Equações da Continuidade em Transferência de Massa - Resumo Detalhado

3 EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE EM TRANSFERÊNCIA DE MASSA Referência principal deste capítulo CREMASCO Marco Aurélio Fundamentos de transferência de calor e de massa 3a ed São Paulo Blücher 2015 460 p Capítulo 3 Equações da continuidade em transferência de massa Dr Marco Aurélio Cremasco Eng Químico Professor e Escritor Vencedor do I Prêmio Sesc de Literatura e um dos finalistas do Prêmio Jabuti de 2005 COMO EQUACIONAR A TRANSFERÊNCIA DE MASSA COMO EQUACIONAR A TRANSFERÊNCIA DE MASSA Equações da Continuidade Δx Δy Δz VC Equações da Continuidade ρx ux ρxΔx uxΔx Direção x VC x x Δx Equações da Continuidade Direção x ṁex ρx qx ρx ux Ax ρx ux Δy Δz ṁsx ρxΔx uxΔx Δy Δz VC ρx ux ρxΔx uxΔx x x Δx Equações da Continuidade Direção y Equações da Continuidade Direção y ṁₑy ρy qy ρy vy Ay ρy vy Δx Δz ṁₛy ρyΔy vyΔy Δx Δz Equações da Continuidade Direção z ṁₑz ρz qz ρz wz Az ρz wz Δx Δy ṁₛz ρzΔz wzΔz Δx Δy Equações da Continuidade dmdt dρ Δx Δy Δzdt Δx Δy Δz dρdt Equações da Continuidade me ms dmdt Juntando tudo mex mey mez msx msy msz dmdt Rearranjando os termos mex msx mey msy mez msz dmdt Equações da Continuidade ρx ux ρxΔx uxΔx Δy Δz ρy vy ρyΔy vyΔy Δx Δz ρz wz ρzΔz wzΔz Δx Δy dmdt ρx ux ρxΔx uxΔx Δy Δz ρy vy ρyΔy vyΔy Δx Δz ρz wz ρzΔz wzΔz Δx Δy dρdt Δx Δy Δz Equações da Continuidade ρx ux ρxΔx uxΔx ΔyΔz ρy vy ρyΔy vyΔy ΔxΔz ρz wz ρzΔz wzΔz ΔxΔy dρdt ΔxΔyΔz Equações da Continuidade ρxΔx uxΔx ρx uxΔx ρyΔy vyΔy ρy vyΔy ρzΔz wzΔz ρz wzΔz dρdt Lembrete dfdx lim Δx0 fx Δx fxΔx Equações da Continuidade ρux ρvy ρwz dρdt Equação da continuidade mássica Equações da Continuidade V u v w div V ux vy wz div ρV ρux ρvy ρwz ρux ρvy ρwz dpdt ou div ρV dρdt Equações da Continuidade em Transferência de Massa Considerações Mistura não homogênea possuindo ao menos dois constituintes uma espécie ou soluto que se movimenta e o meio através do qual esta se movimenta o meio pode estar parado ou em movimento Nesse caso pode ocorrer transferência de massa por difusão Pode haver geração de massa reação química Equações deduzidas em base mássica ou molar Necessitamos de equações que representem os perfis de concentração mássica ou molar para os constituintes da mistura Variação temporal Variação espacial Massa por volume Fluxo convectivo de massa Fluxo difusivo de massa Geração volumétrica de massa Equações da Continuidade em Transferência de Massa massa de volumétrica Geração de massa difusivo do fluxo Variação de massa convectivo do fluxo Variação volume e por tempo por volume de controle no de massa Acúmulo t i i v i Dij Ar massa Lei da conservação de massa 1 Equações Diferenciais de TM 1 Equações Diferenciais de TM 1 Equações Diferenciais de TM 1 Equações Diferenciais de TM Fazendo um Parênteses Yx pela ES Taylor Yx dx yx dx dydx dx2 d2ydx2 truncar no termo linear Ax NAx dx Ax NAx dx ddx Ax NAx Ax dy dz Ay dx dz Az dx dy V dx dy dz 2 Simplificações da Eq da continuidade do soluto A ou CAt CAV DAB CA RA Acúmulo Convecção Difusão Reação 2 Simplificações da Eq da continuidade do soluto A Difusão convecção Equação da Continuidade para um soluto A com difusão e reação base MÁSSICA massa de A de a volumétric Geração massa de A de difusivo do fluxo Variação massa de A de convectivo do fluxo Variação tempo por volume de controle no de massa de A Acúmulo Amassa A AB A A r D v t Acúmulo de massa por volume e por tempo Variação do fluxo convectivo de massa entrada saída Variação do fluxo difusivo de massa entrada saída Velocidade de reação em base mássica Primeira Lei de Fick m s kg 3 Equação da Continuidade para um soluto A com difusão e reação base MOLAR Dividindo a equação em base mássica pela massa molar do soluto A 𝒌𝑚𝑜𝑙 𝑚 3𝑠 A A AB A A r C D C v t C Acúmulo de mols por volume e por tempo Variação do fluxo convectivo molar entrada saída Variação do fluxo difusivo molar entrada saída Velocidade de reação em base molar Primeira Lei de Fick Simplificações da Equação da Continuidade do soluto A 1 Regime transiente temperatura e pressão constantes no meio em que ocorre o fenômeno de transferência de massa m s kg 3 m s kmol 3 As equações acima são empregadas para descrever transferência de massa transiente com reação química como a dessorção química da amônia em sítios ativos da zeólita ZM5 em temperatura controlada Amassa A 2 AB A A r D v t A A 2 AB