Cálculo de Limites e Derivadas de Funções Trigonométricas

CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Mariana Sacrini Ayres Ferraz Derivadas de funções trigonométricas Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Calcular derivadas de funções trigonométricas Definir derivadas de funções trigonométricas inversas Resolver problemas aplicados envolvendo derivadas trigonométricas e trigonométricas inversas Introdução Derivadas são muito úteis para a avaliação de problemas reais principalmente os que envolvem taxa de variações Dentre eles muitos variam periodicamente como as funções trigonométricas Neste capítulo você verá como derivar as funções trigonométricas e as funções trigonométricas inversas além de alguns problemas aplicados Derivadas das funções trigonométricas Nesta seção você verá sobre as derivadas das funções trigonométricas Inicialmente será feita uma breve revisão sobre essas funções Suponha que x seja um número real ao qual se pode associar um ângulo no ciclo trigonométrico com medida em radianos Assim temos as funções ADAMI DORNELLES FILHO LORANDI 2015 função seno fx senx função cosseno fx cosx função tangente fx tgx função cossecante fx cosecx 1 senx função secante fx secx 1 cosx função cotangente fx cotgx 1 tgx A Figura 1 a seguir mostra os gráficos das funções trigonométricas definidas acima dentro do intervalo 02π Lembrese de que podemos transformar radianos em graus usando a relação π rad 180 Os valores das funções trigonométricas para alguns ângulos estão mostrados na Figura 2 função arcocossecante f¹x arcsecx ou f¹x cosec¹x no intervalo 0 π2 π2 π f¹x arcsecx ou f¹x cosec¹x no intervalo π2 0 0 π2 Agora passaremos ao estudo das derivadas das funções trigonométricas Considere que x seja dado em radianos Primeiramente vamos relembrar dois teoremas 1 lim h0 senhh 1 2 lim h0 1 coshh 0 Suponha a função fx senx Você pode encontrar a derivada da função fx usando a definição de derivada ANTON BIVENS DAVIS 2014 Assim temos que fx lim h0 fx h fxh lim h0 senx h senxh lim h0 senxcosh cosxsenh senxh lim h0 senxcosh 1h cosxsenhh lim h0 cosxsenhh senx1 coshh lim h0 cosxlim h0 senhh lim h0 senxlim h0 1 coshh lim h0 cosx1 lim h0 senx0 lim h0 cosx cosx Ou seja Você pode usar a mesma metodologia aplicada para obter a derivada do seno para encontrar a derivada do cosseno não mostrado aqui que é dada por Encontre a derivada em relação a x da seguinte função y x cosx Para resolvermos essa questão usaremos a regra do produto Assim a derivada de y é dada por As derivadas das outras funções trigonométricas podem ser encontradas usando também a definição de derivada ou as derivadas já encontradas de seno e cosseno Por exemplo a derivada da tangente é 5 Derivadas de funções trigonométricas ddxtgx ddxsenxcosx cosxddxsenx senxddxcosxcos²x cosxcosx senxsenxcos²x cos²x sen²xcos²x 1cos²x sec²x Portanto ddxtgx sec²x A seguir está o resumo das derivadas das funções trigonométricas ddxsenx cosx ddxcosx senx ddxtgx sec²x ddxsecx secxtgx ddxcotgx cossec²x ddxcosecx cossecxcotgx Derivadas das funções trigonométricas inversas As funções inversas também apresentam derivadas Para encontrálas podemos usar o seguinte teorema STEWART 2008 se f é uma função diferenciável com inversa f1 e f f1 a0 então a função inversa é diferenciável em a e Para mais detalhes e demonstrações ver Stewart 2008 Como consequên cia desse teorema podemos escrever Vamos ver um exemplo Considere a função seny x e com inversa y sen1 x Podemos escrever Temos então que x seny Derivando em relação a y encontramos Mas sabemos que cos2 y sen2 y 1 assim podemos escrever Ou seja 7 Derivadas de funções trigonométricas Substituindo encontramos com 1 x 1 Podemos encontrar as derivadas para as outras funções inversas trigo nométricas da mesma maneira que mostrado para a função inversa do seno A Figura 3 a seguir mostra as derivadas das funções trigonométricas inversas Figura 3 Derivadas das funções trigonométricas inversas Fonte Adaptada de Stewart 2008 Encontre a derivada da função arcotangente Temos então a função inversa y arctgx e x tgy Primeiramente vamos encontrar a derivada de x em relação a y Derivadas de funções trigonométricas 8 Usando a regra do quociente ficamos com Por outro lado temos que Ou seja Substituindo encontramos Agora a derivada do arcotangente será Ou seja 9 Derivadas de funções trigonométricas As derivadas das funções inversas podem ser generalizadas da seguinte maneira Se u é uma função diferenciável de x podemos escrever d dx d dx du dx sen1 u tg1 u 1 u2 1 du 1 u2 dx 1 cotg1 u d dx sec1 u cos sec1 u 1 u2 1 du dx 1 u2 1 du dx du dx 1 u u2 1 du dx 1 u u2 1 d dx d dx d dx cos1 u Fonte Adaptada de Derivadas 2019 documento online Problemas aplicados Nesta seção você verá alguns problemas aplicados sobre derivadas de funções trigonométricas e trigonométricas inversas Problema 1 Encontre a derivada em relação a x da seguinte função y x cosx senx Para encontrarmos a derivada de y usaremos a regra do produto no primeiro termo Assim temos que Derivadas de funções trigonométricas 10 Problema 2 Usando as derivadas das funções trigonométricas mostradas neste capítulo encontre a derivada em relação a x da seguinte função Para encontrarmos a derivada de y usaremos a regra do quociente Assim temos que 11 Derivadas de funções trigonométricas Portanto temos que Problema 3 Suponha uma massa presa a uma mola como mostrado na Figura 4 a seguir Alguém puxa a massa para baixo esticandoa 5 cm além de sua posição de repouso Após esticada a massa é solta deixando o sistema livre A seguinte equação descreve a posição do topo da massa no tempo st 5 cost com s em centímetros e t segundos Sabendo que a velocidade é dada pela derivada da posição em relação ao tempo encontre a função que descreve a velocidade Derivadas de funções trigonométricas 12 Figura 4 Massa presa a uma mola Fonte Adaptada de Anton Bivens e Davis 2014 Para chegarmos à função que descreve a velocidade vt devemos encontrar a derivada da posição pelo tempo Assim temos que Portanto vt 5 sen t 13 Derivadas de funções trigonométricas A Figura 5 mostra um gráfico de st e vt pelo tempo t Note que nos pontos de máxima amplitude a velocidade é nula E os máximos valores de velocidade ocorrem quando a mola passa pelo ponto de repouso Figura 5 Gráfico do deslocamento s e da ve locidade v Fonte Adaptada de Stewart 2008 2π t 5 5 0 s v π ADAMI A M DORNELLES FILHO A A LORANDI M M Précálculo Porto Alegre Bookman 2015 208 p ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 2 v 1352 p DERIVADAS das funções trigonométricas inversas Só Matemática Porto Alegre 2019 Disponível em httpswwwsomatematicacombrsuperiorlogexplogexp11php Acesso em 12 set 2019 STEWART J Single variable calculus early transcendentals 6 ed Belmont Thomson BrooksCole 2008 912 p Derivadas de funções trigonométricas 14 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo saGaH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS