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Engenharia Civil ·
Resistência dos Materiais 2
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12082021 1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Prof MSc Paulo Cesar Rodrigues RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Unidade 1 Tensões de cisalhamento em vigas e elementos de paredes finas Parte 2 14 Tensões de cisalhamento em uma viga Considere novamente uma viga com um plano vertical de simetria submetida a várias forças concentradas ou distribuídas aplicadas naquele plano figura 106 Se por meio de dois cortes verticais e um corte horizontal separarmos da viga um elemento Δx figura 112 a intensidade ΔH da força cortante exercita na face horizontal do elemento pode ser obtida da equação 106 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0234 Figura 112 Elemento de tensão CDCD x I V Q H 106 12082021 2 A tensão de cisalhamento média τméd naquela face do elemento é obtida dividindose ΔH pela área ΔA da face Como ΔA t Δx onde t é a largura do elemento no corte portanto Observase que como as tensões de cisalhamento τxy e τyx ocorrem em um plano vertical e horizontal respectivamente as mesmas são iguais e a equação 109 também representará o valor médio de τxy ao longo da linha D1D2 figura 112 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0334 109 t I Q V x t x I Q V A H méd méd Observamos que τyx 0 nas faces superior e inferior da viga pois não há forças exercidas nessas faces Concluise que τxy 0 ao longo das bordas superior e inferior da seção transversal figura 113 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0434 τméd τméd Figura 112 Elemento de tesão CDCD mostrando a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de D1 D2 Figura 113 Seção transversal da viga mostrando que a distribuição da tensão é zero nas partes superior e inferior da viga 12082021 3 15 Tensões de cisalhamento em vigas retangulares estreitas Para vigas de seção retangular de largura b e altura h onde a relação b h4 a teoria da elasticidade mostra que as tensões de cisalhamento em C1 e C2 não excede mais de 08 do valor médio da tensão calculada ao longo aa linha neutra figura 114 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0534 Figura 114 Distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da linha neutra da seção transversal da viga retangular Podemos usar a equação 108 para determinar a tensão de cisalhamento em qualquer ponto da seção transversal de vigas retangulares estreitas em que t é igual a largura b da viga e Q é o momento estático em relação à linha neutra da área sombreada A figura 115 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0634 y t I Q V xy Figura 115 Seção retangular utilizada para calcular a tensão de cisalhamento 108 12082021 4 Observando na figura 115 que a distância da linha neutra até o centróide C de A é e o momento estático é dado por o momento de inércia de uma seção transversal retangular calculado em relação ao eixo z Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0734 y c y c y y c y y 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 y c b y c y c b y A Q 3 3 3 3 2 12 2 12 b c c b b h I 110 111 112 Utilizando a equação 18 para calcular a tensão de cisalhamento temos A equação 113 mostra que a distribuição de tensões de cisalhamento em uma seção transversal de uma barra retangular é parabólica figura 116 O valor máximo da tensão de cisalhamento pode ser obtido fazendose y 0 na equação 113 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0834 2 2 3 2 2 1 2 3 3 2 2 1 c y A V b c b y b c V t I Q V xy 2 2 1 2 3 c y A V méd xy 113 A V máx 2 3 114 12082021 5 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0934 Figura 116 Distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal da viga retangular 16 Tensões de cisalhamento em vigas de perfis em forma de I ou de perfis de abas