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Engenharia Mecânica ·
Cálculo 1
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ANÁLISE REAL OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Reconhecer a definição formal de derivada Descrever as regras do produto e quociente Descrever as regras da cadeia a derivada de uma função inversa e a regra de LHospital Introdução A posição de um objeto se movendo ao longo de um caminho varia com o tempo mas podemos descrevêla a qualquer momento por um único número que pode ser a distância em algumas unidades de algum ponto fixo naquele caminho chamado de origem de nosso sistema de coordenadas O movimento do objeto é então caracterizado pelo conjunto de suas posições numéricas em pontos relevantes no tempo O conjunto de posições e tempos que usamos para descrever o movimento é o que chamamos de função E funções semelhantes são usadas para descrever as quantidades de interesse em todos os sistemas aos quais o cálculo é aplicado Para analisar essas mudanças instan tâneas que são bastante comuns na natureza os matemáticos desenvolveram o cálculo diferencial Neste capítulo você vai estudar mais detalhadamente as técnicas de dife renciação por meio das derivadas suas fórmulas e demonstrações incluindo a regra do produto a regra de quociente e a regra da cadeia bem como derivadas de polinômios Cálculo diferencial Rafael Ramon Ferreira Definição de derivada A derivada de uma variável é definida como uma medida para calcular a taxa de mudança do valor de saída de uma função conforme ele varia em relação ao valor de entrada inicial O fator de tempo é muito importante aqui pois a variação no valor de entrada e saída conforme o tempo muda Vamos considerar um exemplo de um objeto em movimento a localização desse objeto a partir do ponto inicial em relação ao tempo é considerada a velocidade do objeto Isso nos diz a rapidez relativa do objeto à medida que ele se desvia de sua posição conforme o tempo avança Partindo do conceito de limites está claro que para calcular a inclinação de uma linha tangente a taxa instantânea de mudança de uma função e a velocidade instantânea de um objeto em x a basta encontrar o valor do seguinte limite Usando a notação em que à medida que x se aproxima de a teremos então A Figura 1 exemplifica que h é a diferença infinitesimal no eixo x Figura 1 Ilustração de uma linha tangente A inclinação da linha tangente no ponto marcado representa a derivada de uma função A variação pode ser projetada pela razão de mudança da função Y variável dependente para aquela da variável x variável independente Fonte First 2018 documento online fxh fx h x xh B A Cálculo diferencial 2 Esse limite é tão importante e surge em tantos lugares que lhe damos um nome derivada A definição formal de derivada é Mas as derivadas nem sempre existem na verdade podemos garantir que a derivada de uma função existe em todos os pontos exceto naqueles em que a função não seja contínua É o que nos afirmam os teoremas a seguir que podem serem vistos em Ávila 2006 Teorema Uma função fx é chamada diferenciável em x a se fx existe será dife renciável em um intervalo se a derivada existir em cada ponto desse intervalo Teorema Se fx é diferenciável em x a então fx é contínua em x a Prova Porque fx é diferenciável em x a sabemos que existe Vamos então assumir que x a e portanto Logo a propriedade básica dos limites nos fornecerá O primeiro limite do lado direito é a derivada fa notamos que claramente o segundo limite será zero Provamos que o limite e agora vamos provar que a função fx precisa ser necessariamente contínua em x a Cálculo diferencial 3 Notamos que foi adicionado um termo equivalente a zero do lado direito da equação Reescrevendo esse limite e usando propriedades dos limites teremos Agora vamos provar que e porque fa é constante nós também sabemos que e isso será em outras palavras o que significa exatamente que fx é contínuo em x a A principal regra de diferencial é a chamada derivada da potência para um polinômio qualquer na forma fx xn Há no mínimo três formas de provar essa derivada do polinômio aqui va mos expor duas delas visto que a terceira está além do escopo deste capítulo Prova 1 Vamos assumir que n é um número inteiro positivo Usaremos a definição de derivada e lançaremos mão de aplicar o teorema binomial O teorema binomial nos diz que Onde n e k correspondem aos coeficientes binomiais e n é conhecido como fatorial Agora aplicando o teorema binomial para e usando a definição de derivada vamos expandir o binômio Cálculo diferencial 4 Agora vejamos que é possível cancelar xn e então cada termo no