Cálculo de Corrente e Potência em Condutores Elétricos

1 Uma corrente elétrica flui de um condutor cilíndrico de uma liga de cobre com condutividade 𝜎 617 106 𝑆𝑚 e 1 𝑚𝑚 de raio para um resistor cilíndrico de carbono de 𝜎 61 103 𝑆𝑚 e seção reta de raio de 3 𝑚𝑚 como pode ser visto na figura abaixo Considerando que todos os meios são homogêneos e que o campo elétrico no resistor é de 57980 𝑘𝑉𝑚 qual será a corrente no cobre a 4 𝐴 b 3 𝐴 c 2 𝐴 d 1 𝐴 e 05 𝐴 Solução A resposta certa é a letra d Não existem fontes de corrente entre os três meios Ou seja a corrente neste sistema é idêntica em todos os meios Também sabemos que para qualquer condutor podemos relacionar o campo 𝑬 com a densidade de corrente por 𝑬 𝑱 𝜎 Sendo assim podemos achar a densidade de corrente no resistor 𝑱 𝑬𝜎 57980 10361 103 3537 𝑘𝐴𝑚2 Tendo a densidade de corrente em um condutor podemos achar a corrente facilmente já que 𝑱 𝑰 𝑆 𝑰 𝑱𝑺 Sabemos que a corrente atravessa uma seção reta circular cuja área pode ser calculada por 𝑆 𝜋𝑅2 Para o resistor de carbono 𝑆 𝜋𝑅2 𝜋00032 2827 106 𝑚2 Sendo assim a corrente será 𝑰 𝑱𝑺 3537 1032827 106 0999 𝐴 1 𝐴 2 Se uma barra de um composto de carbono de condutividade dada por 𝜎 3 104 𝑆𝑚 raio de 5 𝑚𝑚 e 80 𝑐𝑚 de comprimento não isolada nos seus terminais mas no espaço livre está submetido a um campo elétrico 𝑬 120 103 𝑉𝑚 encontre a potência que será dissipada nesta barra Solução Podemos começar encontrando a corrente que atravessa este condutor lembrando que podemos relacionar o campo elétrico com a densidade de corrente Sendo assim 𝑱 𝑬𝜎 120 1033 104 36 103 𝐴𝑚2 Também podemos relacionar a corrente com a densidade por meio da área da seção reta atravessada por essa corrente Ou seja 𝑱 𝑰 𝑆 𝐼 𝐽𝑆 36 103𝜋5 1032 2827 103 𝐴 Logo Também sabemos que a potência pode ser obtida apenas com a corrente e a resistência 𝑃 𝑅𝐼2 Como a resistência pode ser calculada apenas com as características geométricas e físicas do condutor 𝑅 𝑙 𝜎𝑆 800 103 3 104𝜋5 1032 3395 103 Ω Logo 𝑃 𝑅𝐼2 3395 1032827 1032 2714 103 𝑊 Ou como 𝑰 𝑆 𝑬𝜎 𝐼 𝑆𝑬𝜎 Então 𝑃 𝑙 𝜎𝑆 𝑆𝑬𝜎2 𝑙𝑆2𝐸2𝜎2 𝑆𝜎 𝑙𝑆𝐸2𝜎 𝑃 800 103𝜋5 1032120 10323 104 2714 103 𝑊 3 Duas cargas pontuais localizadas no espaço livre exercem entre si uma força de 4 𝜇𝐶 Quando o espaço entre elas é totalmente preenchido com um material dielétrico com permissividade relativa de 05 Encontre a nova força entre estas cargas Solução Tratase da aplicação da Lei de Coulomb e de uma única consideração sobre o enunciado Sabemos que a Lei de Coulomb para cargas no espaço livre é na sua forma escalar 𝐹 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜖0𝑅2 𝐹1 Também sabemos que em qualquer dielétrico esta Lei terá a forma 𝐹 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜖𝑅2 𝐹2 Onde 𝜖 𝜖𝑟𝜖0 sendo assim podemos equacionar