos o erro experimental como uma variável independente que possui distribuição 𝑵𝟎 𝝈𝟐 Assim verificamos que 𝒚𝒊𝒋 tem distribuição 𝑵𝝁 𝜶𝒊 𝝈𝟐 Veja que nosso objetivo é verificar que as médias de cada população são diferentes Nesse caso escrevemos o seguinte teste de hipótese 𝑯𝟎 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝝁𝒊 𝑯𝟏 𝝁𝒎 𝝁𝒏 𝒎 𝒏 Veja que aceitar 𝑯𝟎 no exemplo dado significa que não podemos afirmar sobre a influência do trabalho desenvolvido por cada um dos professores visto que não garantimos uma diferença significativa na média encontrada Entretanto aceitar 𝑯𝟏 indica que as diferenças de pelo menos algumas dessas médias são estatisticamente significativas Em outras palavras a variabilidade dos dados é explicada pelo trabalho desenvolvido por cada um dos professores ANÁLISE DE VARIÂNCIA Ao considerar a variabilidade de todos os dados podemos construir a soma de quadrados total 𝑆𝑄𝑇 Note que a construção dessa variável ao quadrado é realizada pois caso contrário tal somatório resultaria em zero Assim 𝑆𝑄𝑇 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑦 2 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Note que ao somar e subtrair 𝑦𝑖 não alteramos o resultado final e podemos utilizar esta propriedade algébrica para expandir esse termo obtendo S𝑄𝑇 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑦𝑖 𝑦𝑖 𝑦 2 𝑆𝑄𝑇 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 2 𝑦𝑖 2 2 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑦𝑖 𝑦𝑖 𝑦 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖 𝑦 2 Entre as parcelas de 𝑆𝑄𝑇 podemos verificar que 2 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑦𝑖 𝑦𝑖 𝑦 0 Para isso expandimos o produto entre os termos obtendo 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑦𝑖 𝑦𝑖 𝑦 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑦𝑖 𝑦𝑖𝑗 𝑦 𝑦𝑖 2 𝑦𝑖 𝑦 𝑖1 𝑘 𝑛𝑖 𝑦𝑖 2 𝑦 𝑖1 𝑘 𝑛𝑖 𝑦𝑖 𝑖1 𝑘 𝑛𝑖 𝑦𝑖 2 𝑦 𝑖1 𝑘 𝑛𝑖 𝑦𝑖 0 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Dessa forma podemos escrever a medida de variabilidade total como 𝑆𝑄𝑇 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖𝑗 2 𝑦𝑖 2 𝑖1 𝑘 𝑗1 𝑛𝑖 𝑦𝑖 𝑦 2 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Note que a soma dos quadrados totais é decomposta em dois termos O termo 𝑺𝑸𝑨 𝒊𝟏 𝒌 𝒋𝟏 𝒏𝒊 𝒚𝒊 𝒚 𝟐 é chamado de soma de quadrados do fator 𝑨 Este representa o desvio das médias estimadas em cada um dos níveis do fator 𝑨 em torno da média geral dos dados Assim representa uma variabilidade devido aos diferentes níveis que o fator 𝑨 pode assumir ANÁLISE DE VARIÂNCIA No exemplo que permeia esta aula 𝑺𝑸𝑨 representa a variabilidade que o trabalho de cada docente afeta no rendimento de seus discentes Como sabemos esse não é o único fator que afeta esta variável resposta Existem fatores não considerados no estudo que também são influentes na análise Esses são descritos pela variável 𝑺𝑸𝑬 chamada de soma de quadrados do erro e está representada no outro termo de 𝑺𝑸𝑻 𝑺𝑸𝑬 𝒊𝟏 𝒌 𝒋𝟏 𝒏𝒊 𝒚𝒊𝒋 𝟐 𝒚𝒊 𝟐 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Vale reforçar que esse termo representa o que deixou de ser explicado pelo fator 𝑨 Assim verificamos que 𝑺𝑸𝑻 𝑺𝑸𝑨 𝑺𝑸𝑬 O cálculo de 𝑺𝑸𝑨 𝑺𝑸𝑻 e 𝑺𝑸𝑬 pode ser realizado pelas equações dadas ou por suas versões alternativas em que 𝑺𝑸𝑨 𝒊𝟏 𝒌 𝒚𝒊 𝟐 𝒏𝒊 𝒚𝟐 𝒏 𝑺𝑸𝑻 𝒊𝟏 𝒌 𝒋𝟏 𝒏𝒊 𝒚𝒊𝒋 𝟐 𝒚𝟐 𝒏 𝑺𝑸𝑬 𝑺𝑸𝑻 𝑺𝑸𝑨 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Para o teste de hipótese realizado na ANOVA é necessário conhecer o grau de liberdade de cada uma das parcelas 𝑺𝑸𝑻 𝑺𝑸𝑨 e 𝑺𝑸𝑬 Para 𝑺𝑸𝑻 temos 𝒈𝒍 𝒏 𝟏 Para 𝑺𝑸𝑨 temos 𝒈𝒍 𝒌 𝟏 Para 𝑺𝑸𝑬 temos 𝒈𝒍 𝒏 𝒌 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Definimos as médias quadráticas como o quociente entre a soma dos quadrados pelo seu grau de liberdade Assim 𝑴𝑸𝑨 𝑺𝑸𝑨 𝒌 𝟏 𝑴𝑸𝑬 𝑺𝑸𝑬 𝒏 𝒌 𝑴𝑸𝑻 𝑺𝑸𝑻 𝒏 𝟏 𝑺𝒚𝟐 É possível mostrar mas foge ao escopo desta disciplina que 𝑬 𝑸𝑴𝑬 𝝈𝟐 𝑬 𝑸𝑴𝑨 𝝈𝟐 𝟏 𝒌 𝟏 𝒊𝟏 𝒌 𝒏𝒊𝜶𝟏 𝟐 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Para organizar os dados necessários à análise da ANOVA costumamos utilizar a Tabela da ANOVA como indicada na Tabela 1 Variação 𝑺𝑸 𝒈𝒍 𝑴𝑸 Fator 𝑆𝑄𝐴 𝑘 1 𝑀𝑄𝐴 Erro 𝑆𝑄𝐸 𝑛 𝑘 𝑀𝑄𝐸 Total 𝑆𝑄𝑇 𝑛 1 Tabela 1 Tabela da ANOVA com um fator Fonte O autor 2020