Cálculo de Vetores em Coordenadas Cartesianas

1 Vetores objetos criados para a representação de grandezas que necessitam de direção e sentido além do seu valor Podem ser definidos por pontos em um plano ou espaço cartesiano Sabendo disso qual o vetor entre os pontos 𝐴1 2 3 e 𝐵1 2 3 Solução O vetor 𝑪 ligando os pontos 𝐴 e 𝐵 pode ser determinado pela computação da distância entre os vértices Observe que o enunciado citou o sistema de coordenadas cartesianas Desta forma 𝑪𝑨𝑩 𝒃𝒙 𝒂𝒙𝒄𝒙 𝒃𝒚 𝒂𝒚𝒄𝒚 𝒃𝒛 𝒂𝒛𝒄𝒛 𝑪𝑨𝑩 𝟏 𝟏𝒄𝒙 𝟐 𝟐𝒄𝒚 𝟑 𝟑𝒄𝒛 𝑪𝑨𝑩 𝟐𝒄𝒙 𝟒𝒄𝒚 Você pode verificar estes cálculos Há uma calculadora online aqui httponlinemschoolcommathassistancevectorptovector 2 Os sistemas de coordenadas e métricos servem para que os estudantes e pesquisadores possam usar as mesmas referências e terem as mesmas interpretações de equações cálculos e medidas Mas no estudo puro e simples das equações vetoriais eles são dispensáveis Considere por exemplo um sistema onde as distâncias sejam medidas apenas por unidades de medida sem a definição de unidades Neste sistema temos dois vetores Um que parte da origem até o ponto 𝐴 dado por 6 2 4 e um vetor unitário 𝒃 a partir da origem e apontando a direção do ponto 𝐵 dado por 1 3 2 2 1 Se os pontos 𝐴 e 𝐵 estão separados por 10 unidades de medida Calcule o vetor 𝑩 entre a origem e o ponto 𝐵 HAYT e BUCK 2012 Solução O enunciado especifica que 𝑨 6 2 4 Podemos usar a definição de vetor unitário e definir o vetor 𝑨 em relação ao seu vetor unitário considerando 𝑖 𝑗 𝑒 𝑘 como os fatores que multiplicam cada um dos vetores unitários do sistema cartesiano teremos 𝒂 𝑨 𝑨 𝑨 𝑖2 𝑗2 𝑘2 1 𝑖2 𝑗2 𝑘2 𝑨 Observe que sempre poderemos representar o vetor unitário desta forma Substituindo os dados fornecidos pelo enunciado chegamos e equação do vetor unitário de 𝑩 𝒃 1 3 𝑩2 2 1 expandindo o que sabemos de 𝑩 teremos 𝒃 2𝑩 3 𝒂𝑥 2𝑩 3 𝒂𝑦 𝑩 3 𝒂𝑧 Temos também graças ao enunciado o ponto 𝐴 o que nos permite calcular o vetor 𝑨 𝑨 6𝒂𝑥 2𝒂𝑦 4𝒂𝑧 O enunciado também especifica que a distância entre os pontos 𝐴 𝑒 𝐵 é de 10 unidades Sabemos que a distância entre dois pontos é dada pelo módulo do vetor que liga estes pontos então 𝐵 𝐴 𝐴 𝐵 10 Tudo que precisamos fazer é calcular este módulo E podemos calcular este módulo operando com os índices de cada vetor unitário no espaço cartesiano 6 2𝐵 3 𝒂𝑥 2 2𝐵 3 𝒂𝑦 4 1𝐵 3 𝒂𝑧 10 6 2𝐵 3 𝒂𝑥 2 2𝐵 3 𝒂𝑦 4 1𝐵 3 𝒂𝑧 10 Achamos o vetor