Metodo dos trabalhos virtuais - Introducao e analise estrutural

MÉTODO DOS TRABALHOS VIRTUAIS Gabriel de Sant Anna Vitor Barbieri Método dos trabalhos virtuais 2 1 MÉTODO DOS TRABALHOS VIRTUAIS INTRODUÇÃO Uma análise de comportamento de uma estrutura consiste em relacionar os carregamentos externos aos quais ela estará submetida com o seu deslocamento com as tensões geradas no interior do elemento e com as reações de apoio que serão desenvolvidas Para que essa relação seja estabelecida é necessário desenvolver um modelo matemático do sistema e determinar os parâmetros que desejamos a partir desse modelo Um modelo matemático consiste em uma equação ou conjunto de equações matemáticas que definem o comportamento do sistema Esses modelos são obtidos através de hipóteses simplificadoras que podem ser feitas no sistema sem desviar muito do seu comportamento real e também a partir do comportamento do material obtido via ensaios utilizado na estrutura A partir do momento que os esforços internos o deslocamento e as reações de apoio são determinados é possível proceder com a análise estrutural Sabese que um dos principais fatores de um projeto estrutural é garantir que as tensões que são geradas no elemento a partir de determinada configuração de carregamento externo não exceda certos limites admissíveis Se forem conhecidas as forças externas as forças internas podem ser obtidas através do método das seções Como existe uma relação entre essas forças internas e as tensões que surgem no material podemos modificar alguns parâmetros do sistema para garantir que as tensões não ultrapassem as tensões definidas em projeto Das fórmulas que são desenvolvidas em resistência dos materiais sabemos que as tensões se relacionam diretamente com os esforços internos que são desenvolvidos e com a geometria da seção transversal de um elemento de barra Os esforços de cargas axiais e momentos fletores geram tensões normais enquanto momentos de torção e forças cisalhantes geram tensões de cisalhamento Logo é possível dimensionar a seção transversal da estrutura projetada de modo que garanta sua segurança operacional Já os deslocamentos se relacionam diretamente com o material utilizado através da lei de Hooke para o caso de sistemas que operam em regime elástico Dizemos que Método dos trabalhos virtuais 3 uma estrutura ou um sistema qualquer está em regime elástico quando após a remoção dos carregamentos externos que são aplicados ao sistema ele retorna a sua configuração inicial ou seja não ocorre deformação permanente Dessa maneira podemos selecionar um material adequado para cada aplicação específica A nossa análise aqui será feita para estruturas de barras As estruturas de barras se diferem das estruturas contínuas pois apresentam uma direção preponderante com relação às demais Exemplos de estruturas de barras são as vigas treliças pórtico grelhas entre outros Figura 1 Figura 1 Estruturas de barras Fonte Soriano 2006 Antes de começarmos a desenvolver os métodos que serão utilizados para analisar uma estrutura devemos entender como é feita a classificação das estruturas com relação a condição de seu equilíbrio estático Uma estrutura pode ser isostáticas hipostáticas e hiperestáticas Método dos trabalhos virtuais 4 Estruturas isostáticas são estruturas cujos vínculos com o meio apoios são estritamente os necessários para garantir o equilíbrio estático do sistema Estruturas hipostáticas são estruturas cujos vínculos com o meio apoios são insuficientes para manter o equilíbrio estático do sistema Estruturas hiperestáticas são estruturas cujos vínculos com o meio apoios são superabundantes ao equilíbrio estático do sistema Em outras palavras existem mais reações nos apoios do que o necessário para manter o equilíbrio do sistema Lembrando que quando se fala em equilíbrio estático estamos falando nas equações condições necessárias que devem ser satisfeitas para que o sistema não se encontre em translação e nem em rotação Para sistemas bidimensionais as condições de equilíbrio são duas somatório de forças atuando na estrutura deve ser igual a força nula e