nume rador terá um h no qual é possível realizar fatoração Logo em seguida os termos de h do numerador se cancelam com os termos de h do denominador Vamos avaliar o limite Prova 2 Aqui novamente vamos restringir o caso à situação onde n é um número inteiro positivo Desse modo fx xn e sabemos que uma forma alternativa de expressar este limite a partir da definição de derivadas pode ser a de rivada fa dada por Então seguindo a equação do teorema binomial Você pode verificar isso se desejar simplesmente multiplicando os dois fatores Além disso observe que há um total de n termos no segundo fator isso será importante em breve Se inserirmos isso na fórmula da derivada vemos que podemos cancelar o x a e então calcular o limite Depois de combinar os expoentes em cada termo podemos ver que ob temos o mesmo termo Então lembrando que existem n termos no segundo lado da igualdade podemos ver que obtemos o que afirmamos que seria E para concluir completamente substituímos a por x para obtermos Cálculo diferencial 5 Outra regra bastante famosa é conhecida como a regra da derivada da constante onde o termo constante é a própria função na forma fx c logo Ou de outro modo De modo semelhante a derivada de uma constante vezes uma função é a derivada da constante multiplicada pela derivada da função Ou de outro modo Podemos também citar a regra da soma das derivadas que consiste em a derivada da soma é a soma das derivadas Prova No caso da diferença entre duas funções a prova é bem semelhante Cálculo diferencial 6 Regra do produto e do quociente Para funções mais complexas usar a definição da derivada seria uma tarefa quase impossível ANTON BIVENS DAVIS 2014 Felizmente para nós não teremos que usar a definição com tanta frequência mas ocasionalmente No entanto temos uma grande coleção de fórmulas e propriedades que podemos usar para simplificar consideravelmente nossa vida o que nos permitirá evitar o uso da definição sempre que possível Apresentaremos a maioria dessas fórmulas ao longo do capítulo Come çaremos nesta seção com algumas das propriedades e fórmulas básicas Forneceremos as propriedades e fórmulas nesta seção em notação de primo e notação de fração No caso em que temos produto entre funções a regra do produto das derivadas deverá ser utilizada Prova Vamos então subtrair e adicionar no numerador Observe que adicionamos os dois termos no meio do numerador Con forme está escrito podemos dividir o limite em duas partes Olhando para o primeiro termo podemos fatorar um f x h e no segundo termo fatorar gx Cálculo diferencial 7 Neste ponto podemos usar propriedades de limite para escrever Os limites individuais aqui são Os dois limites à esquerda nada mais são do que a definição da derivada para gx e fx respectivamente O limite superior à direita parece um pouco complicado mas lembrese de que o limite de uma constante é apenas a constante Neste caso o limite permite apenas que h tenda para zero A chave aqui é reconhecer que a mudança h não mudará x e no que diz respeito a esse limite gx é uma constante Observe que a função provavelmente não é uma constante no entanto no que diz respeito ao limite a função pode ser tratada como uma constante Conseguimos o limite inferior direito que obtemos simplesmente conectando h 0 na função Já a regra do quociente será Vamos subtrair e adicionar fxgx no numerador Reescrevendo Cálculo diferencial 8 Observe que tudo o que fizemos foi trocar os dois denominadores Como estamos multiplicando as frações podemos fazer isso Em seguida a fração maior pode ser dividida da seguinte maneira Na primeira fração vamos fatorar gx na segunda fx Usando as propriedades básicas dos limites os limites individuais serão Os primeiros dois limites em cada linha nada mais são do que a definição para a derivada gx e fx respectivamente O limite do meio na linha superior obtemos simplesmente conectando h 0 O limite final em cada linha pode parecer um pouco complicado Lembrese de que o limite de uma constante é apenas a constante Bem uma vez que o limite só se preocupa em permitir h tender para zero em gx e fx sendo constante ele não irá mudar x Observe que a função provavelmente não é uma constante no entanto no que diz respeito ao limite a função pode ser tratada como uma constante Conectando os limites e reorganizando as derivadas teremos portanto a regra do quociente Observe que o numerador da regra do quociente é muito semelhante à regra do produto portanto tome cuidado para não misturar os dois Uma possível situação onde temos três funções em um produto simples também poderá se resolver por meio da derivada do produto Cálculo diferencial 9 A