Metodo dos Deslocamentos - Analise Estrutural

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS Gabriel de Sant Anna Vitor Barbieri Método dos deslocamentos 2 1 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS INTRODUÇÃO As estruturas estaticamente indeterminadas podem ser analisadas tanto pelo método da força como pelo método do deslocamento O método da força consiste em identificar as forças redundantes desconhecidas indeterminação estática e a partir delas satisfazer as equações de compatibilidade da estrutura Para que as forças redundantes sejam determinadas nesse método é necessário expressar os deslocamentos em termos das cargas A solução dessas equações permite determinar as reações redundantes que passam a ser analisadas como cargas externas na aplicação das equações convencionais de equilíbrio estático Por fim todos os demais parâmetros do sistema podem ser determinados O método do deslocamento funciona com uma abordagem um pouco diferente Ao invés de determinarmos as forças redundantes primeiro vamos determinar os deslocamentos inicialmente Para isso os deslocamentos desconhecidos são escritos em função das cargas utilizando as relações forçadeslocamento e as equações obtidas são solucionadas para encontrar os deslocamentos HIBBELER 2013 Uma vez que os deslocamentos tenham sido determinados as cargas desconhecidas podem ser obtidas e por fim todos os demais parâmetros do sistema GRAUS DE LIBERDADE O conceito de graus de liberdade é muito importante para a aplicação do método do deslocamento O grau de liberdade de uma estrutura irá indicar a quantidade de equações necessárias para especificar completamente o deslocamento de uma estrutura De acordo com Hibbeler 2013 quando uma estrutura está carregada pontos específicos nela irão experimentar deslocamentos desconhecidos Esses pontos específicos são chamados de nós e os deslocamentos específicos de cada um desses pontos são chamados de graus de liberdade O grau de liberdade de uma estrutura é também definido como o grau de indeterminação cinemática de uma estrutura Método dos deslocamentos 3 Os nós de uma estrutura podem estar localizados na junção de dois ou mais membros da estrutura nas suas extremidades nos apoios ou ainda quando a seção transversal modificar de maneira repentina Tudo depende da maneira que as restrições ao deslocamento desses pontos são introduzidas na estrutura Recordando dos conceitos de estática em sistemas bidimensionais coplanares os deslocamentos podem ser lineares em duas direções e rotacional com relação ao eixo perpendicular ao plano Já sistemas espaciais tridimensionais os nós podem se deslocar em três direções tanto na translação como na rotação Vamos analisar duas configurações de vigas distintas para podemos determinar os graus de liberdade de cada estrutura Vamos iniciar analisando a viga da figura 1 Esta viga está sob a ação de uma carga externa vertical P e é apoiada em B por um engaste e em A por um pino Sabemos que o engaste é um tipo de apoio que impede completamente qualquer deslocamento do ponto B Já o pino em A e devido à natureza da carga externa impede apenas os deslocamentos vertical e axial do nó permitindo uma rotação desse ponto da estrutura Dessa maneira o grau de liberdade dessa viga é igual a 1 e esse é o índice de indeterminação