somatório de momento com relação a qualquer ponto da estrutura deve ser igual ao momento nulo Se fizermos a decomposição das forças nas direções cartesianas termos três equações ao todo uma vez que o somatório de forças pode ser desmembrado em duas equações somatório de forças em x e em y Para sistemas tridimensionais ao todo seis equações se fizermos a decomposição dos vetores nas direções cartesianas são as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio estático somatórios de forças em x y e z devem ser iguais a força nula e somatórios de momento com relação aos eixos x y e z devem ser iguais a um momento nulo TRABALHO Vamos agora definir o que é um trabalho de força na mecânica clássica e definir o conceito de trabalho virtual Em mecânica uma força F realiza trabalho somente quando o seu ponto de aplicação é submetido a um deslocamento Vamos visualizar melhor essa definição a partir da análise de uma barra de seção transversal constante sob a ação de uma carga Método dos trabalhos virtuais 5 axial de tração figura 2 Linicial e δ são respectivamente o comprimento inicial da barra e o deslocamento da sua extremidade alongamento devido a ação da força F Vamos considerar que a força está sendo aplicada de maneira gradativa a partir de uma intensidade zero até o seu valor final vamos desconsiderar forças de inércia e de amortecimento A nossa análise será restrita a materiais que apresentam comportamento linear elástico ou seja a deformação e a tensão do material se relacionam de acordo com a lei de Hooke 𝜎 𝐸 𝜀 1 onde 𝜎 é a tensão normal Pa 𝐸 é o módulo de elasticidade ou módulo de Young do material Pa e 𝜀 é a deformação do sistema definida por 𝜀 𝐿𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝐿𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐿𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝛿 𝐿𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 2 onde 𝐿𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 representa o comprimento inicial do elemento somado ao deslocamento de suas extremidades Figura 2 Elemento sob tração axial Fonte adaptado de Soriano 2006 Como o material está em comportamento linear elástico existe uma relação linear entre o deslocamento da extremidade inferior e a intensidade da força que está sendo aplicada Da mesma maneira de acordo com a lei de Hooke existe uma relação linear Método dos trabalhos virtuais 6 entre a tensão desenvolvida na seção transversal e a deformação do elemento Essas duas relações lineares podem ser representadas graficamente através dos diagramas de força alongamento figura 3 e diagrama de tensão deformação figura 4 Esse último diagrama é muito utilizado na engenharia para representar o comportamento dos diversos tipos de materiais Figura 3 Diagrama forçaalongamento Fonte adaptado de Soriano 2006 Figura 4 Diagrama tensãodeformação Fonte adaptado de Soriano 2006 onde F δ 𝜀 e 𝜎 representam parâmetros intermediários do sistema uma vez que a carga aumenta gradativamente O trabalho mecânico W da força F é definido matematicamente por Método dos trabalhos virtuais 7 𝑊 𝐹𝑑𝛿 𝛿 0 𝐹𝛿 2 3 É possível notar que essa equação define a área sob a função do diagrama força alongamento Como estamos analisando um sistema em regime linear elástico conforme já mencionado anteriormente a partir do momento da remoção da carga externa F o sistema irá retornar ao seu estado inicial ou seja o trabalho realizado será recuperado Esse fenômeno pode ser descrito através do princípio da conservação da energia Na verdade a aplicação de uma carga externa cria um estado de tensão no elemento nesse caso temos apenas tensões normais de tração e o trabalho fica armazenado como trabalho das forças internas que estão relacionadas com a tensão criada chamado trabalho de deformação ou energia de deformação Para quantificar essa energia temos que as forças em cada pequeno segmento da seção transversal são iguais ao produto das componentes de tensão pela área infinitesimal do segmento Ao somar todos esses componentes de força temos o esforço seccional ou esforço interno que é desenvolvido no