Exponenciais e Logaritmos na Saúde

CÁLCULO APLICADO À SAÚDE Claudia Abreu Paes Exponenciais e logaritmos Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Definir exponencial e logaritmo e suas propriedades Reconhecer as funções exponencial e logarítmica bem como seus domínios Analisar situações aplicadas envolvendo crescimento e decrescimento exponencial Introdução Relações entre variáveis distintas podem descrever diversas situações A função que representa essa relação pode ser descrita de diferentes maneiras Essa vinculação entre as variáveis pode ser expressa por meio de um polinômio de diferentes graus de uma expressão trigonométrica ou ainda de uma função exponencial ou logarítmica Neste capítulo você vai estudar sobre exponenciais e logaritmos bem como as funções expressas por essas operações Serão apresentadas as características dos gráficos de ambas as funções e a forma como podemos aplicar o conceito de crescimento e decrescimento exponencial Propriedades dos exponenciais e logaritmos Funções exponenciais e logarítmicas são aplicadas em diversas áreas do cálculo Antes de analisar as funções devemos falar sobre as operações exponenciais e de logaritmos Veremos também que essas operações são inversas uma a outra e por isso são comumente estudadas juntas A exponencial é aplicada quando se quer representar números grandes Por exemplo 625 pode ser escrito como 5⁴ ou seja 5 5 5 5 625 Dessa forma estamos aplicando o conceito de potência A potência é uma forma de escrever produtos de fatores que se repetem como o caso do 5⁴ Definição seja a um número real e n um número real inteiro positivo deno minase potência o número de base a e expoente n que corresponde ao produto de n fatores iguais a a da forma Observação nos casos em que n 1 ou n 0 não se aplica essa definição pois a1 a e a0 1 O Quadro 1 mostra as propriedades de potenciação comumente aplicadas em soluções de cálculos Propriedade Equação Potência de expoente negativo Potência de expoente racional Multiplicação de potência de mesma base am an amn Divisão de potência de mesma base Potência de potência amn am n Potência de produto abm am bm Potência de quociente Quadro 1 Propriedades de potenciação O logaritmo por sua vez é definido da seguinte maneira dados dois nú meros reais positivos a e b com a 1 o logaritmo de b na base a é o número real x tal que ax b ou seja logab x ax b Exponenciais e logaritmos 2 Vamos calcular os logaritmos a seguir a log6 36 log6 36 x 6x 36 62 Logo x 2 log6 36 2 b Logo Observação 1 Condições de existência dos logaritmos Para que o cálculo do logaritmo seja possível há algumas condições a serem respeitadas Repare nas seguintes situações a log636 x 6x 36 Não há solução Não existe x real que satisfaça essa equação Logo o conceito de logaritmo não se aplica b log1 10 x 1x 10 Nesse caso também não há solução Devido a isso para que exista solução devese considerar que b 0 a 0 e a 1 3 Exponenciais e logaritmos Observação 2 Base 10 Quando a base é omitida na equação de logaritmo entendese que a base é 10 O Quadro 2 apresenta as propriedades de operação logaritmo Propriedade Equação Logaritmo de um produto logab c loga b loga c Logaritmo de um quociente Logaritmo de uma potência loga bn n loga b Mudança de base Quadro 2 Propriedades de logaritmos Funções exponencial e logarítmica domínios e gráficos Uma função é caracterizada pela relação de dependência entre duas ou mais variáveis Uma variável y sempre será definida a partir de outra variável x ANTON BIVENS DAVIS 2014 A relação entre x e y pode ser descrita de diferentes formas como uma função polinomial de 1 grau função afim 2 grau função quadrática ou de grau maior como uma função trigonomé trica ou como uma função exponencial e logarítmica Nesta seção vamos determinar as funções exponencial e logarítmica Exponenciais e logaritmos 4 Função exponencial A função exponencial é a relação entre duas variáveis onde a variável inde pendente está no expoente SAFIER 2011 O domínio da função exponencial são todos os números reais e o conjunto imagem consiste em todos os reais positivos A lei da função é dada por y fx ax Onde a é um número real sendo a 0 e a 1 O gráfico da função exponencial é bem característico Como a base da função exponencial é a 0 e a 1 as funções estarão determinadas para 0 a 1 e a 1 Observe a Figura 1 Figura 1 Gráficos de uma função exponencial com a a 0 e b 0 a 1 Fonte Adaptada de matmaShutterstockcom a b Observe que o gráfico da função exponencial sempre interceptará o eixo vertical no ponto 01 pois sempre que x 0 na função fx ax yx será igual a 1 O gráfico da função exponencial será uma curva situada totalmente acima do eixo horizontal A seguir teremos a construção de gráfico da função no exemplo a partir de uma função dada aplicando valores quaisquer para x 5 Exponenciais e logaritmos Vamos calcular o gráfico da função yx 2x A construção de um gráfico é similar a das outras funções utilizando o plano cartesiano Admitindo valores quaisquer para x e aplicando na função temos x yx 2x xy 0 20 1 01 1 21 2 12 2 22 4 24 3 23 8 38 4 24 16 416 5 25 32 532 yx 2x 32 16 8 4 2 2 3 4 5 1 1 00 Exponenciais e logaritmos 6 Função logarítmica Uma função logarítmica se dá quando há uma variável no logaritmo Essa função é definida como y fx loga x Onde a 0 e a 1 Para a função logarítmica