Metodo da Rigidez Direta - Analise Estrutural Matricial

MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA Gabriel de Sant Anna Vitor Barbieri MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA Gabriel de Sant Anna Vitor Barbieri 1 MÉTODO D A RIGIDEZ DIRETA INTRODUÇÃO Existem métodos de análise estrutural como o método da flexibilidade e o método da rigidez que consistem em uma análise da estrutura utilizando matrizes Esses métodos são conhecidos como métodos matriciais Embora esses métodos sejam bastante tediosos de serem aplicados à mão a utilização deles em computadores é bastante eficiente O método da rigidez consiste em uma análise da estrutura pela análise de deslocamento O método da flexibilidade por outro lado é um método de força A grande vantagem da utilização do método da rigidez em comparação com o método da flexibilidade é que a aplicação do método para sistemas estaticamente determinados e para estruturas estaticamente indeterminadas utiliza o mesmo procedimento No caso da utilização do método de força o procedimento é diferente para cada um dos casos A aplicação do método da rigidez começa com a subdivisão da estrutura em uma série de elementos finitos discretos Cada um dos pontos extremos desses elementos é chamado de nó No caso de uma treliça por exemplo cada elemento de barra é considerado um elemento finito utilizado para a aplicação do método e as juntas entre os elementos são os nós utilizados no método Para determinar os parâmetros desconhecidos da estrutura as propriedades de deslocamento de cada um dos elementos são determinadas e então os elementos são relacionados entre si utilizando as equações de equilíbrio de forças escritas nos nós Essas relações quando agrupadas em forma de matriz compõe a matriz de rigidez da estrutura K A partir da obtenção da matriz de rigidez os deslocamentos desconhecidos dos nós podem ser obtidos para qualquer carregamento imposto na estrutura Conhecendo os deslocamentos nos pontos específicos da estrutura as forças internas e externas podem ser calculadas utilizando as relações de forçadeslocamento para cada um dos membros da estrutura DETERMINAÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ A primeira etapa para a obtenção da matriz de rigidez da estrutura é identificar os elementos e os nós da subdivisão da estrutura Na figura 1 podemos ver um exemplo da identificação de cada um dos membros de uma treliça e seus respectivos nós Os números dentro de quadrados representam a numeração dos elementos da estrutura e os números dentro dos círculos representam os nós As flechas nos nós são utilizadas para representar os possíveis deslocamentos da estrutura e as flechas ao longo dos elementos representam a direção das extremidades próximas e afastadas de cada um dos elementos Figura 1 Membros e nós de uma treliça Fonte HIBBELER 2013 Como deslocamentos de forças são grandezas vetoriais é necessário um sistema de coordenadas que possibilite representar essas propriedades do sistema de maneira correta Na figura 1 podemos ver um sistema de referência utilizada para a estrutura como um todo Este sistema de coordenadas é chamado de sistema de coordenadas global Para especificar a carga e o deslocamento de cada um dos membros da estrutura definemse também sistemas de coordenadas locais figura 2 Nesse caso iremos definir o eixo x como eixo longitudinal do elemento direcionado do nó mais próximo ao nó afastado e o eixo y deve ser perpendicular ao eixo x Figura 2 Sistema de coordenadas local Fonte HIBBELER 2013 Como podemos observar na figura 1 em cada um dos nós foram representados os possíveis deslocamentos ou seja os graus de liberdade da estrutura Como a estrutura analisada tratase de um sistema coplanar de forças existem dois graus de liberdade para cada nó da estrutura que foram numerados de 1 a 8 Os graus de liberdade 1 a 5 são graus não restringidos pelos apoios da estrutura Já os graus de liberdade 6 7 e 8 são graus de liberdade restringidos e nesse caso o deslocamento deles deve ser igual a zero A matriz de rigidez K pode agora ser obtida a partir da matriz de rigidez K formulada para cada membro da treliça de acordo com o sistema de coordenadas local Para isso devese utilizar uma matriz de transformação de deslocamento e de forças Vamos agora desenvolver a matriz de rigidez de um membro da treliça utilizando o sistema de coordenadas local Antes de fazermos a análise de força e deslocamento de um membro de treliça devemos recordar que as forças internas desenvolvidas nos elementos de barra desse tipo de estrutura se resumem a cargas axiais tração ou compressão Desta maneira o deslocamento dos nós de um elemento da treliça devem ser na própria direção longitudinal do elemento eixo x A equação que fornece o deslocamento de um ponto de um elemento submetido à carga axial é dada por d qL AE 1 onde d representa o deslocamento do nó q a carga axial interna L o comprimento do elemento A a área da seção transversal do elemento e E o módulo de elasticidade iremos analisar apenas sistemas em regime elástico de deformação Uma vez que os deslocamentos devem ser apenas na direção do próprio elemento e pelo método da rigidez os deslocamentos são calculados nos nós da estrutura para um membro da treliça temos dois deslocamentos variáveis possíveis nó próximo e nó afastado Vamos utilizar aqui o princípio da superposição e considerar dois casos distintos um deslocamento positivo na extremidade próxima enquanto a outra extremidade permanece fixada e um deslocamento positivo na extremidade afastada enquanto a outra extremidade permanece fixada Podemos ver a ilustração desses dois casos nas figuras 3 e 4 respectivamente Figura 3 Deslocamento positivo no nó próximo Fonte HIBBELER 2013 Figura 4 Deslocamento positivo no nó afastado Fonte HIBBELER 2013 Ao somarmos esses dois casos figura 5 podemos obter o caso geral em que ambos os nós do elemento apresentam deslocamentos e forças Figura 5 Deslocamento nos dois nós do elemento Fonte HIBBELER 2013 Analisando matematicamente cada um dos casos mencionados temos que para o primeiro caso figura 3 as forças desenvolvidas nos nós devem ser iguais a q N AE L d N 2 a q F AE L d N 2b Para o segundo caso figura 4 temos que q N AE L d F 3a q F AE L d F 3b Somando os dois resultados para a obtenção das cargas atuando no caso geral figura 5 temos q N AE L d N AE L d F 4a q F AE L d N AE L d F 4b Essas duas últimas equações podem ser escritas na forma matricial como q N q F AE L 1 1 1 1 d N d F 5 a ou ainda q K d 5b onde K é a matriz de rigidez do membro da treliça em função do sistema de coordenadas local Essa matriz é semelhante para cada um dos membros da treliça e seus coeficientes são chamados de coeficientes de influência de rigidez do membro K é portanto igual a K AE L 1 1 1 1 6 A análise de forças obtida pela equação 5 foi feita em função de um sistema de coordenadas local Tendo em vista que uma treliça é composta por vários membros precisamos definir as cargas e os deslocamentos de todos os membros que compõe a treliça em função de um sistema de coordenadas global Vamos definir um método para fazer essa transformação de coordenadas do sistema Considere a treliça da figura 6 Se quiséssemos fazer a decomposição dos eixos locais do elemento central NF teríamos que definir os ângulos entre esses eixos x e y com os eixos do sistema de coordenadas global X e Y Os ângulos estão representados e seus respectivos cossenos que serão utilizados na transformação do sistema de coordenadas podem ser calculados numericamente por λ x cos θ x x F x N L x F x N x F x N ² y F y N ² 7a λ y cos θ y y F y N L y F y N x F x N ² y F y N ² 7 b onde x N y N representam as coordenadas do ponto N em relação ao sistema de coordenadas global e x F y F as coordenadas do ponto F L representa o comprimento total do elemento NF Figura 6 Treliça Fonte HIBBELER 2013 Agora que os cossenos dos ângulos formado entre os pares de eixos locais e globais foram definidos é possível fazer a transformação de coordenada Sabese que cada nó extremidade do membro de uma treliça tem dois graus de liberdade deslocamentos independentes Podemos isolar cada um desses deslocamentos conforme as figuras 7 e 8 Essas figuras representam o deslocamento da extremidade N do elemento NF ao longo do eixo x D Nx e ao longo do eixo y D Ny do sistema de coordenadas global Neste caso a extremidade afastada foi mantida fixa da A análise também é válida se a extremidade próxima N for mantida fixada e a extremidade afastada F se deslocar Ao somar os efeitos dos dois deslocamentos descritos nas figuras 7 e 8 e calcular o deslocamento do membro com relação a sua própria direção longitudinal d N eixo x temos que d N D Nx cos θ x D Ny cos θ y 8 O mesmo resultado é válido se a análise for aplicada ao nó F Neste caso sua deformação ao longo do eixo x é igual a d F D Fx cos θ x D Fy cos θ y 9 Figura 7 Deslocamento ao longo do eixo x Fonte HIBBELER 2013 Figura 8 Deslocamento ao longo do eixo y Fonte HIBBELER 2013 As equações 8 e 9 podem ser escritas em conjunto utilizando notação matricial A deformação das extremidades do elemento ao longo do seu próprio eixo x é igual a d N d F λ x λ y 0 0 0 0 λ x λ y D Nx D Ny D Fx D Fy 10 a Ou d TD 10b onde T λ x λ y 0 0 0 0 λ x λ y 11 T é a matriz que transforma os quatro deslocamentos D representados no sistema de coordenadas global nos dois deslocamentos locais d Essa matriz é chamada de matriz de transformação de deslocamento λ x e λ y são os cossenos de θ x e θ y respectivamente Uma análise muito parecida pode ser feita quando o objetivo é fazer a transformação da força que atua nos nós do elemento Na figura 9 é possível notar que a decomposição da força q N que atua na extremidade N ao longo das direções dos eixos x e y é igual a Figura 8 Força ao longo do eixo x Fonte HIBBELER 2013 Q Nx q N cos θ x 12a Q Ny q N cos θ y 12b O mesmo resultado é válido ao aplicar essas relações trigonométricas para uma força atuando ao longo da extremidade afastada F Escrevendo na forma matricial a relação de forças entre os sistemas de coordenadas é dada por Q Nx Q Ny Q Fx Q Fy λ x 0 λ y 0 0 λ x 0 λ y q N q F 13a o u Q T T q 13b onde T é a matriz de transformação de deslocamento É possível concluir que a matriz de transformação de força do sistema local para o sistema global é a transposição da matriz de transformação de deslocamento T Agora é possível relacionar os componentes de força global do membro Q com os seus deslocamentos no mesmo sistema de coordenadas D Se substituirmos a equação 10b na equação 5b temos que qKTD 14 Substituindo este resultado na equação 13b temos que Q T T KTD 15 Fazendo T T KT igual a K temos que QKD 16 onde K é a matriz conhecida por matriz de rigidez do membro em coordenadas globais Como T e K são matrizes conhecidas e fetuando as multiplicações matriciais para a obtenção dos coeficientes da matriz K temos que K AE L λ x 2 λ x λ y λ x 2 λ x λ y λ x λ y λ y 2 λ x λ y λ y 2 λ x 2 λ x λ y λ x 2 λ x λ y λ x λ y λ y 2 λ x λ y λ y 2 17 A matriz de rigidez da equação 17 é a matriz de rigidez obtida para apenas um membro da estrutura Quando mais de um membro é conectado ao mesmo nó da estrutura seus respectivos valores de rigidez devem ser somados para a obtenção da matriz de rigidez final da estrutura Para isso devese tomar cuidado com a posição dos valores nas matrizes de cada um dos elementos pois os termos com mesma localização na estrutura devem ser somados algebricamente Vamos entender melhor esse processo analisando uma treliça e obtendo a sua matriz global de rigidez Nosso objetivo é determinar a matriz de rigidez da treliça da figura 9 sabendo que o produto AE é constante Figura 9 Treliça de 6 elementos Fonte HIBBELER 2013 A primeira coisa a se fazer é enumerar cada membro da treliça e identificar na estrutura todos os seus graus de liberdade figura 10 Como a estrutura apresenta quatro nós ela irá apresentar oito graus de liberdade 2 graus de liberdade por nó portanto sua matriz de rigidez deverá ser uma matriz 8 x 8 Figura 10 Identificação dos elementos dos nós e dos graus de liberdade da treliça Fonte HIBBELER 2013 Facilitando a análise das coordenadas dos nós podemos considerar a origem do sistema global de coordenadas um ponto coincidente com o nó 1 desta maneira todas as coordenadas do sistema serão positivas Vamos determinar a matriz de rigidez para cada um dos membros da estrutura e depois somar os resultados obtidos para a formulação da matriz de rigidez global O elemento 1 elemento horizontal inferior tem comprimento igual a 10 metros Para o cálculo da sua matriz de rigidez é necessário determinar seus cossenos diretores Temos nesse caso que λ x cos θ x x F x N L 100 10 1 18a λ y cos θ y y F y N L 00 10 0 18b A matriz de rigidez desse elemento é igual a 19 Os números das colunas e das linhas por fora da matriz são números auxiliares utilizados apenas para identificar os graus de liberdade que estão sendo analisados pela matriz de rigidez Repetindo a análise para o elemento 2 temos λ x cos θ x x F x N L 100 10 2 0707 20a λ y cos θ y y F y N L 100 10 2 0707 20b A matriz de rigidez desse elemento é igual a 21 Repetindo a análise para o elemento 3 temos λ x cos θ x x F x N L 00 10 0 22a λ y cos θ y y F y N L 100 10 1 22b A matriz de rigidez desse elemento é igual a 23 Elemento 4 λ x cos θ x x F x N L 100 10 1 2 4 a λ y cos θ y y F y N L 1010 10 0 2 4 b A matriz de rigidez desse elemento é igual a 2 5 E lemento 5 λ x cos θ x x F x N L 100 10 2 0707 2 6 a λ y cos θ y y F y N L 010 10 2 0707 2 6 b A matriz de rigidez desse elemento é igual a 2 7 Por fim no elemento 6 temos λ x cos θ x x F x N L 1010 10 0 2 8 a λ y cos