elemento nesse caso específico temos apenas o esforço normal A energia de deformação do elemento é dada por 𝑈 𝐹𝛿 2 1 2 𝐹𝛿 𝐴𝐿𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑉 1 2 𝜎𝜀𝑑𝑉 4 onde V é o volume da barra e A é a área de sua seção transversal Podemos reescrever a equação 4 da seguinte forma 𝑈 𝑈𝑑𝑉 5 onde 𝑈 𝜎𝜀 2 é denominado energia de deformação por unidade de volume ou densidade de energia de deformação Podemos verificar que a energia total de deformação do sistema é igual a área sob a função do diagrama de tensãodeformação integrado no volume da barra A área sob o diagrama da figura 4 representa a densidade de energia de deformação Método dos trabalhos virtuais 8 Por fim podemos escrever o deslocamento da extremidade da barra com relação à outra extremidade como 𝛿 𝐹𝐿𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐸𝐴 6 Podemos fazer uma análise análoga a essa para sistemas submetidos a torção pura Considere uma barra de seção transversal circular sob a ação de um momento de torção T em uma de suas extremidades figura 5 Nesse caso o deslocamento do sistema é a rotação de uma extremidade com relação à outra chamado de ângulo de torção 𝜃 O trabalho W para esse tipo de sistema é definido como 𝑊 𝑇𝜃 2 7 Como sistemas sob torção apresentam tensões de cisalhamento 𝜏 e não tensões normais essas tensões surgem a partir da rotação de uma seção transversal sobre uma seção transversal adjacente a equação que define essa tensão em função do torque aplicado é dada por 𝜏 𝑇𝑟 𝐽 8 onde J representa o momento polar de inércia da área da seção transversal no caso de áreas circulares esse momento polar é aproximadamente igual a 𝜋 𝑟4 2 e r é o raio da seção Observase a partir da última equação que a distribuição de tensão é linear variando de 0 no centro do elemento até o seu valor máximo na máxima distância do centro que é igual ao raio Método dos trabalhos virtuais 9 Figura 5 Elemento sob torção Fonte Soriano 2006 Assim como no caso de sistema submetido à cargas normais a análise de sistemas sob torção estará limitada a sistemas que obedecem a lei de Hooke Para sistemas sob tensões de cisalhamento a lei de Hooke se torna 𝜏 𝐺 𝛾 9 onde G é o módulo de elasticidade transversal do material e 𝛾 é a deformação específica de cisalhamento Analisando os diagramas de momento de torçãoângulo de torção figura 6 e tensão cisalhantedistorção figura 7 podemos constatar que o trabalho é igual a área sob o primeiro diagrama e a densidade de energia é igual a área do segundo diagrama Nesse caso a densidade de energia é dada por 𝑈 𝜏 𝛾 2 10 Figura 6 Diagrama momento de torçãoângulo de torção Fonte Soriano 2006 Método dos trabalhos virtuais 10 Figura 7 Diagrama tensão cisalhantedistorção Fonte Soriano 2006 A unidade de trabalho no sistema internacional é o Joule J que equivale ao trabalho realizado por uma força de 1 Newton que se desloca 1 metro em sua direção Sistemas que estão sob a ação de mais de uma força concentrada ou momento podem ser analisados de acordo com o princípio da superposição Como a estrutura analisada está em regime de comportamento linear elástico os efeitos das cargas podem ser analisados separadamente e somados para a obtenção do efeito do conjunto de cargas sobre a estrutura Dessa maneira o trabalho realizado por esse conjunto de i forças é igual a 𝑊 1 2 𝐹𝑖𝛿𝑖 𝑖 11 Essa última equação é conhecida como teorema de Clapeyron Aplicando o mesmo princípio de superposição para a densidade de energia em um estado geral de tensão a densidade de energia de um elemento se apresenta como 𝑈 1 2 𝜎𝑥𝜀𝑥 𝜎𝑦𝜀𝑦 𝜎𝑧𝜀𝑧 𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧𝛾𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧𝛾𝑦𝑧 12 A derivada da energia de deformação em relação ao deslocamento do ponto de aplicação de uma força em determinada direção fornece a força correspondente Essa é a definição do primeiro teorema de Castigliano A derivada da energia de deformação em relação a uma força externa concentrada fornece o deslocamento do ponto de aplicação da força em sua própria direção Essa derivada constitui o segundo teorema de Castigliano