Limite e Continuidade de Funções Complexas

VARIÁVEIS COMPLEXAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Definir limites de funções complexas e seus teoremas Calcular limites envolvendo o infinito Identificar funções contínuas Introdução Neste capítulo você vai estudar alguns dos temas fundamentais das funções de variáveis complexas os conceitos de limite e continuidade Inicialmente você vai conhecer a definição de limite suas propriedades e algumas demonstrações Em um segundo momento você vai ver como operacionalizar o cálculo de limites envolvendo o infinito A fim de determinar tais limites você pode empregar muitas das estratégias conhecidas para funções de variáveis reais Por fim você vai estudar a continuidade de funções complexas Você vai verificar quando uma função de variável complexa é contínua e como o conceito de continuidade está conectado ao cálculo de limite dessa função Limite e continuidade de funções complexas Fabio Santiago Limite de uma função complexa As funções definidas em ℂ e as funções definidas em ℝ são semelhantes em suas propriedades e operações A semelhança observada entre as funções reais e complexas também está presente na definição e na operacionalização do conceito de limites para funções complexas objeto de estudo desta seção Para começar você deve ter em mente a definição de função complexa pois os conceitos de limite e continuidade estão relacionados a regiões de vizinhança no domínio e na imagem da função Veja a definição de função complexa considerando que D ℂ é um subconjunto uma função f D ℂ é chamada de função de variáveis complexas se para z D a aplicação f associa um único fz w ℂ COELHO 2000 Segundo Coelho 2000 as funções de variáveis complexas podem ser vistas como funções de ℝ2 em ℝ2 se z x y i e fz uz vz i ux y vx y i Então temse f x y ux y vx y As funções ux y e vx y são as partes reais e imaginárias de f Como você pode observar a definição de uma função complexa se baseia na aplicação entre conjuntos A seguir veja a definição do limite de uma função complexa o qual também utiliza os conjuntos imagem e domínio de f Considere A um subconjunto aberto de ℂ e f A ℂ uma função de variáveis complexas Dado z0 A dizse que w A é o limite de f quando z A tende a z0 se para todo 𝜖 0 existe um 𝛿 0 tal que se 0 z z0 𝛿 então fz w0 𝜀 Escrevese Como observam Brown e Churchill 2015 geometricamente a existência do limite de uma função de variáveis complexas consiste no seguinte dada qualquer vizinhança w w0 𝜖 de w0 existe uma vizinhança perfurada 0 z z0 𝛿 de z0 tal que para cada ponto desta última vizinhança tem a imagem de z pela função fz w na vizinhança de w0 Na Figura 1 veja a interpretação geométrica apresentada pelos autores Limite e continuidade de funções complexas 2 Figura 1 Interpretação geométrica da definição de limite Fonte Brown e Churchill 2015 p58 Para compreender melhor os conceitos que você estudou até aqui veja alguns exemplos Considerando a definição de limite determine os valores de 𝜖 e 𝛿 de modo que A fim de satisfazer a definição de limite basta tomar 𝛿 𝜖 Assim sempre que z z0 𝛿 temse Agora considerando a definição de limite determine os valores de 𝜖 e 𝛿 de modo que A fim de satisfazer a definição de limite basta tomar 𝛿 𝜖 Assim sempre que z z0 𝛿 temse Limite e continuidade de funções complexas 3 Limite e continuidade de funções complexas Veja este teorema se fz uxy vxy z x y i e z0 x0 y0 i então o limite de f existe em z0 e é igual a u0 v0 i se e somente se os limites de u e v existirem em x0y0 e forem iguais a u0 e v0 respectivamente Ou seja lim zz0 fz u0 i v0 lim xyx0y0 uxy u0 lim xyx0y0 vxy v0xy Agora você vai ver a demonstração Os passos desenvolvidos aqui são similares aos de Zani 2011 Assim suponha que os seguintes limites existam lim xyx0y0 uxy u0 e lim xyx0y0 vxy v0 xy Portanto dado ε 0 existem δ1 δ2 0 tal que uxy u0 ε2 sempre que 0 z z0 x x0² y y0² δ1 vxy v0 ε2 sempre que 0 z z0 x x0² y