a Lei de Coulomb em materiais dielétricos 𝐹2 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜖𝑟𝜖0𝑅2 𝐹2𝜖𝑟 𝑄1𝑄2 4𝜋𝜖0𝑅2 Observe que o valor que temos do lado direito do igual é 𝐹1 sendo assim 𝐹2𝜖𝑟 𝐹1 Logo a segunda força 𝐹2 será dada por 𝐹2 𝐹1 𝜖𝑟 4 106 05 8 𝜇𝑁 4 Uma esfera de material condutor e raio de 10 𝑐𝑚 está centrada na origem e envolvida por um material dielétrico com 𝜖 25𝜖0 Sabendo que esta esfera carrega uma densidade superficial de cargas de 4 𝑛𝐶𝑚2 e que a área da superfície da esfera é dada por 𝑆 4𝜋𝑅2 encontre o valor do campo elétrico 𝑬 a distância de 12 𝑐𝑚 do centro da esfera na direção 𝒂𝑟 Solução Primeiro sabemos que a densidade será uma grandeza dividido por uma dimensão Então 𝐷 𝑄 𝑆 Como temos a densidade superficial e o raio será fácil calcular a carga Neste caso consideraremos a esfera como uma carga pontual colocada na origem centro da esfera Sendo assim 𝐷 𝑄 𝑆 𝑄 𝐷𝑆 4 1094 𝜋100 1032 5027 1012𝐶 Sabemos que o campo elétrico tem origem na carga e se espalha de forma radial até o infinito Então esta densidade de cargas é normal a superfície da esfera em todos os pontos e em coordenadas esféricas segue o sentido 𝒂𝑟 que coincide com a direção pedida no enunciado Também sabemos que podemos relacionar a densidade de cargas com o campo elétrico em meios dielétricos 𝑫 𝜖𝑬 Já vimos também que o campo elétrico devido a uma carga pontual em qualquer ponto do espaço será dado por 𝑬 𝑄 4𝜋𝜖0𝑟2 𝒂𝑟 Neste caso como estamos em um dielétrico teremos 𝑬 𝑄 4𝜋25𝜖0𝑟2 𝒂𝑟 Logo substituindo os valores que temos 𝑬 5027 1012 4𝜋 25 109 36𝜋 120 1032 𝒂𝑟 𝑬 1257 𝑉𝑚 5 Dados os pontos 𝐶2 2 3 e 𝑃2 1 2 e considerando que um elemento diferencial de corrente 𝐼𝑑𝑳 1044 3 1𝐴 𝑚 no ponto 𝐶 produz um campo 𝑑𝑯 no ponto 𝑃 Especifique a direção do elemento diferencial 𝑑𝑯 em relação a um vetor unitário 𝒂𝐻 Solução Usando a Lei de BiotSavart em forma diferencial encontraremos 𝑑𝑯 𝐼𝑑𝑳 𝒂𝐶𝑃 4𝜋𝑅𝐶𝑃 2 𝒂𝐶𝑃 2 1 2 2 2 3 0 1 1 𝒂𝑦 𝒂𝑧 𝒂𝐶𝑃 𝑎𝐶𝑃 12 12 2 Logo 𝑑𝑯 𝐼𝑑𝑳 𝒂𝐶𝑃 4𝜋𝑅𝐶𝑃 2 1044𝒂𝑥 3𝒂𝑦 𝒂𝑧 𝒂𝑦 𝒂𝑧 4𝜋2 22 Fazendo o produto vetorial temos 𝐼𝑑𝑳 𝒂𝐶𝑃 𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧 4 3 1 0 1 1 3 1 1 1 𝒂𝑥 4 1 0 1 𝒂𝑦 4 3 0 1 𝒂𝑧 𝐼𝑑𝑳 𝒂𝐶𝑃 31 11𝒂𝑥 41 10𝒂𝑦 41 30𝒂𝑧 𝐼𝑑𝑳 𝒂𝐶𝑃 3 1𝒂𝑥 4 0𝒂𝑦 4 0𝒂𝑧 𝑨 𝑩 2𝒂𝑥 4𝒂𝑦 4𝒂𝑧 𝑑𝑯 1042𝒂𝑥 4𝒂𝑦 4𝒂𝑧 4𝜋232 𝑑𝑯 2813 1062𝒂𝑥 4𝒂𝑦 4𝒂𝑧 Tudo que precisamos agora é encontrar o vetor unitário na direção 𝑑𝑯 𝒂𝐻 2𝒂𝑥 4𝒂𝑦 4𝒂𝑧 22 42 42 2𝒂𝑥 4𝒂𝑦 4𝒂𝑧 6 𝒂𝐻 0333𝒂𝑥 0667𝒂𝑦 0667𝒂𝑧 6 Considere o campo 𝑯 𝑦𝒂𝑥 𝑥𝒂𝑦 𝐴𝑚 no plano 𝑧 0 usando a lei de Ampère calcule a corrente na superfície definida por 𝑧 0 0 𝑥 3 1 𝑦 4 SADIKU 2014 Solução Antes de qualquer coisa precisamos observar esta superfície com cuidado Veja a figura ao lado neste caso o sentido positivo do eixo 𝑧 está saído da tela na sua direção Segundo a Lei de Ampére 𝑯 𝑑𝒍 𝑰 Então para