Soriano 2006 TRABALHO VIRTUAL Método dos trabalhos virtuais 11 Vamos considerar um ponto material m em equilíbrio estático sob a ação de um conjunto de forças figura 8 Se o sistema está em equilíbrio então a resultante do somatório de forças é o vetor R que deve ser igual a força nula Figura 8 Sistema de ponto material Fonte Süssekind 1980 Agora vamos imaginar que esse ponto material sofra um deslocamento δ sem a aplicação de nenhuma outra força ao sistema Logicamente este deslocamento não pode ser explicado de maneira real uma vez que para que ocorra o deslocamento do ponto seria necessário a introdução de uma nova força atuando no sentido do deslocamento Chamaremos este deslocamento então como um deslocamento virtual A partir desse deslocamento virtual é possível definir então o conceito de trabalho virtual O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças que age em um sistema de ponto material quando ele sofre um deslocamento virtual δ é equivalente a 𝑤 𝑹 𝜹 SÜSSEKIND 1980 Em outras palavras podemos dizer que para um ponto material em equilíbrio o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais que atuam sobre o ponto quando este sofre um deslocamento virtual qualquer é nulo Este princípio é conhecido como princípio de dAlembert Uma vez que os corpos rígidos e corpos elásticos podem ser definidos como uma associação de infinitos pontos materiais os mesmos princípios dos trabalhos virtuais podem ser aplicados para esses sistemas Vamos agora aplicar os conceitos de deslocamentos e trabalhos virtuais para análise estrutural Consideremos uma viga de comportamento linear elástico sob a ação de um conjunto de forças perpendiculares ao seu eixo longitudinal figura 9 A aplicação dessas Método dos trabalhos virtuais 12 forças irá criar uma distribuição de tensão no interior do elemento geradas pela ação do momento fletor interno e da força cortante Sabemos que o momento fletor gera uma distribuição de tensão normal e a força cortante gera uma distribuição de tensão cisalhante A distribuição de tensão pode ser vista na figura 9 Figura 9 Viga sob a ação de um conjunto de forças Fonte Soriano 2006 Com relação ao deslocamento do elemento estrutural observemos a figura 10 Podemos ver em tracejado a configuração inicial do elemento e em traço contínuo a configuração do elemento após a aplicação do conjunto de forças Vamos assumir a partir dessa última configuração um deslocamento adicional do elemento gerado por um incremento infinitesimal das forças que atuam no sistema Figura 10 Deslocamento da viga sob ação de forças concentradas Fonte Soriano 2006 Uma vez que houve um deslocamento adicional à configuração final obtida a partir da aplicação inicial das forças houve um incremento associada à energia de deformação Esse incremento pode ser obtido pela análise da área adicional do diagrama de tensão deformação e é dado por Método dos trabalhos virtuais 13 𝑈 𝑈𝑑𝑉 𝜎𝑑𝜀 1 2 𝑑𝜎𝑑𝜀 𝑑𝑉 13 De maneira análoga o incremento das forças gera um trabalho adicional O trabalho do sistema é então definido por 𝑊 𝑃𝑖𝛿𝑖 1 2 𝑑𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 14 Esses deslocamentos fictícios virtuais geram deformações virtuais e o teorema dos deslocamentos virtuais pode ser definido por supondo em uma estrutura em equilíbrio estático um campo de deslocamentos virtuais o trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas SORIANO 2006 Rearranjando as equações 13 e 14 e fazendo as devidas simplificações temos que o teorema dos deslocamentos virtuais pode ser definido matematicamente por 𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 𝜎𝑑𝜀𝑑𝑉 15 Vamos aplicar os conceitos de trabalho virtual e deslocamento virtual para o cálculo das reações nos apoios de uma estrutura Vamos analisar o caso de uma viga biapoiada com uma extremidade em balanço Nosso objetivo é calcular as reações no apoio A da estrutura Podemos considerar um campo de deslocamentos virtuais figura 11 de maneira que o deslocamento causado pela força desconhecida que não desejamos calcular seja nulo Desta maneira aplicando a equação 15 temos que Método dos