regra da cadeia função inversa e LHospital Até este ponto todas as situações que tratamos foram referentes a derivadas de funções estritamente simples É então necessário apresentar outras funções mais complicadas ou até mesmo situações em que tem sido mais difícil determinar a derivada corretamente HUGHESHALLET et al 2011 Damos destaque especial para a situação onde temos uma função que é por sua vez função de outra função Para essa situação tomaremos a derivada do conjunto por meio do cálculo da regra da cadeia Suponhamos haver duas funções fx e gx ambas diferenciáveis Vamos definir 1 Fx fgx logo a derivada será Sendo a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna 2 Se temos y fu e u gx logo a derivada será Prova Se fx e gx são funções diferenciáveis e nós definimos Fx f g x então a derivada de Fx é Fxfgxgx Dessa definição decorre que ugx e portanto Vamos olhar para a derivada de ux lembrando que u gx e então u realmente é função de x existindo porque assumimos que gx é diferenciável Pela definição então Cálculo diferencial 10 Notamos que Definindo Note que a equação anterior somente é válida se sendo então vh contínuo em h 0 Assuminado que h 0 podemos reescrever a definição de vh Se a equação anterior é válida para h 0 isto será válido para qualquer valor de h Em seguida já que também sabemos que fx é diferenciável podemos fazer algo semelhante No entanto usaremos um conjunto diferente de letras variáveis aqui por motivos que ficarão aparentes em breve Então quando k 0 então wk 0 podemos passar por um argumento semelhante ao que fizemos acima para mostrar que wk é contínuo em k 0 e portanto será Não fique animado com as diferentes letras aqui tudo o que fizemos foi usar k em vez de h e deixar x z Nada extravagante aqui mas a mudança de letras será útil no futuro Agora até este ponto parece que realmente não fizemos nada que nos deixe perto de provar a regra da cadeia O trabalho anterior será muito importante em nossa prova portanto vamos prosseguir com ela O que precisamos fazer aqui é usar a definição da derivada e avaliar o seguinte limite Cálculo diferencial 11 Observe que embora a notação seja um pouco confusa se usarmos ux em vez de u precisamos nos lembrar aqui que u realmente é uma função de x Agora vamos utilizar as equações anteriores para reescrever uxh apesar da mudança de notação vamos ter que lidar com isso Então definindo e podemos reescrever Observe que conseguimos cancelar um fux para simplificar um pouco as coisas Logo lembrando do numerador do nosso limite E chamando e então e como então A derivada da função inversa Seja y fx correspondendo à x gy é derivável no ponto y sendo y fx E como y fx e x gy temos portanto que x gfx Agora para tomar a derivada de fx será necessário recorrer à regra da cadeia derivando em relação à x Cálculo diferencial 12 Chegamos então à regra da derivada da função inversa como sendo A regra de LHospital Podemos reescrever x como sendo e também consequentemente gx como Vamos então supor onde ambas as funções variam entre e como quando x tende para a Também vamos supor que L não é nem nulo nem infinito Logo Desde que e tendem para zero como x tende para a po demos aplicar a regra de LHospital para o limite Onde L deve ser igual à contudo se L 0 poderemos aplicar o mesmo argumento para o limite de que então não será nulo e portanto Portanto Se vemos que será o contrário de que é nulo Desde que deve ser infinito Proveniente do teorema do valor médio fg terá o mesmo sinal de fg então teremos Agora que temos a regra de LHospital para os limites de e os seus respectivos limites laterais é possível considerar o que ocorrerá quando Cálculo diferencial 13 Portanto definindo a variável t 1x e então fazendo logo pela direita então Voltando para a dependência em x Portanto percebemos ao longo deste capítulo a importância de tratar a o conceito de derivadas bem como a regra da cadeia e a regra de LHospital de forma rigorosa Além disso tratamse de temas da mais elevada impor tância dentro do estudo do cálculo diferencial Enquanto estudante é muito importante saber realizar as demonstrações desses teoremas bem como compreender suas diversas possíveis aplicações Referências ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 v 1 ÁVILA G Análise matemática para licenciatura 3 ed São Paulo Blucher 2006 FIRST principle of differentiation Toppr 2018 Disponível em httpswwwtopprcom guidesmathslimitsandderivativesfirstprincipleofdifferentiation Acesso em 12 maio 2021 HUGHESHALLET D et al Cálculo a uma e a várias variáveis 5 ed Rio de Janeiro LTC 2011 v 1 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Cálculo diferencial 14 Conteúdo