cinemática dela Figura 1 Viga hiperestática Fonte HIBBELER 2013 Agora vamos analisar a estrutura da figura 2 Tratase uma viga biapoiada com uma extremidade em balanço sob ação de uma carga externa P O elemento estrutural está apoiado por um pino em A e B Os nós dessa estrutura são os pontos A B e C Sabemos que o apoio fixo restringe apenas os deslocamentos lineares dos nós Desta maneira os deslocamentos dos nós A e B que são possíveis são seus deslocamentos rotacionais enquanto o nó C podese deslocar tanto por rotação como por translação Desprezando os efeitos dos deslocamentos axiais da viga esta estrutura apresenta ao todo 4 graus de liberdade e este é o seu grau de indeterminação cinemática Método dos deslocamentos 4 Figura 2 Viga hiperestática Fonte HIBBELER 2013 Como mencionado anteriormente é muito importante identificar a quantidade de graus de liberdade de uma estrutura ou grau de indeterminação cinemática ou ainda de deslocamentos irrestritos pois estes serão as incógnitas da análise do sistema pelo método do deslocamento A partir da determinação dessas incógnitas o deslocamento geral da estrutura pode ser especificado e os demais parâmetros como forças esforços seccionais entre outros podem ser obtidas pelos métodos convencionais de análise estrutural MÉTODO DO DESLOCAMENTO INCLINAÇÃODEFLEXÃO O método da inclinaçãodeflexão é um método que estabelece uma relação entre a inclinação e a deflexão da estrutura causada pela ação de uma carga externa aplicada à estrutura Para ilustrar como o método funciona vamos considerar a viga da figura 3 Figura 3 Viga contínua Fonte HIBBELER 2013 Para a nossa análise vamos considerar que a seção transversal e o material da estrutura são constantes ao longo do vão AB e portanto o produto EI é constante onde E é o módulo de Young relacionado ao material da estrutura e I o momento de inércia da Método dos deslocamentos 5 área da seção transversal da viga calculado com relação ao seu eixo neutro Os sentidos dos momentos representados na figura serão adotados por convenção como positivos Nosso objetivo aqui é relacionar os momentos nos nós MAB e MBA com os graus de liberdade da estrutura Nesse caso os graus de liberdade são os deslocamentos rotacionais em A e B 𝜃𝐴 𝜃𝐵 e o deslocamento linear relativo entre os apoios As equações de inclinaçãodeflexão serão obtidas através do princípio da superposição considerando separadamente o momento desenvolvido em cada apoio devido a cada um dos deslocamentos irrestritos e devido às cargas externas HIBBELER 2013 Primeiramente vamos determinar os momentos no vão interno da viga em decorrência do deslocamento angular em A e B Vamos considerar a viga da figura 4 Podemos notar que o ponto A sofre um deslocamento rotacional enquanto o ponto B permanece fixo devido a restrição gerada pelo engaste É necessário então calcular o momento MAB necessário para causar esse deslocamento Para isso vamos utilizar o método da viga conjugada figura 5 Figura 4 Viga real Fonte HIBBELER 2013 Figura 5 Viga conjugada Fonte HIBBELER 2013 Método dos deslocamentos 6 Como o deslocamento linear das extremidades A e B da viga real deve ser igual a zero de acordo com os princípios de equilíbrio estático os momentos resultantes correspondentes nos nós A e B da viga conjugada devem ser nulos Desta