Cálculo das Forças em um Laço Retangular com Corrente Elétrica

1 Um laço retangular formado por um condutor ideal no espaço livre junta os pontos 𝐴1 0 1 𝐵3 0 1 𝐶3 04 𝑒 𝐷1 0 4 Neste condutor existe uma corrente de 6 𝑚𝐴 correndo na direção de 𝒂𝑧 de 𝐵 para 𝐶 Além disso existe uma corrente filamentar de 15 𝐴 ao longo de todo eixo 𝑧 na direção 𝒂𝑍 Encontre as forças que agem sobre os segmentos 𝐵𝐶 e 𝐴𝐵 Solução Antes de qualquer coisa precisamos calcular a densidade de fluxo magnético 𝐵 devido ao filamento infinito de corrente sobre o eixo 𝑧 Como vimos o campo magnético em torno de um filamento infinito de corrente será dado por 𝑯 𝐼 2𝜋𝜌 Podemos relacionar este campo magnético com a densidade de fluxo magnético no espaço livre por 𝑩 𝜇0𝑯 Logo 𝐻 𝜇0 𝐼 2𝜋𝜌 𝐼𝜇0 2𝜋𝜌 Note que este campo varia com a distância 𝜌 e que 𝜌 é a distância entre o filamento e o ponto onde vamos perceber a existência deste campo neste caso precisaremos calcular o campo em 𝒂𝑦 sobre os dois segmentos de interesse 𝐵𝐶 e 𝐴𝐵 Sendo assim para o primeiro lado da espira 𝐵𝐶 que está a 3 unidades de distância do eixo 𝑧 temos 𝑯𝐵𝐶 𝐼𝜇0 2𝜋𝜌 154𝜋 107 2𝜋3 𝒂𝑦 𝑯𝐵𝐶 154𝜋 107 2𝜋3 𝒂𝑦 152 107 3 𝒂𝑦 𝑯𝐵𝐶 10 107𝒂𝑦 Para calcular a força que age sobre esta espira no segmento 𝐵𝐶 teremos 𝑭 𝐼𝑑𝑳 𝑩 𝑏 𝑎 Substituindo 𝑭 6 103 𝑑𝑧 𝒂𝑧 10 107𝒂𝑦 4 1 Resolvendo este produto vetorial teremos 𝑭 𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧 0 0 6 103 0 10 107 0 𝑭 0 6 103 10 107 0 𝒂𝑥 0 6 103 0 0 𝒂𝑦 0 0 0 10 107 𝒂𝑧 𝑭 6 10310 107𝒂𝑥 6 109𝒂𝑥 Agora podemos fazer a integral 𝑭 6 109𝒂𝑥 𝑑𝑧 4 1 𝑭 6 109𝒂𝑥 𝑑𝑧 4 1 𝑭 6 109𝒂𝑥4 1 18𝒂𝑥 𝑛𝑁 Precisamos agora repetir os mesmos cálculos para o segundo segmento 𝐴𝐵 desta vez o campo continua na mesma direção mas varia de acordo com a distância 𝑥 Ou seja 𝑯𝐴𝐵 𝐼𝜇0 2𝜋𝑥 𝒂𝑦 𝑯𝐴𝐵 154𝜋 107 2𝜋𝑥 𝒂𝑦 𝑯𝐴𝐵 152 107 𝑥 𝒂𝑦 30 107 𝑥 𝒂𝑦 Sendo assim a força será dada por 𝑭 𝐼𝑑𝑳 𝑩 𝑏 𝑎 Substituindo 𝑭𝐴𝐵 6 103 𝑑𝑥 𝒂𝑥 30 107 𝑥 𝒂𝑦 3 1 𝑭𝐴𝐵 6 103 𝑑𝑥 𝒂𝑥 30 107 𝑥 𝒂𝑦 3 1 𝑭 18 109 𝑥 𝒂𝑧 𝑑𝑥 3 1 𝑭𝐴𝐵 18 109ln 3 ln 1 197 𝑛𝑁 2 Um motor utiliza uma bobina retangular de 20 𝑚𝑚 por 20 𝑚𝑚 pivotado no centro do lado menor Se ele for montado em um campo magnético radial constante de densidade de fluxo dada por 04 𝑊𝑏𝑚2 que está sempre atuando em um ângulo de 30 em relação ao plano da bobina e se a bobina tiver 500 voltas e for atravessada por uma corrente de 5 mA encontre o torque exercido sobre a bobina Solução Sabemos que o torque exercido sobre uma espira será dado por 𝑇 𝐵𝐼𝑆 𝑠𝑒𝑛𝛼 Enquanto o torque sobre 𝑁 espiras será dado por 𝑇 𝑁𝐵𝐼𝑆 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑇 500045 10320 10320 103𝑠𝑒𝑛30 𝑇 200 𝜇𝑁𝑚 3 Em um material ferromagnético isotrópico linear e homogêneo de 𝜇𝑟 25 sujeito a uma densidade de fluxo magnético dada por 𝑩 4𝑦𝒂𝑧 𝑚𝑊𝑏𝑚2 determine o valor da magnetização 𝑴 Solução Sabemos que a magnetização em meios isotrópicos pode ser encontrada por 𝑴 Χ𝑚𝑯 Mas não temos nenhuma destas grandezas no enunciado então devemos começar observando que existe uma relação entre a permeabilidade relativa e a susceptibilidade por 𝜇𝑟 Χ𝑚 1 Logo 𝜇𝑟 1 Χ𝑚 Χ𝑚 25 1 15 Também podemos relacionar o campo magnético 𝑯 com a densidade de fluxo magnético 𝑩 por 𝑩 𝜇𝑯 Logo 𝑩 𝜇𝑯 𝑯 𝑩 𝜇 𝑩 𝜇0𝜇𝑟 𝑯 𝑩 𝜇0𝜇𝑟 4𝑦 103𝒂𝑧 4𝜋 10725 1273 𝑦𝒂𝑧 𝑘𝐴𝑚 Agora podemos chegar a magnetização 𝑴 Χ𝑚𝑯 151273 1910𝒂𝑧 𝑘𝐴𝑚 4 Em um certo material isotrópico linear e homogêneo de 𝜇𝑟 15 sujeito a uma densidade de fluxo magnético dada por 𝑯 10𝒂𝑧 20𝒂𝑦 40𝒂𝑧 𝐴𝑚 determine a magnetização 𝑴 Solução Sabemos que a magnetização em meios isotrópicos pode ser encontrada por 𝑴 Χ𝑚𝑯 Mas não temos nenhuma destas grandezas no enunciado então devemos começar observando que existe uma relação entre a permeabilidade relativa e a susceptibilidade por 𝜇𝑟 Χ𝑚 1 Logo 𝜇𝑟 1 Χ𝑚 Χ𝑚 15 1 05 Sabemos também que a magnetização pode ser determinada por 𝑴 Χ𝑚𝑯 Logo 𝑴 Χ𝑚𝑯 0510𝒂𝑧 20𝒂𝑦 40𝒂𝑧 5𝒂𝑧 10𝒂𝑦 20𝒂𝑧 𝐴𝑚 5 Em um sistema de coordenadas cilíndricas um fio condutor ideal de 2𝑚 de comprimento carregando uma corrente de 5 𝐴 na direção positiva do eixo 𝑧 está localizado em 𝜌 4 𝑐𝑚 1 𝑚 𝑧 1 𝑚 Este condutor está sujeito a um campo magnético cuja densidade de fluxo é dada por 𝑩 02 cos 𝜙 𝒂𝜌 Determine a coordenada 𝜙 onde a força será a maior possível Solução 𝑭 𝐼𝑙 𝑩 𝑭 5𝒂𝑧2 20 cos 𝜙 𝒂𝜌 𝑭 10𝒂𝑧 20 cos 𝜙 𝒂𝜌 Resolvendo este produto vetorial teremos 𝑭 𝒂𝜌 𝒂𝜙 𝒂𝑧 0 0 10 02 cos 𝜙 0 0 𝑭 0 10 0 0 𝒂𝜌 0 10 02cos 𝜙 0 𝒂𝜙 0 0 02 cos 𝜙 0 𝒂𝑧 𝑭 2 cos 𝜙 𝒂𝜙 Ou seja nossa força depende do cosseno de 𝜙 Como o cosseno varia entre 0 e 1 a força será a maior possível em 𝜙 0 6 Dado um material no qual encontramos Χ𝑚 4 com um fluxo magnético interno 𝑩 12𝑦 𝒂𝑧 𝑇 encontre a magnetização 𝑴 no interior deste material Solução Sabemos que a densidade de corrente pode ser relacionada com o campo magnético por 𝑱 𝑯 Então antes de achar a densidade de corrente precisamos achar o campo 𝑯 no interior deste material para tal podemos relacionar o campo 𝑯 com susceptibilidade magnética Χ𝑚 por 𝑩 𝜇𝑜𝑯 Χ𝑚𝑯 Ou acertando o algebrismo 𝑩 𝜇01 Χ𝑚𝑯 Logo 𝑩 𝜇01 Χ𝑚 𝑯 Neste caso 𝑯 𝑩 𝜇𝑜1 Χ𝑚 12𝑦𝒂𝑧 𝜇01 31 12𝑦𝒂𝑧 4𝜋 1071 4 𝑯 191 𝑦𝒂𝑧 𝑘𝐴𝑚 Sabemos também que podemos relacionar a magnetização com o campo 𝑯 por 𝑴 Χ𝑚𝑯 𝑴 4191 𝑦𝒂𝑧 764 𝑘𝐴𝑚 