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ANÁLISE REAL OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Reconhecer a definição formal de derivada Descrever as regras do produto e quociente Descrever as regras da cadeia a derivada de uma função inversa e a regra de LHospital Introdução A posição de um objeto se movendo ao longo de um caminho varia com o tempo mas podemos descrevêla a qualquer momento por um único número que pode ser a distância em algumas unidades de algum ponto fixo naquele caminho chamado de origem de nosso sistema de coordenadas O movimento do objeto é então caracterizado pelo conjunto de suas posições numéricas em pontos relevantes no tempo O conjunto de posições e tempos que usamos para descrever o movimento é o que chamamos de função E funções semelhantes são usadas para descrever as quantidades de interesse em todos os sistemas aos quais o cálculo é aplicado Para analisar essas mudanças instan tâneas que são bastante comuns na natureza os matemáticos desenvolveram o cálculo diferencial Neste capítulo você vai estudar mais detalhadamente as técnicas de dife renciação por meio das derivadas suas fórmulas e demonstrações incluindo a regra do produto a regra de quociente e a regra da cadeia bem como derivadas de polinômios Cálculo diferencial Rafael Ramon Ferreira Definição de derivada A derivada de uma variável é definida como uma medida para calcular a taxa de mudança do valor de saída de uma função conforme ele varia em relação ao valor de entrada inicial O fator de tempo é muito importante aqui pois a variação no valor de entrada e saída conforme o tempo muda Vamos considerar um exemplo de um objeto em movimento a localização desse objeto a partir do ponto inicial em relação ao tempo é considerada a velocidade do objeto Isso nos diz a rapidez relativa do objeto à medida que ele se desvia de sua posição conforme o tempo avança Partindo do conceito de limites está claro que para calcular a inclinação de uma linha tangente a taxa instantânea de mudança de uma função e a velocidade instantânea de um objeto em x a basta encontrar o valor do seguinte limite Usando a notação em que à medida que x se aproxima de a teremos então A Figura 1 exemplifica que h é a diferença infinitesimal no eixo x Figura 1 Ilustração de uma linha tangente A inclinação da linha tangente no ponto marcado representa a derivada de uma função A variação pode ser projetada pela razão de mudança da função Y variável dependente para aquela da variável x variável independente Fonte First 2018 documento online fxh fx h x xh B A Cálculo diferencial 2 Esse limite é tão importante e surge em tantos lugares que lhe damos um nome derivada A definição formal de derivada é Mas as derivadas nem sempre existem na verdade podemos garantir que a derivada de uma função existe em todos os pontos exceto naqueles em que a função não seja contínua É o que nos afirmam os teoremas a seguir que podem serem vistos em Ávila 2006 Teorema Uma função fx é chamada diferenciável em x a se fx existe será dife renciável em um intervalo se a derivada existir em cada ponto desse intervalo Teorema Se fx é diferenciável em x a então fx é contínua em x a Prova Porque fx é diferenciável em x a sabemos que existe Vamos então assumir que x a e portanto Logo a propriedade básica dos limites nos fornecerá O primeiro limite do lado direito é a derivada fa notamos que claramente o segundo limite será zero Provamos que o limite e agora vamos provar que a função fx precisa ser necessariamente contínua em x a Cálculo diferencial 3 Notamos que foi adicionado um termo equivalente a zero do lado direito da equação Reescrevendo esse limite e usando propriedades dos limites teremos Agora vamos provar que e porque fa é constante nós também sabemos que e isso será em outras palavras o que significa exatamente que fx é contínuo em x a A principal regra de diferencial é a chamada derivada da potência para um polinômio qualquer na forma fx xn Há no mínimo três formas de provar essa derivada do polinômio aqui va mos expor duas delas visto que a terceira está além do escopo deste capítulo Prova 1 Vamos assumir que n é um número inteiro positivo Usaremos a definição de derivada e lançaremos mão de aplicar o teorema binomial O teorema binomial nos diz que Onde n e k correspondem aos coeficientes binomiais e n é conhecido como fatorial Agora aplicando o teorema binomial para e usando a definição de derivada vamos expandir o binômio Cálculo diferencial 4 Agora vejamos que é possível cancelar xn e então cada termo no nume rador terá um h no qual é possível realizar fatoração