largas No caso de vigas com seção em perfil do tipo I padrão americano ou do tipo W viga de mesas largas a equação 108 pode ser usada para determinar o valor médio da tensão de cisalhamento τxy sobre uma seção aa ou bb da seção transversal dessa viga figura 117 Então onde V é a força cortante vertical t é a largura da seção na elevação considerada Q é o momento estático da área sombreada em relação à linha neutra cc e I é o momento de inércia da seção transversa inteira em relação a cc Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1034 t I Q V méd 108 12082021 6 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1134 Figura 117 Viga de mesa larga a Área para encontrar o momento estático da área da mesa b Área para encontra o momento estático da área da alma c Distribuição da tensão de cisalhamento t I Q V méd Podese construir o gráfico de τméd em função da distância y como indica a figura 117c As descontinuidades existentes nessa curva se devem à diferença entre os valores de t correspondendo respectivamente às mesas ABGD e ABGD para à alma EFFE No caso da alma a tensão de cisalhamento τxy varia muito pouco ao longo da seção bb e pode ser adotado igual ao valor médio τméd O comportamento é diferente para as abas Seja a linha horizontal DEFG a tensão τxy é zero entre D e E e entre F e G uma vez que esses dois segmentos fazem parte da superfície livre do perfil Entre E e F o valor de τxy é dado pela equação 108 com t EF Na prática considerase que todo o esforço cortante é absorvido pela alma uma boa aproximação do valor máximo da tensão de cisalhamento que é obtida por Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1234 alma máx A V 115 12082021 7 Exercícios 1 A viga mostrada na figura é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento esforço cortante interna de V 3 kN a Determine a tensão de cisalhamento na viga no ponto P b Calcule a tensão de cisalhamento máxima na viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1334 Tensão de cisalhamento no ponto P τp τxy A tensão máxima Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1434 t I Q V p 125 cm 10 cm 5 cm 125 cm A LN P 0 3456 MPa 0 03456 kNcm 6 10 1627 187 5 3 cm 10 1627 6 cm 12 12 5 10 12 187 5 cm 10 5 3 75 2 3 3 3 3 t I Q V t b h I y A Q p 0 36 MPa 0 036 kNcm 12 5 10 3 2 3 2 3 2 A V máx 12082021 8 2 A viga AB é constituída por três peças coladas umas às outras e está submetida ao carregamento indicado na figura que atua em seu plano de simetria Sabendose que a largura de cada junta colada é de 20 mm determinar a tensão de cisalhamento média em cada junta na seção nn Ponto C é o centróide da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1534 Esforço cortante na seção nn Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1634 5 kN 1 0 1 15 0 6 15 0 4 0 R R M A A B RA RB 1 5 kN 0 15 0 V V Fy V 15 n n 1 5 kN 3 15 R 3 R 0 B A R FV 12082021 9 Momento de inércia da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1734 4 4 3 3 2 3 2 3 862 7 cm 8626672 cm 6 2 583 12 6 2 2 8 0 83 12 2 8 10 2 417 12 2 10 I I 1 2 3 517 mm Tensão de cisalhamento na junta a Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1834 t I Q V a a a A LN 0 725 MPa 0 0725 kNcm 7 2 862 5 83 4 1 cm 2 7 cm 862 83 4 cm 10 2 417 2 4 3 t I Q V t I y A Q a 12082021 10 Tensão de cisalhamento na junta b Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1934 t I Q V b b b A LN 0 608 MPa 0 0608 kNcm 7 2 862 5 69 96 1 cm 2 7 cm 862 69 96 cm 6 2 5 83 2 4 3 t I Q V t I y A Q a 3 Uma peça de máquina em forma de perfil T fica submetida a uma força atuante P 67 kN no seu plano de simetria cujo modelo estrutural esta representado abaixo onde L 38 cm Determine a a máxima tensão normal de tração e compressão na seção nn afastada do ponto A de 30 cm b a máxima tensão de cisalhamento Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2034 15 cm 10 cm 10 cm 50 cm 12082021 11 Esforço cortante e momento fletor na seção nn Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2134 38 cm n n 30 cm V M 67kN 201 kNcm 0 6 7 30 0 M 6 7 kN 0 6 7 0 M M V V Fy Centro de gravidade e momento de inércia Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2234 4 21 cm 21428 4 1 15 5 10 1 5 5 15 5 2 5 10 1 1 y A y A y cg n i i n i i i cg 4 2 3 2 3 55 03 cm 55030083 15 5 171 12 15 5 10 1 129 12 1 10 I I 15 cm 10 cm 10 cm 50 cm LN 79 cm 1 21 cm 4 x 1 2 xcg ycg 12082021 12 a a máxima tensão normal de tração e compressão na seção nn afastada do ponto A de 30 cm Nota Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2334 c I M z z máx 2 2 h I M h I M z z c máx z z t máx LN Mz Mz y cy c ty c x z máx c máx t A máxima tensão normal de tração e compressão na seção nn Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2434 2 2 6 54 kNcm 6 53807 55 03 179 201 15 38 kNcm 15 3772 55 03 4 21 201 y I M y I M t máx c máx máx t máx c n n 179 cm y c t 421 cm y c c M 12082021 13 b a máxima tensão de cisalhamento Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2534 10 79 MPa 079 kNcm 1 107872 03 15 55 7 13 29 6 1 5 cm 03 cm e 55 13 29 cm 13 293075 15 4 21 2105 2 4 3 t I Q V t I y A Q t I Q V máx máx máx 15 cm 10 cm 10 cm 50 cm LN 421 cm 4 Uma viga de madeira AB deve suportar três forças concentradas mostradas na figura Sabendo que para o tipo de madeira utilizada σmáx 12 MPa e τmáx 082 MPa determinar a altura d mínima necessária para a viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2634 125 kN 5 kN 125 kN 06 m 09 m 09 m 06 m 3 m 9 cm 12082021 14 Diagramas esforço cortante e momento fletor Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2734 RA RB 15 kN 15 kN 30 15 30 30 0 15 kN 45 3 0 5 15 12 5 0 6 3 12 5 2 4 0 A B A B B A A A B R R R R R F R R R M y 9 kNm 9 kNm 1125 kNm M x 1 2 1 2 1 2 Diagramas Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2834 15 5 12 5 12 5 15 15 kN 5 12 5 12 5 15 2 5 kN 5 12 5 15 2 5 kN 5 12 5 15 2 5 kN 12 5 15 2 5 kN 12 5 15 kN 15 KN 15 2 1 2 1 2 1 V V V V V V V V B E E D D C C A 0 5 15 12 5 0 6 3 12 5 2 4 15 9 kNm 5 0 9 2 4 12 5 18 15 1125 kNm 15 12 5 0 9 15 9 kNm 0 6 15 0 M M M M M B E D C A V V 12082021 15 σmáxc σmáxt y LN Mmáx σ y y Cálculo da altura d através da tensão normal admissível Mmáx 1125 kNm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2934 2 4 3 12 1125 kNcm 25 kNm 11 12kNcm MPa 12 3 3 2 d y d b d I M y I M máx máx máx t c máx 25 cm 2 3 12 1125 2 3 1125 12 2 4 3 1125 12 2 2 3 d d d d d b 9 cm 2 d y Cálculo da altura d através da tensão de cisalhamento admissível Vmáx 15 kN Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3034 b 9 cm 2 d y 8 9 4 2 9 cm 9 4 3 12 kN 15 0 082 kNcm 82 MPa 0 2 3 3 2 d d d y A Q b t d b d I V t I Q V máx máx máx 31 cm Portanto 30 49 cm 4 0 082 27 8 135 9 4 3 8 9 15 0 082 3 2 d d d d d A 12082021 16 5 Uma viga de abas largas em aço tem as dimensões mostradas na figura Se for submetida a uma força de cisalhamento V 80 kN Trace uma curva da distribuição de tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3134 Momento de inércia da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3234 4 3 2 3 2 1 15560 cm 12 15 20 30 2 11 12 30 2 2 2 I I I Somente nos pontos B B e C as tensões de cisalhamento devem ser calculados t I Q V méd 12082021 17 Tensão de cisalhamento no ponto B Tensão de cisalhamento no ponto B Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3334 113 MPa 0113 kNcm 30 15560 660 80 cm 30 660 cm 30 2 11 2 3 t I Q V t y A Q B B 30 cm 10 cm 2 cm 30 cm 10 cm 2 cm 22 62 MPa 2 262 kNcm 15 15560 660 80 5cm 1 660 cm 30 2 11 2 3 t I V Q t y A Q Q B B B Tensão de cisalhamento no ponto C Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3434 30 cm 10 cm 2 cm 15 cm 2519 MPa 2 519 kNcm 15 15560 735 80 5 cm 1 735 cm 30 2 11 15 10 5 2 3 t I V Q t y A Q C c 13 MPa B 1 13 MPa B 1 B 2262 MPa B 2262 MPa 19 MPa C 25 Distribuição das tensões de cisalhamento
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12082021 1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Prof MSc Paulo Cesar Rodrigues RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Unidade 1 Tensões de cisalhamento em vigas e elementos de paredes finas Parte 2 14 Tensões de cisalhamento em uma viga Considere novamente uma viga com um plano vertical de simetria submetida a várias forças concentradas ou distribuídas aplicadas naquele plano figura 106 Se por meio de dois cortes verticais e um corte horizontal separarmos da viga um elemento Δx figura 112 a intensidade ΔH da força cortante exercita na face horizontal do elemento pode ser obtida da equação 106 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0234 Figura 112 Elemento de tensão CDCD x I V Q H 106 12082021 2 A tensão de cisalhamento média τméd naquela face do elemento é obtida dividindose ΔH pela área ΔA da face Como ΔA t Δx onde t é a largura do elemento no corte portanto Observase que como as tensões de cisalhamento τxy e τyx ocorrem em um plano vertical e horizontal respectivamente as mesmas são iguais e a equação 109 também representará o valor médio de τxy ao longo da linha D1D2 figura 112 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0334 109 t I Q V x t x I Q V A H méd méd Observamos que τyx 0 nas faces superior e inferior da viga pois não há forças exercidas nessas faces Concluise que τxy 0 ao longo das bordas superior e inferior da seção transversal figura 113 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0434 τméd τméd Figura 112 Elemento de tesão CDCD mostrando a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de D1 D2 Figura 113 Seção transversal da viga mostrando que a distribuição da tensão é zero nas partes superior e inferior da viga 12082021 3 15 Tensões de cisalhamento em vigas retangulares estreitas Para vigas de seção retangular de largura b e altura h onde a relação b h4 a teoria da elasticidade mostra que as tensões de cisalhamento em C1 e C2 não excede mais de 08 do valor médio da tensão calculada ao longo aa linha neutra figura 114 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0534 Figura 114 Distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da linha neutra da seção transversal da viga retangular Podemos usar a equação 108 para determinar a tensão de cisalhamento em qualquer ponto da seção transversal de vigas retangulares estreitas em que t é igual a largura b da viga e Q é o momento estático em relação à linha neutra da área sombreada A figura 115 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0634 y t I Q V xy Figura 115 Seção retangular utilizada para calcular a tensão de cisalhamento 108 12082021 4 Observando na figura 115 que a distância da linha neutra até o centróide C de A é e o momento estático é dado por o momento de inércia de uma seção transversal retangular calculado em relação ao eixo z Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0734 y c y c y y c y y 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 y c b y c y c b y A Q 3 3 3 3 2 12 2 12 b c c b b h I 110 111 112 Utilizando a equação 18 para calcular a tensão de cisalhamento temos A equação 113 mostra que a distribuição de tensões de cisalhamento em uma seção transversal de uma barra retangular é parabólica figura 116 O valor máximo da tensão de cisalhamento pode ser obtido fazendose y 0 na equação 113 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0834 2 2 3 2 2 1 2 3 3 2 2 1 c y A V b c b y b c V t I Q V xy 2 2 1 2 3 c y A V méd xy 113 A V máx 2 3 114 12082021 5 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0934 Figura 116 Distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal da viga retangular 16 Tensões de cisalhamento em vigas de perfis em forma de I ou de perfis de abas largas No caso de vigas com seção em perfil do tipo I padrão americano ou do tipo W viga de mesas largas a equação 108 pode ser usada para determinar o valor médio da tensão de cisalhamento τxy sobre uma seção aa ou bb da seção transversal dessa viga figura 117 Então onde V é a força cortante vertical t é a largura da seção na elevação considerada Q é o momento estático da área sombreada em relação à linha neutra cc e I é o momento de inércia da seção transversa inteira em relação a cc Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1034 t I Q V méd 108 12082021 6 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1134 Figura 117 Viga de mesa larga a Área para encontrar o momento estático da área da mesa b Área para encontra o momento estático da área da alma c Distribuição da tensão de cisalhamento t I Q V méd Podese construir o gráfico de τméd em função da distância y como indica a figura 117c As descontinuidades existentes nessa curva se devem à diferença entre os valores de t correspondendo respectivamente às mesas ABGD e ABGD para à alma EFFE No caso da alma a tensão de cisalhamento τxy varia muito pouco ao longo da seção bb e pode ser adotado igual ao valor médio τméd O comportamento é diferente para as abas Seja a linha horizontal DEFG a tensão τxy é zero entre D e E e entre F e G uma vez que esses dois segmentos fazem parte da superfície livre do perfil Entre E e F o valor de τxy é dado pela equação 108 com t EF Na prática considerase que todo o esforço cortante é absorvido pela alma uma boa aproximação do valor máximo da tensão de cisalhamento que é obtida por Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1234 alma máx A V 115 12082021 7 Exercícios 1 A viga mostrada na figura é feita de madeira e está sujeita a uma força de cisalhamento esforço cortante interna de V 3 kN a Determine a tensão de cisalhamento na viga no ponto P b Calcule a tensão de cisalhamento máxima na viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1334 Tensão de cisalhamento no ponto P τp τxy A tensão máxima Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1434 t I Q V p 125 cm 10 cm 5 cm 125 cm A LN P 0 3456 MPa 0 03456 kNcm 6 10 1627 187 5 3 cm 10 1627 6 cm 12 12 5 10 12 187 5 cm 10 5 3 75 2 3 3 3 3 t I Q V t b h I y A Q p 0 36 MPa 0 036 kNcm 12 5 10 3 2 3 2 3 2 A V máx 12082021 8 2 A viga AB é constituída por três peças coladas umas às outras e está submetida ao carregamento indicado na figura que atua em seu plano de simetria Sabendose que a largura de cada junta colada é de 20 mm determinar a tensão de cisalhamento média em cada junta na seção nn Ponto C é o centróide da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1534 Esforço cortante na seção nn Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1634 5 kN 1 0 1 15 0 6 15 0 4 0 R R M A A B RA RB 1 5 kN 0 15 0 V V Fy V 15 n n 1 5 kN 3 15 R 3 R 0 B A R FV 12082021 9 Momento de inércia da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1734 4 4 3 3 2 3 2 3 862 7 cm 8626672 cm 6 2 583 12 6 2 2 8 0 83 12 2 8 10 2 417 12 2 10 I I 1 2 3 517 mm Tensão de cisalhamento na junta a Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1834 t I Q V a a a A LN 0 725 MPa 0 0725 kNcm 7 2 862 5 83 4 1 cm 2 7 cm 862 83 4 cm 10 2 417 2 4 3 t I Q V t I y A Q a 12082021 10 Tensão de cisalhamento na junta b Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1934 t I Q V b b b A LN 0 608 MPa 0 0608 kNcm 7 2 862 5 69 96 1 cm 2 7 cm 862 69 96 cm 6 2 5 83 2 4 3 t I Q V t I y A Q a 3 Uma peça de máquina em forma de perfil T fica submetida a uma força atuante P 67 kN no seu plano de simetria cujo modelo estrutural esta representado abaixo onde L 38 cm Determine a a máxima tensão normal de tração e compressão na seção nn afastada do ponto A de 30 cm b a máxima tensão de cisalhamento Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2034 15 cm 10 cm 10 cm 50 cm 12082021 11 Esforço cortante e momento fletor na seção nn Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2134 38 cm n n 30 cm V M 67kN 201 kNcm 0 6 7 30 0 M 6 7 kN 0 6 7 0 M M V V Fy Centro de gravidade e momento de inércia Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2234 4 21 cm 21428 4 1 15 5 10 1 5 5 15 5 2 5 10 1 1 y A y A y cg n i i n i i i cg 4 2 3 2 3 55 03 cm 55030083 15 5 171 12 15 5 10 1 129 12 1 10 I I 15 cm 10 cm 10 cm 50 cm LN 79 cm 1 21 cm 4 x 1 2 xcg ycg 12082021 12 a a máxima tensão normal de tração e compressão na seção nn afastada do ponto A de 30 cm Nota Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2334 c I M z z máx 2 2 h I M h I M z z c máx z z t máx LN Mz Mz y cy c ty c x z máx c máx t A máxima tensão normal de tração e compressão na seção nn Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2434 2 2 6 54 kNcm 6 53807 55 03 179 201 15 38 kNcm 15 3772 55 03 4 21 201 y I M y I M t máx c máx máx t máx c n n 179 cm y c t 421 cm y c c M 12082021 13 b a máxima tensão de cisalhamento Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2534 10 79 MPa 079 kNcm 1 107872 03 15 55 7 13 29 6 1 5 cm 03 cm e 55 13 29 cm 13 293075 15 4 21 2105 2 4 3 t I Q V t I y A Q t I Q V máx máx máx 15 cm 10 cm 10 cm 50 cm LN 421 cm 4 Uma viga de madeira AB deve suportar três forças concentradas mostradas na figura Sabendo que para o tipo de madeira utilizada σmáx 12 MPa e τmáx 082 MPa determinar a altura d mínima necessária para a viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2634 125 kN 5 kN 125 kN 06 m 09 m 09 m 06 m 3 m 9 cm 12082021 14 Diagramas esforço cortante e momento fletor Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2734 RA RB 15 kN 15 kN 30 15 30 30 0 15 kN 45 3 0 5 15 12 5 0 6 3 12 5 2 4 0 A B A B B A A A B R R R R R F R R R M y 9 kNm 9 kNm 1125 kNm M x 1 2 1 2 1 2 Diagramas Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2834 15 5 12 5 12 5 15 15 kN 5 12 5 12 5 15 2 5 kN 5 12 5 15 2 5 kN 5 12 5 15 2 5 kN 12 5 15 2 5 kN 12 5 15 kN 15 KN 15 2 1 2 1 2 1 V V V V V V V V B E E D D C C A 0 5 15 12 5 0 6 3 12 5 2 4 15 9 kNm 5 0 9 2 4 12 5 18 15 1125 kNm 15 12 5 0 9 15 9 kNm 0 6 15 0 M M M M M B E D C A V V 12082021 15 σmáxc σmáxt y LN Mmáx σ y y Cálculo da altura d através da tensão normal admissível Mmáx 1125 kNm Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2934 2 4 3 12 1125 kNcm 25 kNm 11 12kNcm MPa 12 3 3 2 d y d b d I M y I M máx máx máx t c máx 25 cm 2 3 12 1125 2 3 1125 12 2 4 3 1125 12 2 2 3 d d d d d b 9 cm 2 d y Cálculo da altura d através da tensão de cisalhamento admissível Vmáx 15 kN Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3034 b 9 cm 2 d y 8 9 4 2 9 cm 9 4 3 12 kN 15 0 082 kNcm 82 MPa 0 2 3 3 2 d d d y A Q b t d b d I V t I Q V máx máx máx 31 cm Portanto 30 49 cm 4 0 082 27 8 135 9 4 3 8 9 15 0 082 3 2 d d d d d A 12082021 16 5 Uma viga de abas largas em aço tem as dimensões mostradas na figura Se for submetida a uma força de cisalhamento V 80 kN Trace uma curva da distribuição de tensão de cisalhamento que age na área da seção transversal da viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3134 Momento de inércia da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3234 4 3 2 3 2 1 15560 cm 12 15 20 30 2 11 12 30 2 2 2 I I I Somente nos pontos B B e C as tensões de cisalhamento devem ser calculados t I Q V méd 12082021 17 Tensão de cisalhamento no ponto B Tensão de cisalhamento no ponto B Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3334 113 MPa 0113 kNcm 30 15560 660 80 cm 30 660 cm 30 2 11 2 3 t I Q V t y A Q B B 30 cm 10 cm 2 cm 30 cm 10 cm 2 cm 22 62 MPa 2 262 kNcm 15 15560 660 80 5cm 1 660 cm 30 2 11 2 3 t I V Q t y A Q Q B B B Tensão de cisalhamento no ponto C Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3434 30 cm 10 cm 2 cm 15 cm 2519 MPa 2 519 kNcm 15 15560 735 80 5 cm 1 735 cm 30 2 11 15 10 5 2 3 t I V Q t y A Q C c 13 MPa B 1 13 MPa B 1 B 2262 MPa B 2262 MPa 19 MPa C 25 Distribuição das tensões de cisalhamento