y0² δ2 Considerando δ minδ1 δ2 temse fz u0 iv0 uxy u0 ivxy v0 uxy u0 vxy v0 ε2 ε2 ε sempre que 0 z z0 δ De forma recíproca se existe lim zz0 fz u0 i v0 então para cada ε 0 existe δ 0 tal que fz L ε sempre que 0 z z0 x x0² y y0² δ Colocando L u0 v0 i com u0 e v0 ℝ temse e sempre que Agora veja um exemplo que utiliza a definição de limite e suas regiões de vizinhança nos conjuntos imagem e domínio Demonstre pela definição de limite que Você quer mostrar que 0 𝛿 0 tal que 0 z 2i δ z2 3z 4 6i ϵ Assim temse Limite e continuidade de funções complexas 5 Podese admitir que z 3 Assim temse 8z 2i ϵ z 2i ϵ8 δ Por outro lado z z 2i 2i z 2i 2i δ 2 3 δ 1 Assim basta considerar 𝛿 min1 𝜖8 Neste ponto você vai conhecer as principais propriedades operatórias dos limites para as funções de variáveis complexas Veja esta proposição considere A ℂ um conjunto aberto além disso considere as funções complexas f1 A ℂ e f2 A ℂ Fixe um ponto z0 A e considere que Então são válidas as propriedades a seguir 1 c f1z c w1 c ℂ 2 f1z f2z f1z f2z w1 w2 3 f1z f2z f1z f2z w1 w2 4 se w1 0 5 Se w1 0 então A seguir você vai ver como demonstrar a terceira propriedade Os passos aqui apresentados são os mesmos percorridos por Zani 2011 As demonstra ções das demais propriedades também podem ser encontradas na obra citada Então veja a demonstração de Limite e continuidade de funções complexas 6 Se considerando a definição de limite temse 𝛿1 0 tal que f1z w1 sempre que 0 z z0 𝛿1 Seguese que 11z f1z w1 1 l sempre que 0 z z0 𝛿1 Considerando novamente a definição de limite existe 𝛿2 0 tal que sempre que 0 z z0 𝛿2 Além disso existe 𝛿3 0 tal que sempre que 0 z z0 𝛿2 Considere 𝛿 min𝛿1 𝛿2 𝛿3 Se 0 z z0 𝛿 então A partir das propriedades para o cálculo dos limites anteriormente enun ciadas é possível concluir que dadas funções f e g tais que os limites fz e gz existam então para quaisquer 𝛼 e 𝛽 temse Limite e continuidade de funções complexas 7 Calcule o limite Veja a solução Cálculo de limites envolvendo o infinito Na seção anterior você conheceu a definição formal de limite e suas proprie dades operatórias Além disso acompanhou o desenvolvimento de alguns cálculos Uma característica importante dos limites calculados até aqui é que eles resultavam em um valor finito sempre que z z0 lêse z tendia a z0 Nesta seção você vai ver como calcular o limite de funções complexas quando z z0 e fz quando z e fz L e por fim quando z e fz A fim de compreender a definição formal de uma função complexa fz no contexto aqui estudado você precisa ter em mente duas definições prelimi nares A primeira delas se refere ao disco furado e a segunda a um ponto de acumulação em ℂ Neste texto as definições são as mesmas de Vieira 2011 Veja a definição de disco furado considerando z ℂ e r ℝ denotase por 𝔻 z r o disco furado centrado em z de raio r ou seja 𝔻 z r z ℂ 0 w z r Assim podese dizer que o disco furado é o disco que tem seu centro removido Agora veja a definição do ponto de acumulação considerando A ℂ dizse que um ponto z ℂ é um ponto de acumulação de A se 𝔻 z r A r 0 Com essas duas definições você está apto a compreender a definição de limite no infinito enunciada a seguir Considere a função f A ℂ sendo A ℂ Além disso considere z0 ℂ um ponto de acumulação de A Dizse que o limite de fz quando z tende a z0 é infinito se para todo K 0 existe 𝛿 0 tal que fz K sempre que z A e z z0 𝛿 VIEIRA 2011 Matematicamente temse 0 δ 0 z A z z0 δ fz k Limite e continuidade de funções complexas 8 Denotase por As definições anteriores talvez se mostrem um tanto abstratas em um primeiro momento Por isso é importante que você conheça alguns casos práticos Para começar calcule Veja a solução a seguir A fim de calcular inicialmente considere fz uma vez que apenas Então Agora calcule Veja a solução a seguir A fim de calcular Limite e continuidade de funções complexas 9 inicialmente considere fz uma vez que apenas Então Limites no infinito Agora você vai ver como