distância basta agora calcular o módulo e igualar a 10 para atender o enunciado 6 2𝐵 3 2 2 2𝐵 3 2 4 1𝐵 3 2 10 6 2𝐵 3 2 2 2𝐵 3 2 4 1𝐵 3 2 100 62 26 2𝐵 3 2𝐵 3 2 22 2 2 2𝐵 3 2𝐵 3 2 42 2 4 1𝐵 3 1𝐵 3 2 100 36 8𝐵 4𝐵2 9 4 8𝐵 3 4𝐵2 9 16 8𝐵 3 𝐵2 9 100 56 8𝐵 𝐵2 100 𝐵2 8𝐵 44 0 Resolvendo a equação do segundo grau temos 𝐵 37460 𝑒 𝐵 11746 com não existe módulo negativo temos 𝐵 11746 logo o vetor 𝑩 será 𝑩 2 3 11746𝒂𝑥 2 3 11746𝒂𝑦 1 3 11746𝒂𝑧 𝑩 𝟕 𝟖𝟑𝒂𝒙 𝟕 𝟖𝟑𝒂𝒚 𝟑 𝟗𝟐𝒂𝒛 3 O cálculo de vetores unitários permite a determinação de um vetor com a mesma direção e sentido de um outro vetor qualquer Esta ferramenta é utilizada para separar o módulo ou amplitude da direção e sentido de um vetor e simplifica as operações com grandezas vetoriais Você precisa encontrar a direção e o sentido do vetor 𝑪 resultante da operação entre os vetores 𝑴 10𝒂𝑥 4𝒂𝑦 8𝒂𝑧 e 𝑵 8𝒂𝑥 7𝒂𝑦 2𝒂𝑧 Sabendo que a operação necessária pode ser representada por 𝑴 2𝑵 qual das respostas a seguir contém o vetor unitário desejado a 𝑪 036𝒂𝑥 𝒂𝑦 056𝒂𝑧 b 𝑪 045𝒂𝑦 084𝒂𝑧 c 𝑪 912𝒂𝑥 537𝒂𝑦 208𝒂𝑧 d 𝑪 092𝒂𝑥 036𝒂𝑦 014𝒂𝑧 e 𝑪 𝒂𝑥 05𝒂𝑦 Solução Letra d Realizando a operação desejada encontramos os fatores de 𝑪 𝑪 𝑴 2𝑵 10𝒂𝑥 4𝒂𝑦 8𝒂𝑧 28𝒂𝑥 7𝒂𝑦 2𝒂𝑧 𝑪 10𝒂𝑥 4𝒂𝑦 8𝒂𝑧 16𝒂𝑥 14𝒂𝑦 4𝒂𝑧 𝑪 26𝒂𝑥 10𝒂𝑦 4𝒂𝑧 𝑪26104 Com isso podemos calcular o vetor unitário de 𝑪 𝑐 26𝒂𝑥 10𝒂𝑦 4𝒂𝑧 262 102 42 26𝒂𝑥 10𝒂𝑦 4𝒂𝑧 281425 𝐶 092𝒂𝑥 036𝒂𝑦 014𝒂𝑧 4 Considerando o vetor expresso por 𝑎𝑥 5𝑎𝑦 𝑎𝑧 e usando o produto escalar encontre o ângulo que este vetor em um espaço cartesianos de três dimensões faz com o eixo 𝑧 a 𝜃 10110 b 𝜃 695 c 𝜃 9810 d 𝜃 4734 e 𝜃 11020 Solução a resposta certa é a letra a Geometricamente o produto escalar é dado por 𝑨 𝑩 𝑨𝑩𝑐𝑜𝑠𝜃 Onde 𝜽 é o ângulo formado entre os dois vetores A partir da definição geométrica podemos determinar uma fórmula para o cálculo do ângulo 𝜽 𝜽 𝑐𝑜𝑠1 𝑨 𝑩 𝑨𝑩 Logo teremos que calcular o módulo do vetor dado 𝑨 𝑎𝑥 5𝑎𝑦 𝑎𝑧 12 52 12 27 O vetor que representa o eixo 𝑧 é 𝒂𝑧 e seu módulo é 1 Sendo assim 𝜽 𝑐𝑜𝑠1 𝑎𝑥 5𝑎𝑦 𝑎𝑧 𝑎𝑧 27 𝑐𝑜𝑠1 1 27 𝜽 𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎 5 Dados os pontos 𝑀01 02 01 𝑁02 01 03 e 𝑃04 0 01 indique a opção que contém o produto escalar 𝑹𝑀𝑁 𝑹𝑀𝑃 e o ângulo entre 𝑹𝑀𝑁 𝑒 𝑹𝑀𝑃 Observe que na especificação dos vetores foi utilizado o caractere ponto como separador decimal para não confundir com as vírgulas usadas para separação das coordenadas a 004 e 65º b 005 e 78º c 003 e 67º d 