Logo em seguida os termos de h do numerador se cancelam com os termos de h do denominador Vamos avaliar o limite Prova 2 Aqui novamente vamos restringir o caso à situação onde n é um número inteiro positivo Desse modo fx xn e sabemos que uma forma alternativa de expressar este limite a partir da definição de derivadas pode ser a de rivada fa dada por Então seguindo a equação do teorema binomial Você pode verificar isso se desejar simplesmente multiplicando os dois fatores Além disso observe que há um total de n termos no segundo fator isso será importante em breve Se inserirmos isso na fórmula da derivada vemos que podemos cancelar o x a e então calcular o limite Depois de combinar os expoentes em cada termo podemos ver que ob temos o mesmo termo Então lembrando que existem n termos no segundo lado da igualdade podemos ver que obtemos o que afirmamos que seria E para concluir completamente substituímos a por x para obtermos Cálculo diferencial 5 Outra regra bastante famosa é conhecida como a regra da derivada da constante onde o termo constante é a própria função na forma fx c logo Ou de outro modo De modo semelhante a derivada de uma constante vezes uma função é a derivada da constante multiplicada pela derivada da função Ou de outro modo Podemos também citar a regra da soma das derivadas que consiste em a derivada da soma é a soma das derivadas Prova No caso da diferença entre duas funções a prova é bem semelhante Cálculo diferencial 6 Regra do produto e do quociente Para funções mais complexas usar a definição da derivada seria uma tarefa quase impossível ANTON BIVENS DAVIS 2014 Felizmente para nós não teremos que usar a definição com tanta frequência mas ocasionalmente No entanto temos uma grande coleção de fórmulas e propriedades que podemos usar para simplificar consideravelmente nossa vida o que nos permitirá evitar o uso da definição sempre que possível Apresentaremos a maioria dessas fórmulas ao longo do capítulo Come çaremos nesta seção com algumas das propriedades e fórmulas básicas Forneceremos as propriedades e fórmulas nesta seção em notação de primo e notação de fração No caso em que temos produto entre funções a regra do produto das derivadas deverá ser utilizada Prova Vamos então subtrair e adicionar no numerador Observe que adicionamos os dois termos no meio do numerador Con forme está escrito podemos dividir o limite em duas partes Olhando para o primeiro termo podemos fatorar um f x h e no segundo termo fatorar gx Cálculo diferencial 7 Neste ponto podemos usar propriedades de limite para escrever Os limites individuais aqui são Os dois limites à esquerda nada mais são do que a definição da derivada para gx e fx respectivamente O limite superior à direita parece um pouco complicado mas lembrese de que o limite de uma constante é apenas a constante Neste caso o limite permite apenas que h tenda para zero A chave aqui é reconhecer que a mudança h não mudará x e no que diz respeito a esse limite gx é uma constante Observe que a função provavelmente não é uma constante no entanto no que diz respeito ao limite a função pode ser tratada como uma constante Conseguimos o limite inferior direito que obtemos simplesmente conectando h 0 na função Já a regra do quociente será Vamos subtrair e adicionar fxgx no numerador Reescrevendo Cálculo diferencial 8 Observe que tudo o que fizemos foi trocar os dois denominadores Como estamos multiplicando as frações podemos fazer isso Em seguida a fração maior pode ser dividida da seguinte maneira Na primeira fração vamos fatorar gx na segunda fx Usando as propriedades básicas dos limites os limites individuais serão Os primeiros dois limites em cada linha nada mais são do que a definição para a derivada gx e fx respectivamente O limite do meio na linha superior obtemos simplesmente conectando h 0 O limite final em cada linha pode parecer um pouco complicado Lembrese de que o limite de uma constante é apenas a constante Bem uma vez que o limite só se preocupa em permitir h tender para zero em gx e fx sendo constante ele não irá mudar x Observe que a função provavelmente não é uma constante no entanto no que diz respeito ao limite a função pode ser tratada como uma constante Conectando os limites e reorganizando as derivadas teremos portanto a regra do quociente Observe que o numerador da regra do quociente é muito semelhante à regra do produto portanto tome cuidado para não misturar os dois Uma possível situação onde temos três funções em um produto simples também poderá se resolver por meio da derivada do produto Cálculo diferencial 9 A regra da cadeia função inversa e LHospital Até este ponto