maneira temos que 𝑀𝐴 0 1 2 𝑀𝐴𝐵 𝐸𝐼 𝐿 𝐿 3 1 2 𝑀𝐵𝐴 𝐸𝐼 𝐿 2𝐿 3 0 1 𝑀𝐵 0 1 2 𝑀𝐵𝐴 𝐸𝐼 𝐿 𝐿 3 1 2 𝑀𝐴𝐵 𝐸𝐼 𝐿 2𝐿 3 𝜃𝐴𝐿 0 2 Podemos fazer exatamente a mesma análise restringindo o deslocamento no nó A e permitindo apenas rotação do nó B As relações resultantes entre os momentos da parte interna do vão da viga e os deslocamentos rotacionais resulta em 𝑀𝐴𝐵 4𝐸𝐼𝜃𝐴 𝐿 3 𝑀𝐵𝐴 2𝐸𝐼𝜃𝐴 𝐿 4 𝑀𝐴𝐵 2𝐸𝐼𝜃𝐵 𝐿 5 𝑀𝐵𝐴 4𝐸𝐼𝜃𝐵 𝐿 6 Vamos agora determinar o momento gerado por um deslocamento linear relativo entre dois apoios Vamos considerar a viga real e a viga conjugada das figuras 6 e 7 Método dos deslocamentos 7 Figura 6 Viga real Fonte HIBBELER 2013 Figura 7 Viga conjugada Fonte HIBBELER 2013 No caso em que existe um deslocamento linear entre as duas extremidades então reações de momento e de força cortante irão surgir nas extremidades Nesse caso a força cortante tem a mesma intensidade e sentido oposto Transformando o sistema original em uma viga conjugada temos as duas extremidades livres uma vez que no sistema real as duas extremidades são fixas e um momento adicional que surge na extremidade B uma vez que essa extremidade sofre deslocamento Fazendo o somatório de momento em relação ao ponto B temos que 𝑀𝐵 0 1 2 𝑀 𝐸𝐼 𝐿 2 3 𝐿 1 2 𝑀 𝐸𝐼 𝐿 1 3 𝐿 0 7 Resolvendo a equação temos que 𝑀𝐴𝐵 𝑀𝐵𝐴 𝑀 6𝐸𝐼 𝐿² 8 Por fim vamos determinar o momento que é gerado pela ação de uma carga externa quando as extremidades estão fixas ou seja o momento gerado não se dá mais em função de um deslocamento irrestrito Vamos considerar a viga real figura 8 e sua respectiva viga conjugada figura 9 Nesse caso a viga real tem as duas extremidades engastadas livres de qualquer tipo de deslocamento e está sob a ação de uma carga concentrada P Método dos deslocamentos 8 Figura 8 Viga real Fonte HIBBELER 2013 Figura 9 Viga conjugada Fonte HIBBELER 2013 Devemos transformar esta carga concentrada em momentos equivalentes atuando nas extremidades do vão utilizando a viga conjugada Basta calcularmos o momento reativo que cada carga desenvolve nos nós HIBBELER 2013 Neste caso em questão temos que o somatório de forças na direção y deve ser nulo Logo 𝐹𝑦 0 1 2 𝑃𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 2 1 2 𝑀 𝐸𝐼 𝐿 0 𝑀 𝑃𝐿 8 9 Este momento é denominado momento de extremidade fixa MEF Pelo princípio da superposição o momento final obtido para cada extremidade do vão pode ser obtido através da soma dos momentos desenvolvidos em decorrência dos deslocamentos graus de liberdade da estrutura e do momento equivalente desenvolvido em virtude das cargas externas aplicadas ao vão Desta maneira os momentos resultantes nas extremidades do vão figura 3 podem ser escritos como 𝑀𝐴𝐵 2𝐸 𝐼 𝐿 2𝜃𝐴 𝜃𝐵 3 𝐿 𝑀𝐸𝐹𝐴𝐵 10 Método dos deslocamentos 9 𝑀𝐵𝐴 2𝐸 𝐼 𝐿 2𝜃𝐵 𝜃𝐴 3 𝐿 𝑀𝐸𝐹𝐵𝐴 11 De acordo com Soriano 2006 o método dos deslocamentos pode ser resumido em cinco etapas a Escolha do sistema principal e determinação dos graus de liberdade do sistema incógnitas primárias a serem determinadas b Cálculo dos esforços de engastamento momentos dos vãos devido aos deslocamentos e devido às cargas externas c Cálculo dos coeficientes de rigidez das barras e da estrutura d Montagem e resolução do sistema de equações para a determinação dos deslocamentos referidos e Obtenção dos esforços finais Vamos resolver um exemplo para entendermos a aplicação desse passo