calcular limites em que z e sendo L finito Assim considere a função f A ℂ sendo A ilimitada O limite de fz tende a L quando z tende ao infinito z se para todo 𝜖 0 existir R 0 tal que fz L 𝜖 sempre que z A e z R VIEIRA 2011 Matematicamente temse ϵ 0 R 0 z A e z R fz L ϵ E denotase por O exercício a seguir calcula o limite da função fz por meio da definição dada A ideia é demonstrar que Limite e continuidade de funções complexas 10 Inicialmente considere Para a última igualdade foi pressuposto que z 13 o que será adotado daqui em diante Observe Considere Assim obtémse o resultado desejado Calcule Realizando as manipulações algébricas adequadas temse Agora calcule Limite e continuidade de funções complexas 11 Realizando as manipulações algébricas adequadas temse Limites infinitos no infinito Agora você vai estudar o caso em que quando z temse fz Assim fazse necessário considerar a definição adequada dada a seguir O limite de fz tende ao infinito quando z tende ao infinito z se para todo K 0 existir R 0 tal que fz K sempre que z A e z R VIEIRA 2011 Matematicamente temse K 0 R 0 z A e z R fz K E denotase por Calcule Veja a solução Calcule Limite e continuidade de funções complexas 12 Veja a solução Continuidade para funções de variáveis complexas Nesta seção você vai conhecer um dos principais conceitos relativos às fun ções de variáveis complexas o de continuidade Assim considere a definição a seguir de Coelho 2000 Considere A ℂ um aberto de ℂ Além disso considere a função complexa f A ℂ Essa função é contínua no ponto z0 A se fz fz0 De outra forma dizse que fz é contínua em z0 A se para todo 𝜖 0 existe 𝛿 0 tal que z z0 δ fz fz0 ϵ Considere a função Mostre por meio da definição que ela é contínua em ℂ A seguir veja a solução Dado 𝜖 0 tome 𝛿 4𝜖 Se z z0 𝛿 então temse Portanto fz é contínua em ℂ Agora considere a função Mostre por meio da definição que a função dada é contínua em ℂ A seguir veja a solução Limite e continuidade de funções complexas 13 Dado 𝜖 0 tome δ π ϵ Se z z0 𝛿 então temse Portanto fz é contínua em ℂ Como observa Zani 2011 uma condição necessária e suficiente para que a função complexa fz seja contínua é que suas partes real e imaginária sejam contínuas Ou seja A partir do que foi explanado por Zani 2011 temse que as partes real e imaginária das funções exponenciais seno e cosseno são contínuas Assim temse Logo podese concluir que as funções complexas expz senz e cosz são funções contínuas A seguir você vai estudar uma proposição que garante que se as funções f1 f2 e g forem contínuas então o produto quociente e composição quando bem definido também será contínuo Considere A B ℂ abertos Além disso considere as funções de variáveis complexas f1 A ℂ f2 A ℂ e g B ℂ sendo que f1 A B Suponha que as funções f1 e f2 são ambas contínuas em z0 A e que a função g é contínua em f1z0 Então 1 as funções c f1 A ℂ f1 f2 A ℂ e f1 f2 A ℂ são contínuas em z0 onde c é um número complexo arbitrário porém fixado 2 se f1z0 0 então existe uma vizinhança de z0 tal que 1 f1 restrita a essa vizinhança está definida e é contínua em z0 3 a função g f1 A ℂ é contínua em z0 A seguir veja a demonstração da terceira propriedade As demais podem ser facilmente demostradas com o conteúdo exposto até aqui Limite e continuidade de funções complexas 14 Considere que gz é contínua Além disso assume que 𝛾0 fz1 Você vai ver que g f D ℂ também é contínua em z0 Para isso considere 𝜖 0 Sendo a função g continua em z1 então existe 𝛿1 tal que gz g𝛾0 gz gfz0 𝜖 sempre que z 𝛾0 𝛿1 Por outro lado existe 𝛿 0 tal que fz 𝛾0 fz fz0 𝛿1 sempre que z 𝛾0 𝛿 Combinando as desigualdades temse gfz gfz0 𝜖 sempre que z 𝛾0 𝛿 Para compreender melhor a terceira propriedade considere as funções f e g definidas como mostra a Figura 2 a seguir Figura 2 Interpretação geométrica da definição de limite A seguir veja o desenvolvimento analítico em forma de exercício Considere as funções gz z e fz z2 É fácil mostrar que cada uma delas é contínua Agora você vai ver como mostrar que a função composta fgz é igual a z2 Considere que fz é contínua Além disso assuma que 𝜉0 gz1 Você vai verificar que a composição das funções f gz D ℂ também é contínua em z1 Considere agora 𝜖 0 P Sendo a função f continua em z1 existe 𝛿1 tal que fz f𝜉0 fz fg𝜉0 𝜖 sempre que z 𝛾0 𝛿1 Por outro lado existe 𝛿 0 tal que gz 𝜉0 gz gz1 𝛿 sempre que z 𝛾0 𝛿 Combinando as desigualdades temse fgz fgz0 𝜖 sempre que z 𝛾0 𝛿 No Quadro 1 a seguir veja as definições fundamentais deste capítulo ou seja as definições de limite continuidade limites no infinito e limites infinitos Limite e continuidade de funções complexas 15 Quadro 1 Principais definições de limite e continuidade de funções complexas Definição Descrição Definição de continuidade Considere A ℂ um aberto de ℂ Além disso considere a função complexa f A ℂ Essa função é contínua no ponto z0 A se fz fz0 De outra forma dizse que fz é contínua em z0 A se para todo 𝜖 0 existe 𝛿 0 tal que z z0 δ fz fz0 ϵ Definição de limite Considere A um subconjunto aberto de ℂ e f A ℂ uma função de variáveis complexas Dado z0 A dizse que w A é o limite de f quando z A tende a z0 se para todo 𝜖 0 existe um 𝛿 0 tal que se 0 z z0 𝛿 então fz w0 𝜀 Definição de limite infinito Considere a função f A ℂ sendo A ℂ Além disso considere z0 ℂ um ponto de acumulação de A Dizse que o limite de fz quando z tende a z0 é infinito se para todo K 0 existe 𝛿 0 tal que fz K sempre que z A e z z0 𝛿 Definição de limite no infinito O limite de fz tende a L quando z tende ao infinito z se para todo 𝜖 0 existir R 0 tal que fz L 𝜖 sempre que z A e z R Definição de limite infinito no infinito O limite de fz tende ao infinito quando z tende ao infinito z se para todo K 0 existir R 0 tal que fz K sempre que z A e z R Referências BROWN J W CHURCHILL R V Funções analíticas In BROWN J W CHURCHILL R V Variáveis complexas e aplicações 9 ed Porto Alegre AMGH 2015 p 3782 COELHO L Funções complexas 2000 69 f Monografia Licenciatura em Matemática Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis 2000 VIEIRA E Funções Holomorfas de uma Variável Sl sn 2011 Disponível em http emisimpabrEMISjournalsemdocscoloquiosNE109pdf Acesso em 5 dez 2020 ZANI S L Funções de uma variável complexa Sl sn 2011 Disponível em https sitesicmcuspbrszanicomplexapdf Acesso em 5 dez 2020 Limite e continuidade de funções complexas 16 Leituras recomendadas MATEMÁTICA aula 27 números complexos e transformações de plano Aula da disciplina Matemática Curso de Engenharia da Universidade Virtual do Estado de São Paulo Pro fessor ministrante Walter Spinelli São Paulo S n 2014 1 vídeo 21 min Publicado pelo canal UNIVESP Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv7et7XESOXUab channelUNIVESP Acesso em 5 dez 2020 MATEMÁTICA aula 28 números complexos e transformações de plano Aula da dis ciplina Matemática Curso de Engenharia da Universidade Virtual do Estado de São Paulo Professor ministrante Walter Spinelli São Paulo S n 2014 1 vídeo 18 min Publicado pelo canal UNIVESP Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvl GU1qgkOpCUlistTLPQMjIxMTIwMjCRyBH889JNAindex2abchannelUNIVESP Acesso em 5 dez 2020 NÚMEROS complexos Aula da disciplina Matemática MMB001 Curso de Engenharia Turma 2016 Universidade Virtual do Estado de São Paulo Professor ministrante Pedro L Fagundes São Paulo S n 2017 1 vídeo 23 min Publicado pelo canal UNIVESP Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvZKP8evESWcMlistRDCMUCBL2t frwhEhX52DzeaO3zAstartradio1abchannelUNIVESP Acesso em 5 dez 2020 PEREIRA G G Uma proposta didática para o ensino de funções de variável complexa no ensino médio usando planilha eletrônica 2017 95 f Monografia Mestrado profis sional Instituto de Matemática Estatística e Física Universidade Federal do Rio Grande Rio Grande 2017 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Limite e continuidade de funções complexas 17 Conteúdo