A A r C D v C t C 2 Regime transiente temperatura e pressão constantes velocidade do meio nula sem reação química Simplificações da Equação da Continuidade do soluto A A 2 AB A D t A 2 AB A C D t C m s kg 3 m s Kmol 3 As equações acima correspondem à SEGUNDA LEI DE FICK difusão transiente de massa e são utilizadas para descrever fenômenos de adsorção de fluidos com isotermas lineares secagem de cereais e cementação de metais entre outras aplicações 3 Regime permanente estacionário temperatura e pressão constantes sem reação química Simplificações da Equação da Continuidade do soluto A A 2 AB A D v A 2 AB A C D v C m s kg 3 m s Kmol 3 Considerando escoamento bidimensional e coordenadas planas as equações acima descrevem a camada limite mássica sobre uma superfície 4 Regime permanente estacionário velocidade do meio nula temperatura e pressão constantes Simplificações da Equação da Continuidade do soluto A A 2 AB A D r massa A 2 AB A C D r m s kg 3 m s Kmol 3 As equações acima descrevem por exemplo difusão em reação homogênea ou a difusão intraparticular com reação química difusão no poro de catalisadores com reação ocorrendo simultaneamente à difusão fenômeno volumétrico sistema dito pseudohomogêneo 5 Regime transiente temperatura e pressão constantes e sem reação química Simplificações da Equação da Continuidade do soluto A 16 Simplificações da Equação da Continuidade do soluto A 6 Regime transiente temperatura e pressão constantes e sem reação química velocidade do fluido é nula 7 Regime permanente temperatura e pressão constantes e sem reação química velocidade do fluido é nula Operadores Vetoriais Coordenadas 2 Planas Cilíndricas Esféricas z y x z r 1 r sen r 1 r 1 r 2 2 2 2 2 2 z y x 2 2 2 2 2 2 2 sen r 1 sen sen r 1 r r r r 1 2 2 2 2 2 z r 1 r r r r 1 Operadores Divergente e Laplaciano 2 Equação da Continuidade do soluto A molar T e P constantes A A 2 AB A A r C D v C t C Volume de controle para coordenadas cilíndricas Exercício obter a equação Volume de controle para coordenadas esféricas Condições Inicial e de Contorno Condição Inicial Condições de contorno Ao contrário da temperatura as concentrações da espécie nos dois lados de uma interface gás líquido ou sólidogás ou sólido líquido normalmente não são as mesmas Portanto ao especificar a condição de contorno precisamos também especificar o lado do contorno 1 Condição de 1º tipo Dirichlet concentração da espécie especificada Condições de contorno Obs conforme já mencionado também é necessário especificar o lado da fronteira da concentração informada Por exemplo a concentração de água líquido ou vapor nos lados líquido e do gás da interface arágua em x 0 pode ser expressa na base molar como 2 Condição de 2º tipo Neumann fluxo da espécie especificado Condições de contorno 3 Condição de 3º tipo continuidade do fluxo de massa A Ax 0 massa 0 x A AB h x D Condições de contorno Superfície Isolada dT0dx 0 q0 0 Tx Superfície Impermeável dCA0dx 0 ṁA0 0 C Ax O caso especial do fluxo de massa zero corresponde a uma superfície impermeável Uma superfície impermeável na transferência de massa é semelhante a uma superfície isolada na transferência de calor Condições de contorno A condição de contorno pode ser de dois tipos Reação química instantânea em uma superfície Reação química nãoinstantânea com velocidade conhecida Reações elementares a velocidade é expressa por um modelo de lei de potência onde os expoentes correspondem aos coeficiente estequiométricos da reação balanceada Reações não elementares se a reação segue um modelo de lei de potência os expoentes são determinados experimentalmente 0 s y A0 r j A x s A x 2HI I H 2 2 1 I 1 H A k C 2C 2 r 3 2 CH CHO CH CHO 3 3 k C r CH CO CH CHO 4 3 m s Kmol 2 4 Condição de reação química na superfície conhecida Condições de contorno Combustão Reação muito rápida Formação do petróleo Reação muito lenta Exemplo 1 Transferência de massa em reator PFR ENADE 2011 Na modelagem de um reator tubular PFR não ideal devese considerar os termos de acúmulo de transporte por convecção e por difusão além da taxa de reação Considere uma reação de primeira ordem em que A forma B ao longo da direção axial do reator z e que o fluxo difusivo do componente A é dado pela Lei de Fick direção axial z Nessa situação a equação diferencial parcial que descreve adequadamente o balanço do componente A é A B C Exemplo 02 ENADE 2011 Esperase