Transformações de Tensões em Resistência dos Materiais II

02092021 1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Prof MSc Paulo Cesar Rodrigues RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Unidade 2 Transformações de Tensões 21 Estado geral de tensão Consideremos um corpo onde estão aplicadas várias forças F1 F2 F3 e F4 figura 201 Estudamos em Resistência dos Materiais I as condições de tensões em um ponto Q do interior do corpo causadas pelo carregamento Passamos uma seção pelo ponto Q por intermédio de um plano yz A porção do corpo que fica à esquerda da seção está sujeita à ação de algumas das forças aplicadas inicialmente e das forças normais e cortantes distribuídas na seção figura 202 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0268 F1 F2 F3 F4 Q Figura 201 Várias carga em um corpo 02092021 2 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0368 ΔFx F1 F1 F3 F3 ΔFy ΔFz ΔF ΔV Figura 202 a Resultantes das forças cortante e normal ΔV e ΔF atuando sobre uma pequena área ΔA no ponto Q b Forças em ΔA solucionadas em forças nas direções coordenadas a b Figura 203 Componentes de tensões no ponto Q no corpo à esquerda do plano Para um elemento de área ΔA que contém o ponto Q definimos as três componentes de tensão Usamos o primeiro índice em σx τxy e τxz para indicar que as tensões consideradas agem em uma superfície perpendicular ao eixo x O segundo índice serve para indicar a direção da componente figura 203 A tensão normal σx é positiva se o sentido do vetor que a representa coincide com o sentido do eixo x Assim σx será positiva quando o corpo estiver tracionado e negativo quando estiver comprimido Do mesmo modo as componentes da tensão de cisalhamento τxy e τxz serão consideradas positivas quando seus correspondentes vetores tiverem sentido coincidente com o sentido positivo do eixo y ou z Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0468 A F lim A F lim A F lim z A xz y A xy x A x 0 0 0 e 201 02092021 3 A mesma análise pode ser feita se tomarmos a porção direita do corpo dividido pelo plano vertical figura 204 As tensões obtidas serão de mesma intensidade mas de sentidos contrários em relação ao caso estudado acima A seção transversal está voltada para o lado negativo do eixo x de modo que σx terá sinal positivo quando seu vetor tiver sentido contrário ao do eixo x Do mesmo modo τxy e τxz serão positivas quando seus correspondentes vetores tiverem sentido contrário ao sentido positivo do eixo y ou x Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0568 Figura 204 Componentes de tensões no ponto Q no corpo à direita do plano Se passarmos pelo ponto Q uma seção paralela ao plano xz definimos as componentes σy τyz e τyx Ao passarmos pelo ponto Q uma seção paralela ao plano xy obteremos as componentes σz τzx e τzy O estado geral de tensões no ponto Q pode ser visualizado por um pequeno cubo com centro no ponto Q com as componentes que aparecem em cada uma das seis faces do cubo figura 205 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0668 Figura 205 Componentes de tensões positivas no ponto Q 02092021 4 22 Estado plano de tensões O estado plano de tensões tensões planas são situações em que duas das faces do cubo elementar se encontram isentas de tensão isto é σz τzx τzy 0 e as únicas componentes de tensão são σx σy e τxy figura 206 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0768 Figura 206 Componentes de tensões não nulas no estado plano de tensões Exemplo na prática Placa fina submetida a forças atuando no plano médio da espessura da placa figura 207 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0868 Figura 207 Exemplo de estado plano de tensão placa fina submetida apenas a forças no plano 02092021 5 Para o estado plano de tensão queremos determinar as componentes de tensão σx σy e τxy referentes ao cubo elementar que foi rodado de um ângulo em torno do eixo z figura 208 expressando essas componentes em função de σx σy e τxy e Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0968 Figura 208 Estado plano de tensão a representado por xyz b representado por xyz a b Consideremos o prisma elementar de faces perpendiculares aos eixos x y e x figura 209 O cálculo das componentes das forças em relação aos eixos x e y são Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1068 0 0 0 0 sen A sen cos sen A cos A cos sen A cos A F cos A sen sen sen A sen A cos cos A cos A F xy y xy x x y y xy y xy x x x Figura 209 Elemento prismático em forma de cunha 202 203 02092021 6 Das equações 202 e 203 isolamos σx e τxy respectivamente Sejam as relações trigonométricas abaixo Usando as relações trigonométricas podemos reescrever as equações de σx e τxy equações 204 e 205 respectivamente portanto Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1168 2 2 2 2 2 sen cos cos sen cos sen sen cos xy y x y x xy y x x 2 2 1 e en 2 2 1 2 e 2 2 2 2 2 2 cos s cos cos sen cos cos cos sen sen 2 2 2 2 2 2 2 cos sen sen cos xy y x y x xy y x y x x 204 205 206 207 Para determinar a componente de tensão σy usaremos a expressão de σx equação 206 e substituímos por 90 o que é o ângulo formado por y e x Portanto cos 2 e sen 2 fica e substituindo na equação 206 temos σy Concluímos que as equações 206 207 e 208 permitem determinar as tensões normais e tangenciais para qualquer estado de tensão sendo conhecidas as tensões normais σx e σy a tensão tangencial τxy e o ângulo em que se deseja o plano de tensões Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1268 2 2 2 2 sen cos xy y x y x y 2 180 2 2 2 180 2 2 sen sen sen cos cos cos o o 208 02092021 7 Exercícios 1 O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na figura Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação a posição mostrada Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1368 B C D A Pela convenção de sinais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1468 B C D A o xy y x 30 MPa 25 MPa 50 MPa 80 A 02092021 8 Componentes de tensão o plano CD Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1568 6879 MPa 2 30 25 2 30 2 50 80 2 2 2 2585 MPa 2 30 25 2 30 2 50 80 2 50 80 2 2 2 2 cos sen cos sen sen cos sen cos y x xy y x y x x xy y x y x x σx 2585 MPa τxy 6879 MPa Componentes de tensão o plano BC Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1668 6879 MPa 260 25 260 2 50 80 2 2 2 415 MPa 260 25 260 2 50 80 2 50 80 2 2 2 2 cos sen cos sen sen cos sen cos y x xy y x y x x xy y x y x x σx 2585 MPa τxy 6879 MPa τxy 6879 MPa σy 415 MPa 02092021 9 2 O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento Determine as componentes de tensão que agem no plano inclinado AB face oblíqua do triângulo sombreado usando as equações de transformação de tensão Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1768 5 MPa 8 MPa 3 MPa Componentes de tensão o plano AB Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1868 0404 MPa 2130 8 2130 2 3 5 2 2 2 405 MPa 2 1 30 8 2 1 30 2 3 5 2 3 5 2 2 2 2 cos sen cos sen sen cos sen cos y x xy y x y x x xy y x y x x o o o xy y x 130 40 90 MPa 8 MPa 3 MPa 5 x x 405 MPa xy 0404 MPa 02092021 10 23 Tensões principais e tensão de cisalhamento máxima Para a Resistência dos Materiais o interesse é na determinação dos maiores valores possíveis das tensões Inicialmente vamos determinar os planos em que as tensões máximas atuam para isso vamos eliminar entre as equações 206 e 207 Para isso transpomos para o primeiro membro da equação 206 o termo σx σy2 elevando ao quadrado os dois membros da equação Em seguida quadramos os dois membros da equação 207 somando membro a membro as duas expressões obtidas dessa forma obtemos a equação 209 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2068 2 2 2 2 2 2 2 cos sen sen cos xy y x y x xy y x y x x 206 207 Portanto Definindo Substituindo as equações 210 em 209 obtemos na forma Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2168 2 2 2 2 2 2 xy y x y x y x x 2 2 2 e 2 xy y x y x med R 2 2 2 R y x med x 209 210 211 02092021 11 A equação 211 é a equação de uma circunferência de raio R com centro no ponto C de abscissa σmed e ordenada 0 isto é C σmed 0 Se adotarmos um sistema de eixo coordenados e marcarmos o ponto M de abscissa σx e ordenada τxy para qualquer valor do parâmetro vamos sempre obter um ponto que se encontra em uma circunferência figura 210 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2268 σmin σmed σmáx Figura 210 Relação circular das tensões transformadas No gráfico Ponto A tensão normal máxima σmáx Ponto B tensão normal mínima σmin Nos pontos A e B é nulo o valor da tensão de cisalhamento τxy O valor de p do parâmetro que corresponde ao ponto A e B pode ser obtido da equação 207 fazendo τxy 0 Esta equação define dois valores 2p com diferença de 180o ou dois valores de p com diferença de 90o Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2368 y x xy p xy y x x y tan cos sen 2 2 0 2 2 2 212 02092021 12 Qualquer um dos dois valores de p pode ser usado na determinação da orientação do cubo elementar correspondente As faces do cubo elementar definem planos chamados planos principais no ponto Q As tensões normais σmáx e σmin que agem nesses planos são chamadas tensões principais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2468 Figura 211 Tensões principais Analisando a figura 210 podemos escrever Substituindo as equações 210 nas equações 213 podemos escrever Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2568 R σ σ R σ σ med min med máx 2 2 2 2 xy y x y x máxmin σmin σmed σmáx Figura 210 Relação circular das tensões transformadas 213 214 02092021 13 Analisando novamente o círculo da figura 210 os pontos D e E correspondem ao maior valor da tensão de cisalhamento τxy Os valores de c do parâmetro que correspondem a esses pontos podem ser obtidos substituindo σx por σx σy2 na equação de σx equação 206 para c Escrevemos Portanto Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2668 2 2 2 2 sen cos xy y x y x x 206 2 2 2 2 2 sen cos xy y x y x y x xy y x c tan 2 2 215 Esta equação define dois valores 2c com diferença de 180º ou dois valores de c com diferença de 90º Qualquer um dos dois valores de c pode ser usado na determinação da orientação do elemento que correspondente à tensão de cisalhamento máxima figura 212 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2768 Figura 212 Tensão de cisalhamento máxima 02092021 14 Na figura 210 a tensão de cisalhamento máxima é igual ao raio R da circunferência portanto Ao contrário do que ocorre nos planos principais onde as tensões de cisalhamento não ocorrem os planos onde as tensões de cisalhamento máximas atuam poderão atuar também tensões normais Analisando a figura 210 vemos que os pontos D e E localizados no diâmetro vertical do círculo correspondente ao maior valor da tensão de cisalhamento τxy Os pontos D e E tem a mesma abscissa σméd A tensão normal que corresponde à condição de tensão máxima de cisalhamento é Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2868 2 2 2 xy y x máx τ σ σ τ 2 y x med σ σ σ σ 216 217 Exercícios 1 Para o estado plano de tensão mostrado determine a os planos principais b as tensões principais c a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal correspondente Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2968 02092021 15 a Planos principais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3068 o o o p o p o p y x xy p xy y x tan 116 6 26 6 90 6 e 26 531 2 60 80 10 50 2 40 2 2 MPa 40 MPa 10 MPa 50 b Tensões principais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3168 30 MPa 50 20 70 MPa 50 20 50 20 40 2 10 50 2 10 50 2 2 2 2 2 2 min máx min máx min máx xy y x y x min máx 02092021 16 c Tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal correspondente Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3268 50 MPa 40 2 10 50 2 2 2 2 2 xy y x máx τ σ σ τ o o o c o c o c xy y x c tan 715 18 5 90 5 e 18 36 9 2 80 60 40 2 10 50 2 2 20 MPa 2 10 50 2 y x med σ σ σ σ 185o 2 O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é mostrado no elemento na figura abaixo Represente esse estado de tensão em termos das tensões principais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3368 02092021 17 a Planos principais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3468 o o o p o p o p y x xy p xy y x tan 66 3 23 7 90 7 e 23 47 49 2 110 120 90 20 2 60 2 2 MPa 60 MPa 90 MPa 20 b Tensões principais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3568 σmáx 11639 MPa σmin 4639 MPa 4639 MPa 8139 35 116 39 MPa 8139 35 8139 35 60 2 90 20 2 90 20 2 2 2 2 2 2 min máx min máx min máx xy y x y x min máx 46 39 MPa 2 237 60 2 237 2 90 20 2 90 20 2 2 2 2 sen cos sen cos x xy y x y x x 02092021 18 3 O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo é mostrado no elemento na figura abaixo Represente esse estado de tensão como a tensão de cisalhamento máximo no plano e a tensão normal média associada Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3668 MPa 60 MPa 90 MPa 20 xy y x Tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal correspondente Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3768 81 4 MPa 60 2 90 20 2 2 2 2 2 τ σ σ τ xy y x máx o o o c o c o c xy y x c tan 1113 213 90 3 e 21 42 5 2 120 110 60 2 90 20 2 2 35 MPa 2 90 20 2 y x med σ σ σ σ 02092021 19 4 Uma única força horizontal P de 670 N de magnitude é aplicada a extremidade D da alavanca ABD Determine a as tensões normal e de cisalhamento em um elemento no ponto H com lados paralelos aos eixos x e y b os planos e tensões principais no ponto H Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3868 Sistema de força e momento no centro C da seção transversal que contém o ponto H Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3968 16750 Ncm 25 670 30820Ncm 46 670 N 670 M x T P 02092021 20 Tensões no ponto H Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4068 58 1MPa 5 81 kNcm 5 1 5 1 82 30 63 2MPa 6 32 kNcm 5 1 5 1 750 16 0 2 4 2 1 2 4 4 1 J c T c I M xy y x Planos principais e tensões principais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4168 o o o p o p o p y x xy p tan 59 2 30 8 90 8 e 30 615 2 2 63 2 116 63 2 0 2 581 2 2 346 MPa 66 2 6 31 97 8 MPa 66 2 316 66 2 6 31 58 2 2 63 2 0 2 632 0 2 2 2 2 2 2 min máx min máx min máx xy y x y x min máx σmáx 978 MPa σmin 346 MPa 308o 02092021 21 5 A viga mostrada está sujeita ao carregamento distribuído w 120 kNm Determine as tensões principais na viga no ponto P que se encontra na parte superior da alma Despreze o tamanho dos filetes e as concentrações de tensão nesse ponto Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4268 Cálculo dos esforços internos no ponto P Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4368 120 kN 240 120 240 R 0 120 kN 2 240 0 240 1 2 0 A B A R R F R R M V B B A RA RB 3060 kNcm 306 kNm 0 36 15 120 30 0 M 84 kN 0 36 120 0 M M V V FV 02092021 22 Cálculo das tensões Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4468 35 2 MPa 352 kNcm 35152 5 1 6743 282 2 84 45 4 MPa 4 54 kNcm 4 5377 5 6743 10 3060 2 2 It VQ y I M 4 4 3 2 3 6743 5 cm 67435416 cm 12 1 20 17 5 15 10 75 12 17 5 15 2 I I 282 2cm3 2821875 17 5 15 10 75 y A Q Mz y 2c 1c x máx c máx t P Planos principais e tensões principais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4568 64 6 MPa 419 7 22 19 2 MPa 419 22 7 419 7 22 35 2 2 0 4 45 2 0 4 45 2 2 613 28 7 90 7 e 28 57 3 2 2 45 4 70 0 4 45 2 35 2 2 2 2 2 2 2 tan min máx min máx min máx xy y x y x min máx o o o p o p o p y x xy p 64 6 MPa 2 287 35 2 2 287 2 0 4 45 2 0 4 45 2 2 2 2 sen cos sen cos x xy y x y x x 02092021 23 24 Circulo de Mohr para o estado plano de tensões Um método bastante útil para a avaliação de como variam as componentes da tensão com a orientação do plano da seção é o método gráfico de Mohr que ao analisar as equações 206 e 207 reescreveuas na forma A equação 209 pode ser escrita de uma forma mais compacta como Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4668 2 2 2 2 2 2 2 cos sen sen cos xy y x y x xy y x y x x 2 2 2 2 2 2 xy y x y x y x x 2 2 2 R y x med x 206 207 209 211 onde Esta equação 210 representa um círculo de raio R e centro no ponto C σmed 0 Esse círculo é denominado Círculo de Mohr porque foi desenvolvido pelo engenheiro alemão Otto Mohr Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4768 2 2 2 e 2 xy y x y x med R σmin σmed σmáx 210 Figura 213 Relação circular das tensões transformadas 02092021 24 Traçado do Círculo de Mohr 1 Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ com sentido positivo para a direita e a ordenada represente a tensão de cisalhamento τ com sentido positivo para cima Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4868 2 A partir das tensões σx σy e τxy indicadas pelo elemento marcamse os pontos σx τxy e σy τxy sendo que as tensões de tração são sempre positivas O sinal para a tensão tangencial fica resolvida adotandose a seguinte convenção marcar τxy para cima positivo caso o sentido de giro seja horário e para baixo negativo caso seja anti horário Figura 214 Convenção de sinais 3 Unindo tais pontos obtemos a posição do centro do círculo C sobre o eixo da tensão normal σ Com auxílio de um compasso passando pelos dois pontos considerados traçase o círculo 4 A interseção do círculo com o eixo das abscissas determinam os pontos A e B tensões normais extremas σmáx e σmin Observe que as tensões de cisalhamento são nulas nesses pontos Um eixo paralelo ao eixo das ordenadas passando pelo centro determina a tensão máxima de cisalhamento τmáx Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4968 τmax τmax Figura 215 Círculo de Mohr 02092021 25 5 Observando que o ângulo 2 aparece traçado no gráfico definese um ponto da circunferência denominado pólo do qual irradiam as direções normais aos planos onde atuam as diversas tensões cujos valores correspondem às coordenadas do outro traço com a circunferência Assim o pólo P é obtido traçandose uma linha na direção do eixo x passante pelo ponto do círculo correspondente ao par de tensões ocorrentes no plano x da mesma forma seria o ponto obtido utilizando a direção y As direções principais 1 e 2 são obtidas traçando a partir do pólo linhas que passam pelos pontos representativos das tensões σmáx e σmin Procedimentos análogos permitiriam obter as orientações dos planos onde a tensão tangencial é máxima τmáx Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5068 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5168 y x y x 2 1 max min xy τ 2 y x xy τ max τ τ min max y xy τ xy τ x max τ max τ med med 2 2 y x xy p tan P 02092021 26 Para resolver os problemas de transformações de tensão usando o círculo de Mohr os procedimentos acima descritos podem ser aplicados graficamente Recomendase que os cálculos trigonométricos dos valores críticos sejam usados juntamente com a construção gráfica Então o trabalho pode ser efetuado em um esquema simples sem uso de escala tanto para distâncias como para ângulos e os resultados serão precisos Usando o círculo de Mohr dessa maneira equivale a aplicar as equações básicas da transformações de tensão Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5268 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5368 02092021 27 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5468 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5568 02092021 28 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All 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Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 6268 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 6368 02092021 32 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 6468 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 6568 02092021 33 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 6668 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 6768 02092021 34 Orientação dos planos principais Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Transformações de Tensões Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 6868 max 50 MPa max 50 MPa 0 1 1843 c 0 2 57 c 71 0 1 57 p 26 0 2 57 p 116