Metodo da Carga Unitaria - Deslocamentos em Estruturas

MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA Gabriel de Sant Anna Vitor Barbieri Método da carga unitária 2 1 MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA INTRODUÇÃO O método da carga unitária também conhecido como princípio dos trabalhos virtuais foi desenvolvido por John Bernoulli em 1717 O objetivo geral deste método é a determinação do deslocamento seja um deslocamento linear ou um deslocamento angular de um ponto específico de uma estrutura viga pórtico treliça entre outros a partir de determinada configuração de carregamentos externos Para que o método da carga unitária seja definido matematicamente é necessário discutir alguns conceitos relacionados ao método Sabese que a partir da aplicação de um conjunto de cargas externas P a uma estrutura deformável de qualquer tamanho ou forma cargas internas u irão se desenvolver na estrutura As cargas internas ou esforços internos que podem ser desenvolvidas em um elemento de uma estrutura são cargas axiais forças cortantes momentos fletores e momentos de torção É necessário que as cargas externas e as cargas internas se relacionem através das equações de equilíbrio estático ou seja a partir da análise de uma seção da estrutura divisão imaginária de uma estrutura em duas partes as cargas internas passam a ser expostas e analisadas como cargas externas e as condições de equilíbrio estático devem ser satisfeitas tanto para o elemento como um todo como para cada seção dele Uma vez que a aplicação de cargas externas gera um deslocamento externo existe um trabalho devido a aplicação das forças externas O mesmo ocorre então para as forças e os deslocamentos internos Como os esforços internos gerados na estrutura estão diretamente relacionados com as cargas externas os deslocamentos externos e internos também irão se relacionar de acordo com 𝑃 𝑢 𝛿 1 onde representa os deslocamentos externos e 𝛿 os deslocamentos internos A equação 1 diz que o somatório do trabalho das cargas externas deve ser igual ao somatório do trabalho das cargas internas Podese dizer então que a partir de deslocamentos Método da carga unitária 3 externos conhecidos os deslocamentos internos correspondentes são definidos unicamente DEDUÇÃO DO MÉTODO DE CARGA UNITÁRIA Para desenvolvermos o princípio do trabalho virtual ou método da carga unitária vamos considerar um corpo de com uma forma arbitrária qualquer figura 1 Como a principal aplicação desse método é a determinação do deslocamento de um ponto qualquer do corpo a partir da aplicação de cargas externas vamos supor que queremos determinar o deslocamento do ponto A do corpo causado pelas cargas reais P1 P2 e P3 Figura 1 Carga virtual unitária aplicada sobre o corpo Fonte Hibbeler 2013 Considerando que as cargas reais não geram deslocamentos nos apoios e que nenhuma carga externa real atua sobre o ponto A e na direção de especificamente este deslocamento pode ser determinado primeiramente introduzindo uma carga virtual P de tal que maneira que esta atue na mesma direção de Para facilidade da aplicação do método considerase que a intensidade dessa carga virtual é unitária isto é P 1 O termo virtual nesse caso é empregado uma vez que esta carga não existe de fato na configuração de cargas reais e é portanto uma carga imaginária Método da carga unitária 4 Conforme podemos ver na figura 1 e de acordo com os princípios de equilíbrio estático a introdução dessa carga virtual unitária faz com que esforços internos u sejam desenvolvidos em um elemento no interior do corpo P e u devem se relacionar de acordo com as condições de equilíbrio impostas ao sistema Depois que a análise do elemento foi feita em relação à aplicação da carga virtual unitária as cargas externas reais podem ser introduzidas no sistema figura 2 O ponto A sofrerá um deslocamento igual a e o elemento representativo no interior do corpo irá sofrer uma deformação dL Figura 2 Cargas reais aplicadas sobre o corpo Fonte Hibbeler 2013 Uma vez que o trabalho