006 e 88º e 005 e 45º Solução a resposta certa é a letra b Utilizando o caractere ponto como separador decimal para não confundir com as vírgulas usadas para separação das coordenadas Para calcular o produto escalar 𝑹𝑀𝑁 𝑹𝑀𝑃 precisamos primeiro calcular 𝑹𝑀𝑁 e 𝑹𝑀𝑃 𝑹𝑀𝑁 02 01 03 01 02 01 03 03 04 𝑹𝑀𝑃 04 0 01 01 02 01 03 02 02 Sendo assim o produto escalar 𝑹𝑀𝑁 𝑹𝑀𝑃 é dado por 𝑹𝑀𝑁 𝑹𝑀𝑃 03 03 04 03 02 02 009 006 008 005 Por sua vez o ângulo θ entre 𝑹𝑀𝑁 e 𝑹𝑀𝑃 pode ser calculado por θ 𝑐𝑜𝑠1 𝑹𝑀𝑁 𝑹𝑀𝑃 𝑹𝑀𝑁𝑹𝑀𝑃 𝑐𝑜𝑠1 005 032 032 042032 022 022 θ 𝑐𝑜𝑠1 005 032 032 042032 022 022 𝑐𝑜𝑠1 005 034017 7796º 6 Considere duas cargas 𝑄1 5 𝜇𝐶 𝑒 𝑄2 7 𝜇𝐶 localizadas nos pontos 0 0 0 𝑒 1 2 3 respectivamente e determine a intensidade do campo elétrico 𝐸 no ponto 𝑃3 4 2 Solução a resposta correta é a letra a Primeiro precisamos determinar os vetores unitários e seus módulos 𝑟 𝑟1 3𝒂𝑥 4𝒂𝑦 2𝒂𝑧 𝑟 𝑟1 29 𝑟 𝑟2 2𝒂𝑥 6𝒂𝑦 𝒂𝑧 𝑟 𝑟1 41 𝑬𝒓 𝑄1 4𝜋𝜖0𝑟 𝑟12 𝒂1 𝑄2 4𝜋𝜖0𝑟 𝑟22 𝒂2 𝑬𝒓 𝑄1𝑟 𝑟1 4𝜋𝜖0𝑟 𝑟13 𝑄2𝑟 𝑟2 4𝜋𝜖0𝑟 𝑟23 𝑬𝒓 1 4𝜋𝜖0 𝑄1𝑟 𝑟1 𝑟 𝑟13 𝑄2𝑟 𝑟2 𝑟 𝑟23 𝑬𝒓 106 4𝜋𝜖0 53𝒂𝑥 4𝒂𝑦 2𝒂𝑧 29 3 72𝒂𝑥 6𝒂𝑦 𝒂𝑧 41 3 𝑬𝒓 𝟑𝟖𝟒 𝟓𝟎𝒂𝒙 𝟐𝟖𝟕 𝟐𝟓𝒂𝒚 𝟖𝟏𝟔 𝟐𝟕𝒂𝒛 𝑽𝒎 7 A Lei de Coulomb publicada pela primeira vez em 1783 pelo físico francês Charles Augustin de Coulomb permite calcular a força exercida por uma partícula carregada sobre uma carga de prova Considerando a existência de duas Cargas pontuais de 1𝑛𝐶 e 2𝑛𝐶 estão localizadas no vácuo respectivamente em 0 0 0 e 2 2 2 Qual a força que atua em cada carga Solução A força que atua na carga 1 devida a carga 2 é igual a força que atua na carga 2 devido a carga um então tanto faz qual das forças calcularemos 𝑅12 2 0𝑎𝑥 2 0𝑎𝑦 2 0𝑎𝑧 𝑅12 2𝑎𝑥 2𝑎𝑦 2𝑎𝑦 𝑅12 12 23 𝑭𝟏𝟐 1 1092 109 4𝜋 109 36𝜋 232 2 23 𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧 𝑭𝟏𝟐 2 1018 12 109 9 1 3 𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧 𝑭𝟏𝟐 18 1018 12 109 1 3 𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧 𝑭𝟏𝟐 18 123 109𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧 𝑭𝟏𝟐 𝟎 𝟖𝟔𝟔 𝟏𝟎𝟗𝒂𝒙 𝒂𝒚 𝒂𝒚 8 Como a equação da força devida a existência de uma carga elétrica e linear podemos utilizar o princípio da superposição para encontrar a força devida a um conjunto de cargas pontuais espalhadas pelo espaço Considere uma carga pontual 𝑄1 35 𝑛𝐶 localizada no ponto 𝑃14 2 7 e a carga 𝑄2 60 𝑛𝐶 no ponto 𝑃23 4 2 ambas no vácuo Determine a intensidade do campo elétrico no ponto 𝑃31 2 3 Solução Se