7 Considere uma região do espaço para a qual temos Χ𝑚 3 e um campo magnético dado por 𝐻 5𝑥𝒂𝑥 2𝑦𝒂𝑦 3𝑧𝒂𝑧 Determine a energia total acumulada em 1 𝑥 2 0 𝑦 2 0 𝑧 1 Solução Sabemos que podemos relacionar susceptibilidade magnética com a permeabilidade magnética relativa por 𝜇𝑟 Χ𝑚 1 𝜇𝑟 3 1 4 Também podemos relacionar o campo magnético com densidade de fluxo magnético por 𝑩 𝜇𝑜1 Χ𝑚𝑯 𝑩 𝜇𝑜4𝑯 Por fim a energia armazenada em um campo magnético é dada por 𝑊𝑚 1 2 𝑩 𝑯 Antes de progredirmos precisamos resolver 𝑩 𝑯 𝜇𝑜4𝑯 𝑯 𝑯 𝑯 5𝑥𝒂𝑥 2𝑦𝒂𝑦 3𝑧𝒂𝑧 5𝑥𝒂𝑥 2𝑦𝒂𝑦 3𝑧𝒂𝑧 𝑯 𝑯 5𝑥 5𝑥 2𝑦 2𝑦 3𝑧 3𝑧 𝑯 𝑯 25𝑥2 4𝑦2 9𝑧 Então a energia acumulada será dada por 𝑊𝑚 1 2 𝜇𝑜4𝑯 𝑯 𝑊𝑚 4𝜇0 2 𝑯 𝑯 𝑊𝑚 2𝜇0𝑯 𝑯 𝑊𝑚 2𝜇025𝑥2 4𝑦2 9𝑧 Para encontrar a energia total precisamos integrar esta equação nos limites determinados pelo enunciado em relação a um elemento de volume no espaço cartesiano dado por 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑊𝑚 2𝜇0 25𝑥2 4𝑦2 9𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 2 1 2 0 1 0 2𝜇0209 𝑊𝑚 2𝜇0256 24𝜋 107209 5253 𝜇𝐽 8 O entendimento do campo magnético gerado por filamentos de corrente e fundamental para o entendimento de motores e solenoides Um filamento infinito de corrente no espaço livre provoca no ponto 𝑃2 2 7 um campo magnético 𝑩 100 𝑛𝑊𝑚2 calcule a corrente necessária na direção positiva de 𝒂𝑧 capaz de gerar este campo Solução Partimos do formulário para encontrar a fórmula do campo magnético 𝑩 em torno de uma distribuição linear e infinita de corrente Sabemos de antemão que o campo magnético será dado pela regra da mão direita com o polegar apontado no sentido da corrente na direção positiva de 𝒂𝑧 então este campo se propaga na forma de círculos por todo o espaço Como o filamento está no eixo 𝑧 este e este propaga a corrente o campo existirá em um plano 𝑥𝑦 em um determinado 𝑧 neste caso segundo o enunciado 𝑧 7 O campo 𝑩 irá variar apenas no sentido de 𝜙 lembrese que em coordenadas cilíndricas a coordenada 𝜙 é a coordenada relacionada ao ângulo Logo 𝑩 𝜇0𝐼 2𝜋𝜌 𝒂𝜙 Temos todas a variáveis exceto a corrente desejada e este 𝜌 Tratase da distância entre o ponto desejado e o filamento Sobre um plano 𝑥𝑦 o 𝜌 raio do círculo que passa pelo ponto desejado pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras onde cada coordenada é um lado e o raio 𝜌 a hipotenusa Sendo assim a distância entre o filamento e o ponto desejado será 𝜌 𝑥2 𝑦2 22 22 8 Ou seja aplicando os valores dados no enunciado na fórmula e resolvendo teremos 100𝑥109𝒂𝜙 4𝜋 107𝐼 2𝜋8 𝒂𝜙 100𝑥109 2𝜋8 4𝜋 107 𝑰 100𝑥109 2𝜋22 4𝜋 107 𝑰 1𝑥1072 107 𝑰 𝑰 2 𝐴