é definido pelo produto entre o deslocamento e a intensidade da força temos que o trabalho virtual externo é definido por 1 e o trabalho virtual interno por udL Uma vez que os trabalhos externos e internos se relacionam de acordo com a equação 1 para a aplicação da carga virtual de intensidade unitária temos que 1 𝑢 𝑑𝐿 2 onde 1 representa a intensidade da carga unitária virtual externa P que atua na direção representa os deslocamentos externos causados pelas cargas reais u Método da carga unitária 5 representa a carga virtual interna atuando sobre o elemento na direção de dL dL representa a deformação interna do elemento causada pelas cargas reais Agora fica mais claro o entendimento do motivo para o qual se escolhe a intensidade unitária para o carregamento virtual externo uma vez que através da equação 2 pode se obter diretamente os deslocamentos externos causados pelas cargas reais No caso de deslocamentos causados por tensões cisalhantes teríamos um deslocamento rotacional ou inclinação 𝜃 do elemento Para que a análise seja feita para este tipo de deslocamento analogamente à introdução de uma carga virtual unitária P vamos introduzir neste caso um momento binário virtual M de magnitude unitária aplicado ao ponto de interesse Como consequência da aplicação desta carga virtual externa uma carga virtual interna 𝒖𝜽 é desenvolvida em um dos elementos do corpo Presumindo que as cargas reais causem uma deformação interna do elemento igual a dL a rotação 𝜃 pode ser determinada a partir da equação do trabalho virtual por 1 𝜃 𝑢𝜃 𝑑𝐿 3 onde 1 representa a intensidade do momento binário virtual externo M que atua na direção de 𝜃 𝜃 representa o deslocamento rotacional externo causados pelas cargas reais em radianos 𝑢𝜃 representa a carga virtual interna atuando sobre o elemento na direção de dL dL representa a deformação interna do elemento causada pelas cargas reais Da maneira que foi desenvolvido o método até aqui o método recebe o nome de método dos trabalhos virtuais uma vez que os deslocamentos reais da estrutura são obtidos a partir de cargas virtuais O mesmo princípio pode ser feito de maneira contrária para a determinação das cargas externas que agem sobre a estrutura a partir de deslocamentos virtuais Nesse caso o método recebe o nome de método dos deslocamentos virtuais EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO MÉTODO Método da carga unitária 6 Vamos agora aplicar o método da carga unitária em diferentes tipos de estrutura para o cálculo do deslocamento real sofrido por algum ponto do sistema decorrente de cargas externas reais Inicialmente iremos aplicar o método da carga unitária em treliças Sabemos que treliças são estruturas formadas por elementos de barra conectados em suas extremidades A idealização estrutural de uma treliça é que as forças que são aplicadas nos elementos se desenvolvem apenas nos nós dos elementos e desta maneira cada elemento de uma treliça pode ser considerado como um elemento de duas forças Para o equilíbrio estático de um elemento de duas forças sabese que as forças devem ser colineares de mesma intensidade e sentidos opostos Portanto os elementos de treliça desenvolvem apenas esforços internos normais ou axiais O deslocamento linear de um elemento sob ação puramente de forças axiais considerando que a estrutura se comporta em regime linear elástico é dado por 𝑑𝐿 𝑁𝐿 𝐴𝐸 4 onde dL é a variação do comprimento do elemento N é o esforço normal interno desenvolvido no elemento L é o comprimento inicial do elemento A é a área da seção transversal do elemento e E é o módulo de elasticidade ou módulo de Young do material de fabricação do elemento Quando queremos utilizar o método da carga unitária para a análise de uma treliça queremos determinar o deslocamento de um nó da estrutura causado pela aplicação de cargas externas variação de temperatura dos elementos da estrutura ou até mesmo erros de fabricação Vamos analisar cada um desses casos Vamos supor que queremos determinar o deslocamento vertical do nó B da treliça da figura 3 a partir de uma configuração de cargas externas reais figura 4 Para isto de acordo com o passo a passo do método proposto devemos aplicar uma carga unitária no nó no mesmo sentido do deslocamento desejado e calcular as forças internas que são desenvolvidas em cada elemento da treliça n Depois aplicamos as cargas reais e recalculamos as forças internas dos elementos N Método da carga unitária 7 Figura 3 Carga virtual unitária aplicada sobre o nó B Fonte Hibbeler 2013 Figura 4 Cargas externas reais aplicadas sobre a estrutura Fonte Hibbeler 2013 O deslocamento do nó B causado pelas cargas reais impostas sobre a estrutura é dado então por 1 𝑛𝑁𝐿 𝐴𝐸 4 onde 1 é a intensidade da carga unitária aplicada no nó B no sentido de é o deslocamento real do nó causado pelas forças externas n são as forças normais internas desenvolvidas em cada membro da treliça a partir da carga virtual N são as forças internas desenvolvidas em cada membro da treliça a partir das cargas reais L é o comprimento de cada membro da treliça A é a área da seção transversal do membro de treliça e E é o módulo de elasticidade módulo de Young do membro da treliça de acordo com o material de sua construção A equação 4 define que a carga virtual externa cria forças internas em cada elemento da treliça As cargas reais fazem com que o nó B seja deslocado no mesmo sentido da Método da carga unitária 8 carga virtual que foi aplicada anteriormente e os demais membros de deslocam no sentido de suas forças internas virtuais respectivas O trabalho virtual externo se iguala ao trabalho virtual interno equação 1 e assim o deslocamento pode ser obtido No caso em que os elementos estruturais sofrem uma variação de temperatura considerável eles tendem a se deslocar devido a contração ou dilatação térmica na direção axial A variação do comprimento do elemento em uma treliça por exemplo é dada por 𝐿 𝛼 𝑇 𝐿 5 onde 𝛼 é o coeficiente de expansão térmica do elemento 𝑇 é a variação de temperatura final menos inicial e L é o comprimento inicial do membro Neste caso aplicando o princípio dos trabalhos virtuais o deslocamento do nó da treliça pode ser obtido através de 1 𝑛 𝛼 𝑇 𝐿 6 Por fim nos casos em que os membros que compõe a treliça tenham sido fabricados com comprimento errado ou ainda tenham sido fabricados ligeiramente mais longos ou mais curtos devido a especificação de projeto o deslocamento do nó da treliça calculado a partir de sua posição esperada é fornecido por 1 𝑛 𝐿 7 onde 𝐿 é a diferença no comprimento do membro proposital ou não No caso em que os três efeitos mencionados anteriormente apareçam simultaneamente os deslocamentos desejados são obtidos através das somas dos deslocamentos gerados para cada um dos casos Vamos resolver alguns exemplos Suponhamos que nosso objetivo seja determinar o deslocamento vertical do nó C da viga da figura 5 Para calcularmos este deslocamento vamos utilizar o método da carga unitária princípio dos trabalhos virtuais Método da carga unitária 9 Figura 5 Viga utilizada na análise de deslocamento Fonte Hibbeler 2013 A primeira etapa para a aplicação do método da carga unitária é substituir a configuração real de forças externas por uma força virtual de intensidade unitária direcionada no mesmo sentido do deslocamento desejado deslocamento vertical para baixo no nó C Desta maneira vamos fazer a análise estrutural dos elementos da treliça a partir da configuração de carga virtual O primeiro passo para a análise estrutural é calcular as reações nos apoios desenvolvidas a partir da carga virtual unitária nesse caso 1kN Aplicando as equações de equilíbrio estático temos que 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 8 𝑀𝐴 0 1 6 𝐷𝑦 9 0 𝐷𝑦 0667 𝑘𝑁 9 𝐹𝑦 0 1 𝐴𝑦 𝐷𝑦 0 𝐴𝑦 0333 𝑘𝑁 10 A próxima etapa é calcular as forças internas em cada elemento da estrutura a partir dessa configuração de carregamento virtual As forças nos elementos da treliça podem ser obtidas pela aplicação do método dos nós ou método das seções Aplicando o método dos nós iniciando pelo