Integrais de Linha: Definições e Propriedades

Integral de Linha 2 Integrais de Linha Nesta aula definiremos uma integral que é semelhante à integral unidimensional exceto que ao invés de integrarmos sobre um intervalo a b integraremos sobre uma curva C Tais integrais são chamadas integrais de linha embora integrais de curva seria melhor terminologia Elas foram inventadas no começo do século XIX para resolver problemas que envolviam escoamento de fluidos forças eletricidade e magnetismo 3 Integrais de Linha Começamos com uma curva plana C dada pelas equações paramétricas x xt y yt a t b Se dividirmos o intervalo a b em n subintervalos ti 1 ti de igual tamanho e se fizermos xi xti e yi yti então os pontos correspondentes Pixi yi dividem C em n subarcos de comprimentos s1 s2 sn Integrais de Linha 5 Integrais de Linha Escolhemos um ponto qualquer no iésimo subarco Isso corresponde a um ponto em ti 1 ti Agora se f for uma função de duas variáveis cujo domínio inclui a curva C calculamos f no ponto multiplicamos pelo comprimento si do subarco e somamos que é semelhante à soma de Riemann 6 Integrais de Linha Em seguida tomamos o limite dessa soma e fazemos a seguinte definição por analogia com a integral unidimensional 7 Integrais de Linha Se f é uma função contínua então o limite na Definição anterior sempre existe e a fórmula seguinte pode ser empregada para calcular a integral de linha O valor da integral de linha não depende da parametrização da curva desde que a curva seja percorrida uma única vez quando t cresce de a para b Integrais de Linha no Espaço 9 Integrais de Linha no Espaço Suponhamos agora que C seja uma curva espacial suave dada pelas equações paramétricas x xt y yt z zt a t b Se f é uma função de três variáveis que é contínua em alguma região contendo C então definimos a integral de linha de f ao longo de C com relação ao comprimento de arco de modo semelhante ao feito nas curvas planas 10 10 Integrais de Linha no Espaço Calculamos essa integral utilizando uma fórmula análoga 11 11 Comprimento da curva C Tanto no caso da integral de linha no plano quanto no espaço se fxy1 respectivamente f x y z 1 obtemos que a integral de linha fornece o comprimento da curva C 12 12 Exemplo Calcule C y sen z ds onde C é a hélice circular dada pelas equações x cos t y sen t z t 0 t 2