vale a aplicação dos conceitos de logaritmo ADAMI DORNELES FILHO LORANDI 2015 O domínio da função logarítmica compreende todos os números reais positivos e o conjunto imagem equivale aos reais A Figura 2 traz os gráficos de uma função logarítmica Assim como na função exponencial na função logarítmica estará definida para a base 0 a 1 e a 1 Figura 2 Gráfico de uma função logarítmica com base a a 0 e b 0 a 1 Fonte Adaptada de matmaShutterstockcom a b Observe que o gráfico da função logarítmica sempre passará no ponto 10 pois somente um número com expoente zero é igual a 1 Outra observação é que o gráfico dessa função sempre estará ao lado direito do eixo vertical Veja o exemplo a seguir com o cálculo do gráfico da função logarítmica 7 Exponenciais e logaritmos Vamos calcular o gráfico da função fx log3 x Admitindo qualquer valor para x temos o seguinte Para Assim calculando para teremos x fx 2 1 1 0 3 1 9 2 2 1 0 0 2 4 6 8 10 1 2 yx log3 x Exponenciais e logaritmos 8 Situações aplicadas envolvendo crescimento e decrescimento exponencial Crescimento e decrescimento exponencial é uma análise muito utilizada em diversas situações Podemos aplicar ao estudo do crescimento de qualquer população à matemática financeira calculando os juros compostos sobre uma operação podese obter níveis de radioatividade em um ambiente resfriamento corporal entre outras diversas aplicações A função exponencial é defendida como crescente ou decrescente de acordo com os valores para a base a Na Figura 1a podemos pegar qualquer ponto arbitrário sendo x1 e x2 onde x2 x1 Veremos ainda que y2 y1 ou seja quando o x aumenta o y também aumenta Isso se dá porque a base a é maior que 1 a 1 portanto essa função é crescente Analogamente na Figura 1b se selecionarmos pontos em que x2 x1 veremos que y2 y1 ou seja quando o x aumenta e os valores de y diminuem Isso ocorre porque a base a está entre 0 e 1 0 a 1 portanto essa função é decrescente Vamos ver algumas aplicações a seguir Crescimento exponencial Um exemplo clássico de crescimento exponencial é sobre a análise do número de indivíduos de uma população Um grupo de biólogos estudou o processo de reprodução em uma cultura de bactérias a partir de dados coletados em determinado período de tempo Foi observado que o número de indivíduos N em função do tempo t em horas é dado por Nt 50 203t Pelo valor da base a sendo a 1 podese concluir que é uma função expo nencial crescente Podemos determinar valores de tempo t para confirmar Veja Para t 0 temos N0 50 2030 50 1 50 indivíduos 9 Exponenciais e logaritmos Para t 1 temos N1 50 2031 50 203 61 indivíduos Para t 2 temos N2 50 2032 50 206 75 indivíduos Para t 3 temos N3 50 2033 50 209 93 indivíduos Para t 10 temos N10 50 20310 50 23 400 indivíduos Observação Nos cálculos do número de indivíduos para t igual a 1 2 3 e 10 os resultados foram arredondados para se obter um número inteiro pois não é possível existir 05 indivíduo Por exemplo em t 1 temos Nt 6155 indivíduos e consideramos Nt 61 indivíduos Analise que à medida que o tempo aumenta o número de indivíduos também aumenta o que caracteriza uma função crescente Logo essa função representa um crescimento exponencial Observe na Figura 3 o gráfico dessa função Repare que o eixo vertical representa o número de indivíduos e o eixo horizontal representa o tempo t em horas Decrescimento exponencial Um estudo interessante sobre decrescimento é o cálculo de meiavida de um elemento radioisótopo Alguns desses elementos são utilizados na área da saúde para diferentes tipos de doenças O radioisótopo iodo131 por exemplo é comumente utilizado para tratamentos de câncer de tireoide Esses elementos sofrem desintegração e seu tempo de vida é em função disso O tempo de meiavida do iodo131 é de 8 horas Isso significa que decorridas 8 horas sua atividade será reduzida à metade em relação ao seu valor inicial Exponenciais e logaritmos 10 Figura 3 Crescimento exponencial do número de indivíduos de bactérias 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 0 10 20 30 40 Nt 50 203t Uma dose de iodo131 é administrada ao paciente A função que relaciona porcentagem de iodo131 após ser administrado em t dias é representada pela seguinte equação Pelo valor da base a sendo 0 a 1 podemos concluir que é uma fun ção exponencial decrescente Podemos determinar valores de tempo t para confirmar Veja 11 Exponenciais e logaritmos Para t 0 temos Para t 8 temos Para t 16 temos Para t 24 temos Para t 32 temos Repare que quando o tempo aumenta a porcentagem do radioisótopo diminui Isso é característico de uma função decrescente Logo essa fun ção representa um decrescimento exponencial A Figura 4 traz o gráfico dessa função onde o eixo vertical corresponde à quantidade de iodo131 em porcentagem presente no paciente e o eixo horizontal corresponde ao tempo em dias Exponenciais e logaritmos 12 Figura 4 Decrescimento exponencial do número de indivíduos de bactérias 120 100 80 60 20 0 0 20 40 60 40 pt 100 1 2 t 8 ADAMI A M DORNELES FILHO A A LORANDI M M Précálculo Porto Alegre Book man 2015 ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 v1 SAFIER F Précálculo 2 ed Porto Alegre Bookman 2011 Leitura recomendada ROGAWSKI J ADAMS C Cálculo 3 ed Porto Alegre Bookman 2018 v 1 13 Exponenciais e logaritmos Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo