Tensões de Cisalhamento em Vigas e Elementos de Paredes Finas

05082021 1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Prof MSc Paulo Cesar Rodrigues RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Unidade 1 Tensões de cisalhamento em vigas e elementos de paredes finas Parte 1 11 Carregamento transversal em barras prismáticas Um exemplo mais comum de carregamento transversal ocorre quando uma barra horizontal viga é submetida a um carregamento vertical As cargas podem ser concentradas ou distribuídas ou pode ser uma combinações de ambas Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0256 Figura 101 Vigas com carregamento vertical a c b 10kNm 5 m 05082021 2 Seja a viga em balanço AB figura 102 passando uma seção S transversal em C e considerando o equilíbrio do corpo livre formado pela porção AC Verificamos que as forças internas que atuam em AC devem ser equivalentes a um força cortante V de intensidade V P e a um momento M de valor M P x equações 101 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0356 P P V M C B A A C L x S P x M P x M M P V P V Fv 0 0 0 0 Figura 102 Viga em balanço 101 Notamos que o momento fletor M é negativo e o sinal do esforço cortante é negativa quando a força V está direcionada para baixo Em Resistência dos Materiais I estudamos que o carregamento transversal aplicado em uma viga resultará em tensões normais σ e de tensões de cisalhamento τ nas seções transversais Para escrever que as forças elementares normais e cortantes que atuam na seção são equivalentes à força cortante V e ao momento fletor M podemos escrever seis equações equações 102 Na figura 103 mostra a seção transversal da viga e um cubo elementar com a distribuição de tensões normais e de cisalhamento Se tomarmos um cubo elementar localizado no plano vertical de simetria da viga onde τxz deve ser nula em cada face do elemento perpendicular ao eixo x estão atuando a tensão σx e a tensão de cisalhamento τxy Quando as tensões de cisalhamento τxy atuam nas faces verticais de um elemento aparecem tensões de mesmo valor nas faces horizontais desse elemento Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0456 05082021 3 As equações são Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0556 0 0 dA F V dA F dA F xz z xy y x x M dA y M dA z M dA z y M x z x y xy xz x 0 0 z y Figura 103 Todas as tensões nas áreas elementares a são somadas para fornecer a força cortante V e o momento fletor M Figura 104 Estado de tensões em elemento de uma seção de viga sob carregamento transversal 102 a b Concluímos que existem tensões de cisalhamento longitudinais em qualquer barra submetida a carregamentos transversais Isso pode ser verificado se considerarmos uma viga em balanço constituída por várias placas superpostas ligadas à mesma extremidade fixa figura 105 Quando a carga P é aplicada as placas deslizam uma sobre a outra Se a mesma viga composta de várias placas for submetida a um momento fletor aplicado na extremidade livre as placas vão se deformar segundo arcos de circunferência concêntricos e não sofrerão deslizamento relativo Isso mostra que não ocorrem tensões de cisalhamento em uma viga sujeita a flexão pura Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0656 Figura 105 05082021 4 12 Força cortante na face horizontal de uma viga Seja a viga AB com um plano vertical de simetria submetida a dois carregamentos concentrados P1 e P2 e distribuído p com seção transversal conforme figura 106 A uma distância x da extremidade A foi extraído um elemento CDCD de comprimento Δx que se estende por sua largura desde a sua superfície até um plano horizontal a uma distância y1 da linha neutra LN figura 107 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0756 p Figura 106 Viga sob carregamento transversal com plano vertical de simetria As forças exercidas nesse elemento consistem em forças cortantes verticais VC e VD uma força constante horizontal ΔH aplicada na face inferior do elemento forças elementares horizontais normais σC dA e σD dA e uma força p Δx conforme figura 108 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0856 x y z A y LN c Elemento CDCD em perspectiva a Vista lateral b Seção transversal Δx D D H Δx A Figura 107 Pequeno segmento da viga com o elemento da tensão CDCD 05082021 5 A equação de equilíbrio para as forças horizontais direção x é Na qual a integral se estende sobre a área A sombreada da seção localizada acima da linha y y1 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 0956 0 0 0 A D C A D A C x dA σ σ ΔH dA σ dA σ ΔH F y z A y LN p H VC VD cg cg Figura 108 Forças aplicadas no elemento CDCD 103 Resolvendo a equação para o valor de ΔH na equação anterior e usando a equação das tensões normais σx MyI para escrever as tensões normais em função dos momentos fletores em C e D chegase a A integral da equação 104 representa o momento estático Q em relação à linha neutra LN da parte sombreada de área A da seção transversal da viga que está localizada acima da linha y y1 e vale A y sendo y a posição do centro de gravidade da área A Utilizando a relação entre momento fletor e esforço cortante derivada do momento é o cortante podese reescrever o incremento ao momento entre C e D como Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1056 c y y y C D A C D y dA I M M F y dA I M M F 1 x V x dx dM M M M C D 104 105 05082021 6 Substituindo a equação 103 na equação 104 chegase a expressão para o esforço cortante horizontal O mesmo resultado teria sido obtido se tivéssemos utilizado como corpo livre o elemento CDCD em lugar do elemento CDCD figura 109 visto que as forças ΔH e ΔH que atuam nos dois elementos são iguais e opostas pois uma é reação da outra Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1156 x I V Q H Q I x V y dA I M M H c y y y C D 1 106 Figura 109 Pequeno segmento da viga com o elemento da tensão CDCD LN Δx A Isso nos leva a observar que o momento estático Q da parte A da seção transversal localizada abaixo da linha y y1 figura 109 é igual em intensidade e oposto em sinal ao momento estático da parte A localizada acima da linha figura 107 Sem dúvida a soma desses dois momentos é igual ao momento estático da seção transversal inteira em relação ao seu eixo que passa pelo centro de gravidade e portanto deve ser zero Essa propriedade às vezes pode ser usada para simplificar o cálculo de Q Notamos também que Q é máximo para y1 0 pois os elementos da seção transversal localizados acima da linha neutra contribuem positivamente para a integral na equação 104 que define Q enquanto os elementos localizados abaixo da linha contribuem negativamente Dividindo os dois membros da relação por Δx Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1256 I Q V x H x x I Q V x H 107 05082021 7 Nesta equação ΔHΔx representa a força cortante horizontal por unidade de comprimento ou fluxo de cisalhamento representada pela letra q Podemos escrever então que Lembrando que Q A y momento estático em relação à linha neutra da parte seção transversal localizada acima ou abaixo do ponto no qual q está sendo calculado V força de cisalhamento ou força cortante interna resultante determinada pelo método das seções e equações de equilíbrio I momento de inércia de toda a área da seção transversal calculado em torno da linha neutra LN Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1356 I V Q q 108 13 Fluxo de cisalhamento em estruturas compostas por vários elemento Na prática da engenharia às vezes são construída estruturas compostas por várias partes para se obter maior resistência à cargas figura 110 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1456 Figura 110 Estruturas compostas por várias partes 05082021 8 Se as cargas provocarem flexão nas partes componentes pode ser necessário utilizar elementos de fixação como pregos parafusos material de soldagem ou cola para evitar o deslizamento relativos dessas partes Para projetar esses elementos de fixação é preciso conhecer a força de cisalhamento q à qual eles devem resistir ao longo do comprimento da estrutura Portanto através da equação do fluxo de cisalhamento ou da força cortante horizontal por unidade de comprimento é possível dimensionar ou a verificação da fixação desses elementos O valor do fluxo de cisalhamento de qualquer seção longitudinal de uma viga pode ser obtido por um procedimento semelhante ao usado para determinar o fluxo de cisalhamento em uma viga seção 12 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1556 I V Q q 108 É muito importante identificar corretamente o valor adequado do momento estático Q na determinação do fluxo de cisalhamento q em uma junção particular da seção transversal de uma estrutura composta Os exemplos da figura 111 servem para ilustrar como isto é feito Considere as seções transversais da viga mostrada na figura 111 As partes constituintes sombreadas estão presas às vigas por elementos de fixação por exemplo pregos Nos planos da conexão o fluxo de cisalhamento necessário q é determinado usandose um valor de Q calculado a partir de A e y indicados em cada figura Nas figuras a e b o valor de q encontrará a resistência de um único elemento de fixação na figura c de dois elementos de fixação e figura d de três elementos de fixação Nas figuras a e b o elemento de fixação suporta o valor calculado de q na figura c cada elemento de fixação suporta q2 e na figura d cada elemento de fixação suporta q3 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1656 05082021 9 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1756 a b c d Figura 111 Estruturas compostas por várias partes Notas Baricentro de uma superfície composta Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1856 n i i n i i i cg n i i n i i i cg A y A y A x A x x 1 1 1 1 y e 05082021 10 Momento de Inércia Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 1956 A y A x dA x I dA y I 2 2 e Teorema de Steiner Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2056 2 2 x y y y x x A d I I A d I I cg cg xcg x y ycg A 05082021 11 Momentos de inércia de figuras geométricas comuns Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2156 3 e 3 12 e 12 3 3 3 3 h b I b h I h b I b h I y x y x x x y y C b h x x 12 36 3 3 b h I b h I x x Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2256 4 4r I I y x 8 4r I I y x 05082021 12 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2356 16 4r I I y x 4 4 3 3 b a I a b I y x Exercícios 1 Uma viga é feita de três pranchas de madeira pregadas juntas conforme figura Sabendo que o espaçamento entre os pregos é de 25 mm e que o cisalhamento vertical da viga é V 500 N determine a força cortante em cada prego Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2456 05082021 13 Força cortante em cada prego F Momento de inércia da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2556 I V Q q q s F 2 1 I 2 I I 4 4 3 2 4 2 3 1 1620 1cm 166 7 726 7 2 166 7 cm 166 666 12 10 2 726 7 cm 726 666 10 2 6 12 2 10 I I I V 500 N e s 25 mm 25 cm 1 2 1 LN Momento estático Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2656 A y 6 N 92 92 6 N 92 575 37 03 2 5 37 03 Ncm 37 0347 1 1620 120 500 120 cm 10 2 6 3 F q s F I V Q q y A Q LN 05082021 14 Momento estático em relação à linha neutra utilizando a parte da seção transversal localizada abaixo do ponto no qual q está sendo calculado Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2756 6 N 92 92 6 N 92 575 37 03 2 5 37 03 Ncm 1 1620 120 500 120 cm 25 120 25 120 cm 10 2 6 25 cm 2 5 2 5 25 cm 2 5 2 5 3 3 2 1 3 3 3 2 3 1 F q s F I V Q q Q Q Q Q y A Q y A Q y A Q A y LN 1 2 3 2 A viga é constituída com duas tábuas presas uma à outra na parte inferior e na parte superior por duas fileiras de pregos espaçados de 150 mm conforme figura Se cada prego puder suportar uma força de cisalhamento de 25 kN determinar a força de cisalhamento máxima V que pode ser aplicada à viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2856 05082021 15 Força cortante em cada prego Força cortante máxima na viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 2956 V I V Q q q s F 2 2 2 kN 1875 1250 033 1250 cm 12 10 15 12 0 33 kNcm 0 3333 15 2 2 5 2 2 187 5 cm 15 5 2 5 4 3 3 3 Q q I V I V Q q b h I s F q q s F y A Q F 25 kN e s 150 mm 15 cm 15 cm 10 cm LN A 1 Uma viga caixão quadrada de madeira é construída de quatro pranchas de madeira fixadas através de pregos conforme figura Sabendo que o espaçamento entre os pregos é de 30 mm e que a viga está submetida a um esforço cortante vertical V 1200 N determine a força de corte em cada prego Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3056 05082021 16 Força cortante em cada prego F Momento de inércia da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3156 I V Q q q s F 2 4 2 3 2 4 3 1 4 2 1 4 3 3 405 3cm 8 2 5 12 2 8 288 cm 12 12 2 1386 6 cm 2 405 3 2 288 2 2 ou 1386 7 cm 1386 666 12 8 8 12 12 12 I I I I I I V 1200 N e s 30 mm 3 cm 1 1 2 2 Momento estático Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3256 8 N 103 103 8 N 103845 3 2 69 23 2 69 23 Ncm 69 2291 7 1386 80 1200 80 cm 8 2 5 3 F q s F I V Q q y A Q A y 05082021 17 2 A viga é composta por quatro tábuas coladas Se for submetida a um cisalhamento V 850 kN determine o fluxo de cisalhamento em B e C ao qual a cola deve resistir Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3356 Centro de gravidade Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3456 19 68 cm 19 6794 12 5 1 30 2 1 1 25 12 5 1 20 5 30 15 2 1 1 30 5 25 1 1 y A y A y cg n i i n i i i cg x LN ycg 1 2 2 3 05082021 18 Momento de inércia da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3556 x LN ycg 1968 cm 1 2 2 3 4 3 2 1 4 2 3 3 4 2 3 2 4 2 3 1 5 cm 8752 2 29071 9 4 2928 9 2 9 4 cm 12 5 1 0 82 12 5 1 12 2907 1cm 1 30 4 68 12 30 1 2928 9 cm 25 1 10 82 12 1 25 I I I I I I I I 1132 cm Fluxo em B e C Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3656 0 4975 kNcm 2 995 0 2 0 995 kNcm 5 8752 10 25 850 13135 kNcm 2 27 26 2 26 27 kNcm 5 8752 270 5 850 10 25 cm 12 5 1 0 82 270 5 cm 25 1 10 82 3 3 q qC I V Q q q qB I V Q q y A Q y A Q C C C B B B C C B B LN yB yC 1968 cm 1132 cm 05082021 19 3 O perfil de aço laminado S310x52 da figura é reforçado com duas placas de 16x200 mm e constitui a seção transversal de uma viga Usando parafusos de 18 mm de diâmetro e espaçados longitudinalmente de 120 mm e sabendose que a tensão de cisalhamento admissível nos parafusos é de 90 MPa determinar a maior força cisalhante vertical permissível Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3756 Perfil S310x52 Área 774 cm2 Altura 305 cm Largura 133cm Ix 953x102 cm4 Determinar a maior força cisalhante vertical permissível no perfil reforçado por duas chapas V Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3856 16 cm 16 cm 305 cm 1525 cm 133 cm 20 cm LN τmáx 90 MPa 9 kNcm2 d 18 mm 18 cm s 120 mm 12 cm parafuso adm A F q s F V Q q I V I V Q q 2 05082021 20 Momento de inércia da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 3956 16 cm 16 cm 305 cm 1525 cm 133 cm 20 cm 1 1 2 LN 4 2 4 2 2 4 2 3 1 2 1 26030 2 cm 82501 95 3 10 2 95 3 10 cm I 8250 1cm 82501066 20 16 16 05 12 16 20 I 2 I I I I Força no parafuso fluxo de cisalhamento momento estático e força cortante Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4056 6 kN 193 193 6 kN 193 6046 6 513 82 26030 2 3 513 6 cm 16 16 05 20 382 kNcm 38166 12 2 22 9 2 q 2 22 9 kN 22 8906 4 314 18 9 4 3 2 2 V Q q I V A y Q s F q s F F d A F A F parafuso adm parafuso adm parafuso adm 05082021 21 4 Pregos com resistência ao cisalhamento total de 40 kN são usados em uma viga que pode ser construída de dois modos Caso I e Caso II Se os pregos forem espaçamentos de 9 cm determine o maior cisalhamento que pode ser suportado em cada caso de modo que os elementos de fixação não falhem Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4156 Momento de inércia das seções transversais e momento estático Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4256 3375 cm3 3 0 5 2 25 y A QI 1125 cm3 1 05 2 25 y A QII 4 3 2 3 20 58 cm 5833 20 12 1 4 3 0 5 2 25 12 3 0 5 2 I I Caso I Caso II 05082021 22 Maior cisalhamento que pode ser suportado em cada caso V Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4356 27 07 kN 27 0741 375 3 44 20 58 4 4 44 kNcm 4 444 9 40 Q q I V s F q q s F 2058 cm4 I 8122 kN 812224 125 1 44 20 58 4 4 44 kNcm 4 444 9 40 Q q I V s F q q s F Caso I Caso II 5 Para a viga abaixo com seção transversal retangular de 65 x 32 mm composta de três tábuas pregadas juntas e espaçamento entre cada um dos pares de pregos é de 105 mm conforme figura Determinar a força cortante em cada prego na seção transversal considerando o esforço de cisalhamento máximo da viga Desconsiderar o peso próprio da viga de madeira Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4456 05082021 23 Diagramas esforço cortante e momento fletor Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4556 RA RE 33 33 kN 33 33 kN 56 67 90 90 90 0 56 67 kN 204 3 6 0 40 18 30 2 4 20 3 3 6 0 A R R R R R F R R R M E A E E A A A E V A B C E D 5667kN 3333 kN 1 2 1 2 1 2 V V Diagramas Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4656 33 33 kN 40 30 20 67 56 33 33 kN 40 30 20 67 56 6 67 kN 30 20 67 56 6 67 kN 30 20 67 56 36 67 kN 20 67 56 36 67 kN 20 67 56 67 kN 56 67 kN 56 2 1 2 1 2 1 V V V V V V V V E D D C C B B A 0 kNm 40 18 30 2 4 20 3 67 3 6 56 60 kNm 30 0 6 20 12 67 18 56 56 kNm 20 0 6 67 12 56 34 kNm 67 0 6 56 0 M M M M M E D C B A 05082021 24 Determinar a força cortante em cada prego F Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4756 56 67 kN onde V 2 máx I Q V q F q s F máx 4132 kN 413175 10 5 2 7 87 2 7 87 kNcm 232 479 67 66 56 56 479 232 cm 12 5 9 6 6 12 66 56 cm 6 5 3 2 3 2 4 3 3 3 q s F I V Q q b h I y A Q LN 6 A viga de madeira com cinco tábuas parafusadas como mostra a figura Determine o espaçamento máximo s para os parafusos se cada um deles puder resistir a um cisalhamento de 20 kN e o cisalhamento aplicado for de V 45 kN Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4856 05082021 25 Centro de gravidade Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 4956 22 34 cm 3387 22 3 2 5 35 2 5 25 2 3 2 5 35 17 5 2 5 25 32 5 2 1 1 y A y A y cg n i i n i i i cg 35 cm 25 cm 15 cm 10 cm 1 1 2 2 2 x Momento de inércia da seção transversal Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5056 35 cm 25 cm 15 cm 10 cm 1 1 2 2 2 xcg ycg 484 cm 1016 cm 2234 cm 20 cm 4 4 2 3 2 4 2 3 1 2 1 52359 6 cm 3 10982 0 9706 8 2 10982 0 cm 2 5 35 4 84 12 5 35 2 9706 8 cm 2 5 25 1016 12 5 25 2 3 2 I I I I I I 05082021 26 Cálculo do espaçamento s Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5156 I V Q q q F s q s F 20 kN e F onde 4 4 35 cm 25 cm 15 cm 10 cm 1 1 2 2 2 xcg ycg 484 cm 1016 cm 2234 cm 20 cm 73 4 cm 73 394 09 1 4 20 4 109 kNcm 6 52359 1270 45 1270 cm 2 2 5 25 1016 2 3 q F s I V Q q y A Q 7 A viga de seção composta mostrada na figura foi fabricada conectando dois perfis laminados W150x298 por meio de parafusos com 1588 mm de diâmetro colocados longitudinalmente e espaçados em 1524 mm Sabendo que a tensão de cisalhamento média admissível para os parafusos é igual a 724 MPa determine a máxima força cortante vertical admissível para essa viga Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5256 Perfil W150x298 Área A 3790 mm2 3790 cm2 Altura d 157 mm 157 cm Largura da mesa bf 153 mm 153 cm Espessura da mesa tf 927 mm 0927 cm Espessura da alma tw 660 mm 0660 cm Ix 172x106 mm4 172x102 cm4 05082021 27 Máxima força cortante vertical admissível para essa viga V Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5356 4 2 2 π d 2 τ A τ F A F τ s F q q s F Q q I V I V Q q adm parafuso adm parafuso parafuso parafuso adm d 1588 mm 1588 cm s 1524 mm 1524 cm τadm 724 MPa 724 kNcm2 Momento de inércia da seção transversal e momento estático Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5456 3 4 2 2 2 1 297 515 cm 37 90 7 85 8111 cm 9855 8110 37 90 7 85 2 17 2x10 2 2 y A Q I A d I I I I x xcg 7 85 cm 2 15 7 05082021 28 Máxima força cortante vertical admissível para essa viga V Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 All rights reserved Created by Rodrigues Paulo C 5556 5125 kN 515 297 88 8111 1 188 24 15 2 14 33 2 14 33 kN 33207 14 4 7 24 314 1588 4 2 2 Q q I V kNcm s F q F π d τ A τ F parafuso adm parafuso adm parafuso d 1588 mm 1588 cm s 1524 mm 1524 cm τadm 724 MPa 724 kNcm2 Engenharia Civil e Mecânica Resistência dos Materiais II Prof Paulo Cesar Rodrigues Tensões de Cisalhamento Copyright 2021 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