trabalhos virtuais 14 Figura 11 Viga sob ação de uma carga externa e campo de deslocamentos virtuais Fonte Soriano 2006 𝑅𝛿𝑅 𝑃𝛿𝑃 0 16 Por geometria temos que 𝛿𝑅 𝑎 𝛿𝑃 𝑏 17 Desta maneira temos que 𝑅𝛿𝑅 𝑃 𝑏 𝑎 𝛿𝑅 0 𝑅 𝑃𝑏 𝑎 18 O mesmo princípio pode ser utilizado para os cálculos de esforços seccionais esforços internos como momento fletor e força cortante A equação dos deslocamentos virtuais também pode ser escrita em função das resultantes de tensão sob a forma de esforços seccionais e as correspondentes de formações são os deslocamentos relativos das seções transversais adjacentes divididos pela distância infinitesimal entre eles Lembrando dos conceitos de resistência dos materiais temos quatro possíveis tipos de esforços seccionais esforço normal N momento fletor M força cortante V e momento de torção T E os deslocamentos relativos a cada um deles respectivamente serão dados por 𝛿 𝜑 𝜆 𝜃 A equação resultante será igual a 𝑃𝑖𝑑𝛿𝑖 𝑁𝑁 𝐸𝐴 𝑀𝑦𝑀𝑦 𝐸𝐼𝑦 𝑀𝑧𝑀𝑧 𝐸𝐼𝑧 𝑉𝑦𝑉𝑦 𝐺𝐴𝑣𝑦 𝑉𝑧𝑉𝑧 𝐺𝐴𝑣𝑧 𝑇𝑇 𝐺𝐽𝑑𝑥 19 onde E é o módulo de elasticidade longitudinal A é a área da seção transversal I é o momento de inércia calculado com relação ao eixo neutro da seção transversal G é o módulo de elasticidade transversal J é o momento polar de inércia e Av é a área efetiva de cisalhamento Método dos trabalhos virtuais 15 MÉTODO DA FORÇA UNITÁRIA A partir dos conceitos estudados até agora podese desenvolver vários métodos de análise estrutural Um desses métodos que é prérequisito para a utilização do método das forças é o método da força unitária O método da força unitária objetiva determinar o deslocamento de um ponto qualquer de uma estrutura de barra a partir de ações externas quaisquer Vamos ver como esse método funciona Suponhamos que o nosso objetivo seria determinar o deslocamento δ do pórtico da figura 12 A aplicação do método da força unitária exige que esboce um novo modelo da estrutura com uma força unitária sendo aplicado no local e no sentido do deslocamento desejado A partir das equações desenvolvidas pelo teorema dos deslocamentos virtuais e de sua derivação que é o teorema das forças virtuais temos que Figura 12 Pórtico plano Fonte Soriano 2006 Método dos trabalhos virtuais 16 Figura 13 Método da força unitária Fonte Soriano 2006 1 𝛿 𝑁𝑢𝑁 𝐸𝐴 𝑀𝑢𝑀 𝐸𝐼 𝑉𝑢𝑉 𝐺𝐴𝑣 𝑇𝑢𝑇 𝐺𝐽 𝑑𝑥 20 Onde os índices u indicam os esforços seccionais da estrutura com força unitária e os esforços sem o índice indicam os esforços obtidos da estrutura com o carregamento original A integral deve ser executada ao longo do comprimento de todas as barras da estrutura A equação 20 expressa o método da força unitária ou método de MaxwellMohr Para finalizar vamos resolver um exercício juntos Nosso objetivo agora é determinar o deslocamento transversal da extremidade livre da viga em balanço da figura 14 Figura 14 Viga sob ação de carregamento distribuído Fonte Soriano 2006 O método da força unitária exige que sejam determinados os esforços seccionais para o elemento na condição original de carregamento e para o caso em que fosse substituído o carregamento original por uma carga concentrada unitária agindo no ponto onde se quer determinar o carregamento extremidade em balanço Método dos trabalhos virtuais 17 Aplicando o método das seções para ambos os casos temos que as cargas seccionais em função de x são iguais a 𝑀𝑢 𝑥 𝑉𝑢 1 21 𝑀 𝑃𝑥² 2 𝑉 𝑝𝑥 22 Aplicando o método da força unitária eq 20 temos que o deslocamento da extremidade é igual a 1 𝛿 𝑃𝑥2 2 𝑥 𝐸𝐼 𝑙 0 𝑝𝑥 𝐺𝐴𝑣𝑑𝑥 𝑝𝑙4 8𝐸𝐼 𝑝𝑙2 2𝐺𝐴𝑣 23 Os termos da equação final são em função do material da viga da geometria da seção transversal do comprimento do elemento e da intensidade do carregamento distribuído uniforme Método dos trabalhos virtuais 18 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALMEIDA M C F de Estruturas isostáticas São Paulo oficina de textos 2009 HIBBELER R C Estática Mecânica para engenharia 14 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2017 SORIANO H L Análise de estruturas método das forças e método dos deslocamentos 2 ed Rio de Janeiro Editora ciência moderna LTDA 2006 SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1980