a passo com mais clareza Nosso objetivo agora é traçar os diagramas de esforços seccionais da viga representada na figura 10 Vamos considerar que 𝐸 21 107𝑘𝑁𝑚² Figura 10 Viga hiperestática Fonte SORIANO 2006 Devemos notar que nesse caso específico existe uma variação na geometria da seção transversal da viga uma vez que o momento de inércia não é constante ao longo de todo comprimento da estrutura Método dos deslocamentos 10 Podemos notar que a extremidade da esquerda é uma extremidade em balanço O modelo matemático de análise pode ser simplificado se excluirmos da representação a seção em balanço figura 11 desde que o momento e a carga gerada por essa seção sejam transferidos até o primeiro apoio Vamos determinar como incógnita primária a ser determinada a rotação do nó B figura 12 Figura 11 Modelo de viga equivalente Fonte SORIANO 2006 Figura 12 Incógnita primária a ser determinada Fonte SORIANO 2006 Agora devemos calcular os momentos de engastamento perfeito na extremidade B de cada uma das barras conforme figura 13 Figura 13 Vão analisados da estrutura Fonte SORIANO 2006 A aplicação das equações resulta em Método dos deslocamentos 11 𝑀𝐵1 𝑃𝑎𝑏 2𝐿2 𝐿 𝑏 𝑀 2 1005383 282 150 2 53906 𝑘𝑁 𝑚 12 𝑀𝐵2 𝑃𝐿² 8 206² 8 900 𝑘𝑁 𝑚 13 A configuração resultante de momento no nó B pode ser vista na figura 14 Figura 14 Momento resultante no nó B Fonte SORIANO 2006 Agora devemos calcular a rigidez de flexão em cada barra Temos que 𝑘1 3𝐸𝐼 𝐿 7875 104 14 𝑘2 3𝐸𝐼 𝐿 63 104 15 O coeficiente de rigidez da viga figura 15 é numericamente igual à força para impor d11 ao sistema principal e é obtido pela soma dos coeficientes de rigidez de flexão das barras SORIANO 2006 Figura 15 Coeficiente de rigidez da viga Fonte SORIANO 2006 Agora já podemos determinar o deslocamento angular do nó B chamado de d1 O produto do deslocamento angular com o coeficiente de rigidez 𝑘11 deve ser igual ao momento resultante no nó Logo Método dos deslocamentos 12 𝑘11 𝑑1 f1 14175 104 𝑑1 36094 𝑑1 25463 104 𝑟𝑎𝑑 16 Agora sim é possível determinar os momentos fletores nas extremidades do nó B sabendo que os esforços no estado original da estrutura podem ser obtidos pela relação 𝐸 𝐸0 𝑑1 𝐸1 17 podemos determinar os momentos resultantes nas extremidades do nó B conforme figura 16 Figura 16 Momentos fletores nas extremidades de B Fonte SORIANO 2006 Para traçarmos os diagramas de esforços seccionais resta apenas calcularmos as reações nos apoios Podemos calcular as reações nos apoios fazendo o somatório de momento no ponto B com relação à seção AB e BC iguais a zero O resultado dessa operação nos fornece que RA 1220 kN e RC 4747 kN Os diagramas de momento fletor e de força cortante podem ser visualizados nas figuras 17 e 18 respectivamente Método dos deslocamentos 13 Figura 17 Diagrama de momento fletor Fonte SORIANO 2006 Figura 18 Diagrama de força cortante Fonte SORIANO 2006 Para facilitar as análises existem tabelas que fornecem os resultados de MEF momento de extremidade fixa para várias configurações específicas de carregamento externo Um exemplo de tabela dessa natureza pode ser visto na figura 19 Método dos deslocamentos 14 Figura 19 Valores de MEF para algumas configurações de carga Fonte HIBBELER 2013 Até o momento fizemos todas as nossas análises em estruturas do tipo viga Vamos agora analisar o caso de