acharmos a corrente teremos que fazer a integral de linha de todo este percurso Fazendo neste caso o produto escalar entre campo e o elemento diferencial de comprimento neste percurso assim podemos por exemplo resolver quatro integrais cada uma em relação a uma das linhas do retângulo que representa a superfície Para o percurso 1 teremos que fazer a integral de linha na linha que vai de zero a três na direção positiva de 𝒂𝑥 em 𝑦 1 neste caso o elemento diferencial de comprimento será 𝒂𝑥𝑑𝑥 𝐼1 𝑦𝒂𝑥 𝑥𝒂𝑦 𝒂𝑥𝑑𝑥 3 0 𝑦𝑑𝑥𝒂𝑥 𝒂𝑥 𝑥𝑑𝑥𝒂𝑦 𝒂𝑥 3 0 𝐼1 𝑦𝑑𝑥1 𝑥𝑑𝑥0 3 0 𝑦𝑑𝑥𝑦1 13 0 3 𝐴 3 0 Poderíamos ter usado apenas o componente do campo nesta direção mas resolvi fazer toda a integral para mostrar o processo Para o percurso 2 teremos que fazer a integral de linha na linha que vai de 1 a 4 no sentido positivo de 𝒂𝑦 para 𝑥 3 logo 𝐼2 𝑦𝒂𝑥 𝑥𝒂𝑦 𝒂𝑦𝑑𝑦 4 3 𝑦𝑑𝑦𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝑥𝑑𝑦𝒂𝑦 𝒂𝑦 4 3 𝐼2 𝑦𝑑𝑦0 𝑥𝑑𝑦1 4 1 𝑥𝑑𝑦𝑥3 34 1 15 𝐴 4 1 Para o percurso 3 teremos que fazer a integral de linha na linha que vai de 3 até zero no sentido negativo de 𝒂𝑥 para 𝑦 4 logo 𝐼3 𝑦𝒂𝑥 𝑥𝒂𝑦 𝒂𝑥𝑑𝑥 0 3 𝑦𝑑𝑥𝒂𝑥 𝒂𝑥 𝑥𝑑𝑥𝒂𝑦 𝒂𝑥 0 3 𝐼3 𝑦𝑑𝑥1 𝑥𝑑𝑥0 0 3 𝑦𝑑𝑥𝑦4 0 3 40 3 12 𝐴 Para o percurso 4 teremos que fazer a integral de linha entre 4 e 3 na direção negativa de 𝒂𝑦 para 𝑥 0 𝐼4 𝑦𝒂𝑥 𝑥𝒂𝑦 𝒂𝑦𝑑𝑦 3 4 𝑦𝑑𝑦𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝑥𝑑𝑦𝒂𝑦 𝒂𝑦 3 4 𝐼4 𝑦𝑑𝑦0 𝑥𝑑𝑦1 3 4 𝑥𝑑𝑦𝑥0 3 4 03 4 0 𝐴 Somando estas correntes chegamos que a corrente total que atravessa a superfície dada será de 30 𝐴 7 Um filamento infinito de corrente no espaço livre carrega uma corrente de 2 𝐴 na direção positiva de 𝒂𝑧 Calcule a intensidade do campo magnético 𝑩 no ponto 𝑃3 4 7 Solução Partimos do formulário para encontrar a fórmula do campo magnético 𝑩 em torno de uma distribuição linear de corrente Contudo precisamos fazer algumas considerações antes de começar Sabemos de antemão que o campo magnético será dado pela regra da mão direita com o polegar apontado no sentido da corrente na direção positiva de 𝒂𝑧 então este campo se propaga na forma de círculos por todo o espaço Como o filamento está no eixo 𝑧 este e este propaga a corrente o campo existirá em um plano 𝑥𝑦 em um determinado 𝑧 neste caso segundo o enunciado 𝑧 7 O campo 𝑩 irá variar apenas no sentido de 𝜙 lembrese que em coordenadas cilíndricas a coordenada 𝜙 é a coordenada relacionada ao ângulo Logo 𝑩 𝜇0𝐼 2𝜋𝜌 𝒂𝜙 Temos todas a variáveis exceto este 𝜌 Tratase da distância entre o ponto desejado e o filamento Sobre um plano 𝑥𝑦 o 𝜌 raio do círculo que passa pelo ponto desejado pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras onde cada coordenada é um lado e o raio 𝜌 a hipotenusa Sendo assim a distância entre o filamento e o ponto desejado será 𝜌 𝑥2 𝑦2 32 42 5 Sendo assim 𝑩 4𝜋 1072 2𝜋5 𝒂𝜙 𝑩 80 𝑛𝑊𝑏𝑚2