utilizarmos os vetores posição destas cargas e os conceitos de simetria a intensidade do campo elétrico no ponto𝑃31 2 3 será dada pela soma vetorial dos campos elétricos devidos a cada carga 𝑬 𝑄1 4𝜋𝜖0 𝑅132 𝑹13 𝑄2 4𝜋𝜖0𝑅232 𝑹23 𝑬 35 109 4𝜋𝜖0 𝑅132 𝑹13 60 109 4𝜋𝜖0𝑅232 𝑹23 Agora precisamos lembrar que o vetor unitário será dado pelo vetor dividido por seu módulo Sendo assim 𝑬 35 109 4𝜋𝜖0𝑅132 𝑹13 𝑅13 60 109 4𝜋𝜖0𝑅232 𝑹23 𝑅23 Colocando em evidência o que é comum e simplificando ficamos com 𝑬 109 4𝜋𝜖0 35𝑹13 𝑹133 60𝑹23 𝑹233 Sendo assim o primeiro passo é calcular estes dois vetores unitários 𝑹13 1 4𝑎𝑥 2 2𝑎𝑦 3 7𝑎𝑧 𝑹13 3𝑎𝑥 4𝑎𝑦 4𝑎𝑧 𝑹13 32 42 42 41 𝑹23 1 3𝑎𝑥 2 4𝑎𝑦 3 2𝑎𝑧 𝑹23 2𝑎𝑥 2𝑎𝑦 5𝑎𝑧 𝑹23 22 22 52 33 Desta forma a intensidade do campo em 𝑃2 será dada por 𝑬 109 4𝜋 109 36𝜋 353𝑎𝑥 4𝑎𝑦 4𝑎𝑧 41 3 602𝑎𝑥 2𝑎𝑦 5𝑎𝑧 33 3 𝑬 9 353𝑎𝑥 4𝑎𝑦 4𝑎𝑧 41 3 2 602𝑎𝑥 2𝑎𝑦 5𝑎𝑧 33 3 2 A soma vetorial dos campos elétricos resulta em 𝑬 9298𝑎𝑥 0898𝑎𝑦 9443𝑎𝑧 Logo a intensidade será dada pelo módulo deste vetor ou 𝑬 𝟏𝟑 𝟐𝟖𝟑 𝐍𝐂 9 Sobre um filamento retilíneo descrito or 𝑥 2 𝑚 𝑒 𝑦 4𝑚 existe uma distribuição uniforme de carga de densidade 𝜌𝑙 20 𝑛𝐶𝑚 Calcule o campo elétrico no ponto 𝑃2 1 4 EDMINISTER 1979 p 23 Solução Tratase da aplicação direta da equação do campo elétrico devido a distribuição linear de cargas 𝑬 𝜌𝐿 2𝜋𝜖0𝜌 𝒂𝜌 Observe que o filamento em questão é paralelo ao eixo 𝑧 logo o campo resultante não terá componentes ao longo deste eixo Se tomarmos um ponto no filamento que seja perpendicular ao ponto desejado mas que esteja sobre o filamento de cargas teremos 𝑹 2 2𝒂𝑥 1 4𝒂𝑦 𝑹 4𝒂𝑥 3𝒂𝑦 Cujo módulo será dado por 𝑹 𝑅 42 32 5 No nosso caso a distância por causa do uso das coordenadas cilíndricas quando definimos a fórmula 𝑅 𝜌 logo substituindo na equação teremos 𝑬 𝜌𝐿 2𝜋𝜖0𝜌 𝒂𝜌 20 109 2𝜋𝜖05 4𝒂𝑥 3𝒂𝑦 5 20 109 2𝜋𝜖052 4𝒂𝑥 3𝒂𝑦 𝑬 20 109 2𝜋109 36𝜋 52 4𝒂𝑥 3𝒂𝑦 10 109 25 109 36 4𝒂𝑥 3𝒂𝑦 𝑬 10 25 36 4𝒂𝑥 3𝒂𝑦 360 25 4𝒂𝑥 3𝒂𝑦 𝑬 576𝒂𝑥 432𝒂𝑦 10 Um plano de cargas definido por 𝑦 3 𝑚 contém uma distribuição uniforme de cargas com densidade superficial dada por 𝜌𝑆 108 6𝜋 𝐶𝑚2 Determine o campo 𝑬 em todos os pontos do espaço EDMINISTER 1979 p 24 Solução Tratase da aplicação direta da equação de campo elétrico para placas planas 𝑬 𝜌𝑠 2𝜖0 𝒂𝑛 O campo será normal a placa neste caso o campo terá a direção do eixo 𝑦 para 𝑦 3 𝑚 𝑬 108 6𝜋 2 109 36𝜋 𝒂𝑦 108 6𝜋 36𝜋 2 109 𝒂𝑦 6 108 2 109 𝒂𝑦 30𝒂𝑦 𝑉𝑚 Para 𝑦 3 𝑚 𝑬 30𝒂𝑦 𝑉𝑚