θ y y F y N L 100 10 1 2 8 b A matriz de rigidez desse elemento é igual a 2 9 Agora podemos somar algebricamente o resultado obtido para as matrizes de rigidez de cada elemento para determinar a matriz de rigidez global da estrutura Para isso basta somarmos os coeficientes com índices iguais O elemento K 11 da matriz por exemplo deve ser igual ao somatório de 01 com 0035 obtidos nas matrizes de rigidez do elemento 1 e do elemento 2 respectivamente A matriz global de rigidez dessa treliça é igual a KAE 0135 0035 0 0 0 01 0035 0035 0035 0135 0 01 0 0 0035 0035 0 0 0135 0035 0035 0035 01 0 0 01 0035 0135 0035 0035 0 0 0 0 0035 0035 0135 0035 0 01 01 0 0035 0035 0035 0135 0 0 0035 0035 01 0 0 0 0135 0035 0035 0035 0 0 01 0 0035 0135 30 ANÁLISE ESTRUTURAL PELO MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA Agora que a matriz de rigidez de uma estrutura já foi obtida é necessário entender como essa matriz pode ser utilizada para fazer a análise estrutural Através da matriz de rigidez de uma estrutura é possível determinar os esforços internos no caso de uma treliça as cargas axiais as reações nos apoios as deformações dos nós entre outros Exercício Calcule as reações de apoio e as forças em cada um dos elementos de barra da treliça da figura 11 Figura 11 Treliça do exercício proposto Fonte HIBBELER 2013 Por tratarse de uma estrutura hiperestática não é possível aplicar diretamente o método dos nós ou o método das seções para determinar todos os parâmetros desconhecidos do sistema Existem três equações de equilíbrio estático disponíveis e quatro forças desconhecidas Vamos utilizar então o método da rigidez direta Numerando os elementos e os graus de liberdade da estrutura conforme a figura 12 e utilizando o método descrito para a obtenção da matriz de rigidez da estrutura a matriz global de rigidez deve ser igual a Figura 12 Identificação dos elementos dos nós e dos graus de liberdade da treliça Fonte HIBBELER 2013 KAE 0405 0096 0333 0 0072 0096 0096 0128 0 0 0096 0128 0333 0 0333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0072 0096 0 0 0072 0096 0096 0128 0 0 0096 0128 31 A próxima etapa é resumir as informações que já são conhecidas da estrutura Por exemplo sabese que os deslocamentos dos graus de liberdade 3 4 5 e 6 devem ser iguais a zero devido às restrições dos apoios A carga aplicada aos graus de liberdade 1 e 2 devem ser iguais a 0 e 2 kN respectivamente Agora basta aplicar a equação 16 para fazer a análise estrutural Aplicando a relação Q KD temos 0 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 AE 0405 0096 0333 0 0072 0096 0096 0128 0 0 0096 0128 0333 0 0333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0072 0096 0 0 0072 0096 0096 0128 0 0 0096 0128 D 1 D 2 0 0 0 0 32 Se fizermos a multiplicação matricial iremos obter seis equações para seis incógnitas e os deslocamentos desconhecidos e as reações dos apoios podem facilmente ser obtidos Vamos primeiramente determinar os deslocamentos desconhecidos dos graus de liberdade 1 e 2 Resolvendo para as duas primeiras linhas do lado esquerdo da igualdade temos que 0AE0405 D 1 0096 D 2 33a 2AE0096 D 1 0128 D 2 3 3b O resultado desse sistema de equações nos indica que D 1 4504 AE e D 2 19003 AE Agora as reações dos apoios podem ser obtidas de maneira direta Efetuando a multiplicação matricial para cada uma das linhas da matriz do lado esquerdo da igualdade equação 32 temos Q 3 AE 0333 D 1 15 kN 34a Q 4 0 34b Q 5 AE 0072 D 1 AE 0096 D 2 15 kN 34c Q 6 AE 0096 D 1 AE 0128 D 2 20 kN 34d As forças desenvolvidas em cada um dos elementos da estrutura podem ser obtidas através da equação 14 Desta maneira para a treliça em questão temos Elemento 1 q 1 AE 3 1 0 1 0 1 AE 4505 19003 0 0 15 kN 35a Elemento 2 q 2 AE 5 06 08 06 08 1 AE 4505 19003 0 0 25 kN 35b O sinal negativo na equação 35a indica que a força interna desenvolvida no elemento 1 é uma força de compressão Do mesmo modo o sinal positivo na equação 35b indica que o elemento 2 está sob uma força de tração RE FERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALMEIDA M C F de Estruturas isostáticas São Paulo oficina de textos 2009 SORIANO H L Análise de estruturas método das forças e método dos deslocamentos 2 ed Rio de Janeiro ciência moderna LTDA 20 06 HIBBELER R C Análise das estruturas 8 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 HIBBELER R C Estática Mecânica para engenharia 14 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2017 SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 198 0 2 Método da rigidez direta