nó D temos que Método da carga unitária 10 𝐹𝑦 0 0667 𝐹𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛45 0 𝐹𝐷𝐸 0943 𝑘𝑁 11 𝐹𝑥 0 𝐹𝐷𝐶 0943 𝑐𝑜𝑠45 0 𝐹𝐷𝐶 0667 𝑘𝑁 12 Note que os elementos que estão sob compressão serão representados por uma intensidade de força normal interna negativa Esse sinal deverá ser utilizado até o final da aplicação do método Prosseguindo para o nó C temos que 𝐹𝑦 0 1 𝐹𝐶𝐸 0 𝐹𝐶𝐸 10 𝑘𝑁 13 𝐹𝑥 0 𝐹𝐷𝐶 𝐹𝐶𝐵 0 𝐹𝐶𝐵 0667 𝑘𝑁 14 Continuando no nó E temos 𝐹𝑦 0 𝐹𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛45 𝐹𝐶𝐸 𝐹𝐸𝐵 𝑠𝑒𝑛45 0 𝐹𝐸𝐵 0471 𝑘𝑁 15 𝐹𝑥 0 𝐹𝐷𝐸 𝑐𝑜𝑠45 𝐹𝐸𝐵 𝑐𝑜𝑠45 𝐹𝐸𝐹 0 𝐹𝐸𝐹 0333 𝑘𝑁 16 Aplicando o método dos nós no nó F resulta em 𝐹𝑥 0 𝐹𝐸𝐹 𝐹𝐹𝐴 𝑐𝑜𝑠45 0 𝐹𝐹𝐴 0471 𝑘𝑁 17 𝐹𝑦 0 𝐹𝐹𝐴 𝑠𝑒𝑛45 𝐹𝐹𝐵 0 𝐹𝐹𝐵 0333 𝑘𝑁 18 Resta apenas a determinação da força interna do elemento AB que pode ser obtido pela análise do nó A a seguir 𝐹𝑥 0 𝐹𝐹𝐴 𝑐𝑜𝑠45 𝐹𝐴𝐵 0 𝐹𝐴𝐵 0333 𝑘𝑁 19 Método da carga unitária 11 Agora que já determinamos todas as forças internas dos elementos n em decorrência da aplicação da carga virtual unitária devemos calcular todas as cargas internas dos elementos N em decorrência da configuração real de forças Vamos iniciar novamente pelo cálculo das reações nos apoios A e D Da aplicação das equações de equilíbrio estático da estrutura temos que 𝐹𝑥 0 𝐴𝑥 0 20 𝑀𝐴 0 20 3 20 6 𝐷𝑦 9 0 𝐷𝑦 200 𝑘𝑁 21 𝐹𝑦 0 20 20 𝐴𝑦 𝐷𝑦 0 𝐴𝑦 200 𝑘𝑁 22 Aplicando o método dos nós para a determinação das cargas internas dos elementos da treliça a partir dessa configuração de cargas externas temos que para o nó D 𝐹𝑦 0 20 𝐹𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛45 0 𝐹𝐷𝐸 283 𝑘𝑁 23 𝐹𝑥 0 𝐹𝐷𝐶 283 𝑐𝑜𝑠45 0 𝐹𝐷𝐶 200 𝑘𝑁 24 Prosseguindo para o nó C temos que 𝐹𝑦 0 20 𝐹𝐶𝐸 0 𝐹𝐶𝐸 200 𝑘𝑁 25 𝐹𝑥 0 𝐹𝐷𝐶 𝐹𝐶𝐵 0 𝐹𝐶𝐵 200 𝑘𝑁 26 Continuando no nó E temos 𝐹𝑦 0 𝐹𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛45 𝐹𝐶𝐸 𝐹𝐸𝐵 𝑠𝑒𝑛45 0 𝐹𝐸𝐵 0 𝑘𝑁 27 Método da carga unitária 12 𝐹𝑥 0 𝐹𝐷𝐸 𝑐𝑜𝑠45 𝐹𝐸𝐵 𝑐𝑜𝑠45 𝐹𝐸𝐹 0 𝐹𝐸𝐹 200 𝑘𝑁 28 Aplicando o método dos nós no nó F resulta em 𝐹𝑥 0 𝐹𝐸𝐹 𝐹𝐹𝐴 𝑐𝑜𝑠45 0 𝐹𝐹𝐴 283 𝑘𝑁 29 𝐹𝑦 0 𝐹𝐹𝐴 𝑠𝑒𝑛45 𝐹𝐹𝐵 0 𝐹𝐹𝐵 200 𝑘𝑁 30 Resta apenas a determinação da força interna do elemento AB que pode ser obtido pela análise do nó A a seguir 𝐹𝑥 0 𝐹𝐹𝐴 𝑐𝑜𝑠45 𝐹𝐴𝐵 0 𝐹𝐴𝐵 200 𝑘𝑁 31 Agora que já estabelecemos todas as forças axiais internas nas duas configurações de cargas externas virtual e real podemos aplicar a equação 4 diretamente Sabendo que a área da seção transversal dos elementos é igual a 300 mm² e que o módulo de elasticidade é igual a 200 GPa podemos montar uma tabela tabela 1 para simplificação dos cálculos relacionando as cargas internas dos elementos em cada um dos dois casos e o produto entre eles e o comprimento dos elementos Tabela 1 Dados do exercício ELEMENTO n kN N kN L m nNL kN²m AB 0333 2000 3 20 BC 0667 2000 3 40 CD 0667 2000 3 40 DE 0943 2830 424 113 FE 0333 2000 3 20 EB 0471 000 424 0 BF 0333 2000 3 20 AF 0471 2830 424 566 CE 100 2000 3 60 Fonte O autor 2021 Método da carga unitária 13 Para determinar o deslocamento vertical do nó C basta fazer o somatório de todos os valores encontrados na última coluna da tabela e dividir essa soma pelo produto da área com o módulo de elasticidade Aplicando a equação 4 temos 1 𝑛𝑁𝐿 𝐴𝐸 3696 300106200106 000616 𝑚 𝑜𝑢 616 𝑚𝑚 32 Vamos agora analisar a aplicação do método de carga unitária em deflexão de elementos de vigas e pórticos O fator predominante para o cálculo de deflexão em vigas e pórticos é o momento fletor interno desenvolvido em função da aplicação de cargas externas sobre o elemento Os efeitos de deflexão causados pela força cortante cargas axiais e torcionais são secundários nesse caso Vamos considerar a viga submetida a um carregamento distribuído arbitrário figura 6 Figura 6 Viga sob ação de carregamento distribuído Fonte Hibbeler 2013 Nosso objetivo na análise é determinar o deslocamento vertical do ponto A Para que possamos calcular esse deslocamento vamos introduzir uma carga virtual de intensidade unitária sobre o ponto A atuando na mesma direção do deslocamento a ser determinado figura 7 Método da carga unitária 14 Figura 