todas as situações que tratamos foram referentes a derivadas de funções estritamente simples É então necessário apresentar outras funções mais complicadas ou até mesmo situações em que tem sido mais difícil determinar a derivada corretamente HUGHESHALLET et al 2011 Damos destaque especial para a situação onde temos uma função que é por sua vez função de outra função Para essa situação tomaremos a derivada do conjunto por meio do cálculo da regra da cadeia Suponhamos haver duas funções fx e gx ambas diferenciáveis Vamos definir 1 Fx fgx logo a derivada será Sendo a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna 2 Se temos y fu e u gx logo a derivada será Prova Se fx e gx são funções diferenciáveis e nós definimos Fx f g x então a derivada de Fx é Fxfgxgx Dessa definição decorre que ugx e portanto Vamos olhar para a derivada de ux lembrando que u gx e então u realmente é função de x existindo porque assumimos que gx é diferenciável Pela definição então Cálculo diferencial 10 Notamos que Definindo Note que a equação anterior somente é válida se sendo então vh contínuo em h 0 Assuminado que h 0 podemos reescrever a definição de vh Se a equação anterior é válida para h 0 isto será válido para qualquer valor de h Em seguida já que também sabemos que fx é diferenciável podemos fazer algo semelhante No entanto usaremos um conjunto diferente de letras variáveis aqui por motivos que ficarão aparentes em breve Então quando k 0 então wk 0 podemos passar por um argumento semelhante ao que fizemos acima para mostrar que wk é contínuo em k 0 e portanto será Não fique animado com as diferentes letras aqui tudo o que fizemos foi usar k em vez de h e deixar x z Nada extravagante aqui mas a mudança de letras será útil no futuro Agora até este ponto parece que realmente não fizemos nada que nos deixe perto de provar a regra da cadeia O trabalho anterior será muito importante em nossa prova portanto vamos prosseguir com ela O que precisamos fazer aqui é usar a definição da derivada e avaliar o seguinte limite Cálculo diferencial 11 Observe que embora a notação seja um pouco confusa se usarmos ux em vez de u precisamos nos lembrar aqui que u realmente é uma função de x Agora vamos utilizar as equações anteriores para reescrever uxh apesar da mudança de notação vamos ter que lidar com isso Então definindo e podemos reescrever Observe que conseguimos cancelar um fux para simplificar um pouco as coisas Logo lembrando do numerador do nosso limite E chamando e então e como então A derivada da função inversa Seja y fx correspondendo à x gy é derivável no ponto y sendo y fx E como y fx e x gy temos portanto que x gfx Agora para tomar a derivada de fx será necessário recorrer à regra da cadeia derivando em relação à x Cálculo diferencial 12 Chegamos então à regra da derivada da função inversa como sendo A regra de LHospital Podemos reescrever x como sendo e também consequentemente gx como Vamos então supor onde ambas as funções variam entre e como quando x tende para a Também vamos supor que L não é nem nulo nem infinito Logo Desde que e tendem para zero como x tende para a po demos aplicar a regra de LHospital para o limite Onde L deve ser igual à contudo se L 0 poderemos aplicar o mesmo argumento para o limite de que então não será nulo e portanto Portanto Se vemos que será o contrário de que é nulo Desde que deve ser infinito Proveniente do teorema do valor médio fg terá o mesmo sinal de fg então teremos Agora que temos a regra de LHospital para os limites de e os seus respectivos limites laterais é possível considerar o que ocorrerá quando Cálculo diferencial 13 Portanto definindo a variável t 1x e então fazendo logo pela direita então Voltando para a dependência em x Portanto percebemos ao longo deste capítulo a importância de tratar a o conceito de derivadas bem como a regra da cadeia e a regra de LHospital de forma rigorosa Além disso tratamse de temas da mais elevada impor tância dentro do estudo do cálculo diferencial Enquanto estudante é muito importante saber realizar as demonstrações desses teoremas bem como compreender suas diversas possíveis aplicações Referências ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 v 1 ÁVILA G Análise matemática para licenciatura 3 ed São Paulo Blucher 2006 FIRST principle of differentiation Toppr 2018 Disponível em httpswwwtopprcom guidesmathslimitsandderivativesfirstprincipleofdifferentiation Acesso em 12 maio 2021 HUGHESHALLET D et al Cálculo a uma e a várias variáveis 5 ed Rio de Janeiro LTC 2011 v 1 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter 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