pórticos indeslocáveis Pórticos indeslocáveis são estruturas que não se movem para os lados contanto que estejam adequadamente restringidos HIBBELER 2013 Vamos aplicar o método dos deslocamentos para analisar esse tipo de estrutura Nosso objetivo é traçar o diagrama de momento fletor para o pórtico indeslocável da figura 20 Dados EI é constante ao longo de toda estrutura Método dos deslocamentos 15 Figura 20 Pórtico hiperestático Fonte HIBBELER 2013 O pórtico é formado por três barras sem descontinuidades de carregamento entre as barras Dessa maneira três vãos devem ser considerados para a análise AB BC e CD Além disso existe carga externa aplicada apenas ao vão BC logo esse é o único vão a apresentar MEF Por fim devido às restrições de movimento e consequente ausência de movimentação lateral da estrutura sabemos que 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷e 𝜃𝐴 𝜃𝐷 0 Logo as equações de momento nas extremidades dos vãos e do MEF no vão BC são iguais a 𝑀𝐸𝐹𝐵𝐶 5𝑊𝐿2 96 52482 96 80 𝑘𝑁 𝑚 18 𝑀𝐸𝐹𝐶𝐵 5𝑊𝐿2 96 52482 96 80 𝑘𝑁 𝑚 19 Aplicando as equações 10 e 11 aos vãos e fazendo as devidas simplificações temos que 𝑀𝐴𝐵 2 𝐸𝐼 12 20 𝜃𝐵 30 0 01667𝐸𝐼𝜃𝐵 20 𝑀𝐵𝐴 2 𝐸𝐼 12 2𝜃𝐵 0 30 0 0333𝐸𝐼𝜃𝐵 21 𝑀𝐵𝐶 2 𝐸𝐼 8 2𝜃𝐵 𝜃𝐶 30 80 05𝐸𝐼𝜃𝐵 025𝐸𝐼𝜃𝐶 80 22 Método dos deslocamentos 16 𝑀𝐶𝐵 2 𝐸𝐼 8 2𝜃𝐶 𝜃𝐵 30 80 05𝐸𝐼𝜃𝐶 025𝐸𝐼𝜃𝐵 80 23 𝑀𝐶𝐷 2 𝐸𝐼 12 2𝜃𝐶 0 30 0 0333𝐸𝐼𝜃𝐶 24 𝑀𝐷𝐶 2 𝐸𝐼 12 20 𝜃𝐶 30 0 01667𝐸𝐼𝜃𝐶 25 O conjunto de seis equações equações 20 a 25 apresenta oito incógnitas 6 momentos e dois deslocamentos rotacionais Desta maneira se faz necessário a inclusão de mais duas equações para que o sistema tenha solução possível e determinada As duas equações adicionais serão obtidas a partir do equilíbrio de momento nos nós B e C conforme figura 21 Iremos desconsiderar o momento gerado por forças cortantes por admitir que a seção tem dimensões desprezíveis Dessas duas equações temos que Figura 21 Equilíbrio de momento nos nós B e C Fonte HIBBELER 2013 𝑀𝐵 0 𝑀𝐵𝐶 𝑀𝐵𝐴 0 26 𝑀𝐶 0 𝑀𝐶𝐷 𝑀𝐶𝐵 0 27 Podemos substituir o resultado encontrado na equação 26 nas equações 21 e 22 e da equação 27 nas equações 23 e 24 Encontraremos assim duas equações em função somente dois deslocamentos rotacionais dos nós B e C Resolvendo esse sistema de duas equações e duas incógnitas obtemos Método dos deslocamentos 17 𝜃𝐵 𝜃𝐶 1371 𝐸𝐼 28 Substituindo o resultado encontrado nas equações dos momentos nas extremidades dos vãos temos que 𝑀𝐴𝐵 229 𝑘𝑁 𝑚 29 𝑀𝐵𝐴 457 𝑘𝑁 𝑚 30 𝑀𝐵𝐶 457 𝑘𝑁 𝑚 31 𝑀𝐶𝐵 457 𝑘𝑁 𝑚 32 𝑀𝐶𝐷 457 𝑘𝑁 𝑚 33 𝑀𝐷𝐶 229 𝑘𝑁 𝑚 34 Utilizando os resultados obtidos podemos traçar o diagrama de momento fletor em toda a extensão da estrutura O resultado obtido pode ser visualizado na figura 22 Método dos deslocamentos 18 Figura 22 Diagrama de momento fletor para o pórtico Fonte HIBBELER 2013 Método dos deslocamentos 19 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALMEIDA M C F de Estruturas isostáticas São Paulo oficina de textos 2009 HIBBELER R C Estática Mecânica para engenharia 14 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2017 HIBBELER R C Análise das estruturas 8 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 SORIANO H L Análise de estruturas método das forças e método dos deslocamentos 2 ed Rio de Janeiro Editora ciência moderna LTDA 2006 SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1980