7 Aplicação do método de carga unitária Fonte Hibbeler 2013 O momento virtual interno m pode ser obtido a partir da aplicação do método das seções em uma posição arbitrária x do elemento na configuração de carga fornecida pela carga virtual Considerando o comportamento linear elástico toda a análise desenvolvida aqui só é válida a partir dessa condição a deformação angular do elemento de comprimento dx é dada por 𝑑𝜃 𝑀𝑑𝑥 𝐸𝐼 33 onde M é o momento fletor interno do elemento obtido pelo método das seções a partir da configuração real de cargas externas Desta maneira o trabalho virtual externo realizado pela carga unitária é igual a 1 e o trabalho virtual interno realizado pelo momento fletor interno é igual a 𝑚 𝑑𝜃 Uma vez que o trabalho virtual interno é definido em função do comprimento dx do elemento para determinar o trabalho ao longo de toda a viga ou pórtico é necessário realizar a integração ao longo de todo o comprimento da estrutura A equação que define o método da carga unitária para esse tipo de estrutura é dada por 1 𝑚𝑀𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐿 0 34 De maneira análoga se o objetivo for a determinação do ângulo de inclinação 𝜃 em um ponto A da estrutura um momento binário de intensidade unitária deve ser aplicado ao elemento figura 8 Método da carga unitária 15 Figura 8 Momento virtual aplicado à estrutura Fonte Hibbeler 2013 Nesse caso a equação do método de trabalhos virtuais é dada por 1 𝜃 𝑚𝜃𝑀𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐿 0 35 onde 𝑚𝜃 é o momento fletor interno virtual desenvolvido em função do momento de binário virtual aplicado à estrutura Devemos lembrar que de acordo com o método das seções ou o método gráfico de análise estrutural utilizados em vigas a função de momento fletor apresenta descontinuidade em função da natureza do carregamento externo aplicado ao sistema Desta maneira a integração deve ser realizada entre quaisquer descontinuidades ao longo do comprimento L do elemento Entendemos como descontinuidade do carregamento externo como a presença de carga concentrada força ou momento início e término de um carregamento distribuído mudança na função do carregamento distribuído entre outros Vamos agora aplicar esses conceitos a um exemplo prático Considere o problema em que devemos determinar o deslocamento vertical da extremidade da viga engastada submetida a um carregamento distribuído uniforme figura 9 Vamos considerar que a viga é de aço E 200 GPa e que o momento de inércia da seção transversal da viga é igual a 500 x 106 mm4 Método da carga unitária 16 Figura 9 Viga sob ação de carregamento distribuído uniforme Fonte Hibbeler 2013 Vamos aplicar o método da carga unitária Para isso vamos considerar esse elemento de viga submetido apenas a uma carga concentrada de intensidade igual a 1kN aplicada no ponto B Nesse caso específico nem no carregamento virtual nem no carregamento real existem descontinuidades de carregamento Assim a análise feita pelo método das seções é válido ao longo de todo o comprimento do elemento Devemos calcular a partir dessa condição virtual de carregamento o momento fletor interno ao longo de todo o comprimento da viga Aplicando as equações de equilíbrio estático temos que 𝑀 1 𝑥 𝑚 0 𝑚 1 𝑥 36 No caso do método das seções aplicado para a condição real de carregamento temos que 𝑀 12 𝑥 𝑥 2 𝑀 0 𝑀 6 𝑥² 37 Aplicando os resultados obtidos na equação 34 podemos determinar o deslocamento vertical do ponto B O resultado obtido fornece 1 𝑚𝑀𝑑𝑥 𝐸𝐼 𝐿 0 1𝑥6𝑥2𝑑𝑥 𝐸𝐼 10 0 0150 𝑚 𝑜𝑢 150 𝑚𝑚 38 Método da carga unitária 17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALMEIDA M C F de Estruturas isostáticas São Paulo oficina de textos 2009 HIBBELER R C Estática Mecânica para engenharia 14 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2017 HIBBELER R C Análise das estruturas 8 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1980 SORIANO H L Análise de estruturas método das forças e método dos deslocamentos 2 ed Rio de Janeiro ciência moderna LTDA 2006