que o engenheiro químico seja capaz de para um determinado processo escolher entre as várias possíveis configurações de reatores a fim de otimizar a produção de um componente A simulação é uma ferramenta que pode assistilo nessa decisão mas que requer um profundo conhecimento dos fenômenos de transferência de quantidade de movimento calor e massa que ocorrem nestes equipamentos A respeito dos fenômenos de transferência de massa avalie as seguintes afirmações É CORRETO o que se afirma em I O conhecimento das equações diferenciais no estudo da transferência de massa nos dá a variação da concentração mássicamolar em função do tempo e das direções espaciais II Denominamos de segunda lei de Fick o resultado da simplificação da equação da continuidade mássica onde consideração regime transiente velocidade do meio é nula temperatura e pressão constante e com reação química no meio onde ocorre o fenômeno de transferência de massa III Um tipo de condição de contorno é a de primeiro tipo ou seja concentração ou fração mássica ou molar do soluto especificada numa determinada fase Exemplo 31 Exemplo 32 Exemplo 32 Um pellet cilíndrico gelatinoso de 2 mm de diâmetro e 20 mm de comprimento contendo inicialmente 50 g de sacaroseℓ de gel é posto subitamente em um tanque no qual há uma solução aquosa que apresenta 8 g de sacaroseℓ de solução No tanque há alimentação e retirada lenta e contínua da solução Admitindose que não houve tempo o suficiente para o estabelecimento da difusão da sacarose no gel em regime permanente assim como supondo a influência da convecção mássica externa na difusão da sacarose no interior do gel pedese a equação da continuidade mássica da sacarose já simplificada que descreve a sua distribuição de concentração no gel b condições inicial e de contorno Exemplo 4 Transferência de massa difusiva em partícula exemplo 33Cremasco p 124 Exemplo 5 Reator batch ideal a Uma reação elementar isotérmica de primeira ordem em relação a um reagente A ocorre em um reator batch ideal mistura perfeita Sabendo que a concentração de A no tempo inicial tem valor CA0 e no tempo final tem valor CAF desenvolva o modelo matemático e resolvao analiticamente b Sabendo que a constante específica da reação é k 023 min1 calcule o tempo necessário para reduzir a concentração final de A a 10 da concentração inicial Exemplo 6 Reator CSTR Considere um CSTR isotérmico onde ocorre uma reação elementar de primeira ordem em relação ao reagente A a Considerando agitação perfeita desenvolva um modelo matemático que represente a operação de partida desse reator estado transiente b Existe solução analítica para o modelo obtido Se sim por qual método c Como ficaria o modelo para o CSTR ideal mistura perfeita e estado estacionário 𝒓𝒂𝒌𝑪𝒂 𝒓𝒂𝒌𝑪𝒂 Hipóteses de trabalho 1 Sistema é transiente tem variação com o tempo acumulo é diferente de zero 2 Agitação perfeita Sem variação espacial as derivadas variações no espaço são nula processo não tem fluxo de difusão da massa 3 Meio é reacional portanto existe uma reação química ocorrendo no volume do volume de controle Ra kCa reação de 1ª ordem 4 Existe fluxo convectivo entrando Feed e saindo produtodo meu sistema Acumulo Taxa entrada Taxa saída taxa de reação 1 4 4 3 𝒅𝑽𝑪𝒂 𝒅𝒕 𝑭𝒆𝒆𝒅 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝑹𝒂𝑽 𝑭𝒆𝒆𝒅𝑭𝒂𝒐 𝒎𝒐𝒍 𝒔 𝑭𝒂 𝒎𝒐𝒍 𝒔 V V onde vo é a vazão volumétrica m³s onde v é a vazão volumétrica m³s V cI t0 Ca0 Ca1 o valor da Concentração no tempo igual a 0 É conhecido condição de c Contorno de 1 º tipo Ra molm³s 𝒓𝒂 𝒎𝒐𝒍 𝒎³𝒔 ³ Hipóteses de trabalho letra c 1 Sistema é estacionário NÃOtem variação com o tempo acumulo é nulo 2 Agitação perfeita Sem variação espacial as derivadas variações no espaço são nula processo não tem fluxo de difusão da massa 3 Meio é reacional portanto existe uma reação química ocorrendo no volume do volume de controle Ra kCa reação de 1ª ordem 4 Existe fluxo convectivo entrando Feed e saindo produtodo meu sistema Acumulo Taxa entrada Taxa saída taxa de reação 4 4 3 𝟎𝑭𝒆𝒆𝒅 𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝑹𝒂𝑽 𝑭𝒆𝒆𝒅𝑭𝒂𝒐 𝒎𝒐𝒍 𝒔 𝑭𝒂 𝒎𝒐𝒍 𝒔 0 0 1 0 onde vo é a vazão volumétrica m³s onde v é a vazão volumétrica m³s 0 Ra molm³s 𝒎𝒐𝒍 𝒔 𝒎𝒐𝒍 𝒔 𝒎𝒐𝒍 𝒎 ³ 𝒔 𝐦 ³ ³ Exemplo 7 Reator PFR com transferência simultânea de quantidade de movimento calor e massa Escreva os modelos para um reagente A em um reator PFR não ideal não isotérmico Fim Obrigada