Integrais Duplas sobre Regiões Gerais - Cálculo Diferencial e Integral III

Integrais Duplas sobre Regioes Gerais Ana Paula Chorobura UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS UFGD Calculo Diferencial e Integral III Ana Paula Chorobura 1 18 Na aula passada vimos o Teorema de Fubini que nos permite calcular inte grais duplas sobre retangulos Teorema de Fubini 18791943 Se f é continua no retangulo Rxy R axb cy dh entao b pd d pb fiends oP tenaex te yacay a c c a R Calcule J vsentonaa onde R 1 2 x 0 z R ms cran ede Calcule J senor onde R 1 2 x 0 z R ay Determinar o volume do sdlido S que é wl limitado pelo paraboloide eliptico x 28 Se 2y z 16 pelo planos x 2ey 2 4 Sr e pelos trés planos coordenados ro 22 x Para as integrais de funcoes de uma variavel real a regiao sobre a qual integramos e sempre um intervalo Porem para integrais duplas queremos integrar a funcao f nao somente sobre retˆangulos como tambem sobre uma regiao D de forma mais geral Consideraremos dois tipos de regioes planas Ana Paula Chorobura 4 18 Regiao do Tipo I Uma regiao plana D e dita do tipo I se for a regiao entre o grafico de duas funcoes contınuas de x ou seja D x y R2a x b g1x y g2x onde g1 e g2 sao contınuas em a b Ana Paula Chorobura 5 18 Se f 6 continua em um regido D do tipo tal que D xy Rax b gx y g2x entao b pgex fx ydA f x ydydx a Jgix D Regiao do Tipo II Uma regiao plana D e dita do tipo II se for a regiao entre o grafico de duas funcoes contınuas de y ou seja D x y R2c y d h1y x h2y onde h1 e h2 sao contınuas em c d Ana Paula Chorobura 7 18 Se f 6 continua em um regido D do tipo II tal que DxyRleyd my x my entao d hoy fxydA fx ydxdy c Jhmy D Calcule J oe 2ydA onde D é a regiao limitada pelas pardbolas D y 2xey14x Calcule J oe 2ydA onde D é a regiao limitada pelas pardbolas D y 2xey14x Calcule xydA onde D é a regiao limitada pela reta y xle D pela pardbola y 2x 6 Suponha que queiramos calcular uma integral dupla fx ydA onde R R é uma das regides abaixo y y rty1 ey4 0 2 2 x vyl Em qualquer dos casos a descriao de R é complicada em coordenadas retangulares mas a descricao de R fica mais facil utilizandose coordenadas polares Lembrese de que as coordenadas polares r θ de um ponto estao relacionadas com as coordenadas retangulares x y pelas equacoes r2 x2 y2 x r cos θ y r senθ Ana Paula Chorobura 11 18 Exemplo 3 Descreva a regiao R das seguintes figuras em coordenadas retangularescartesianas e em coordenadas polares Ana Paula Chorobura 12 18 Mudanga para coordenadas polares em uma integral dupla Se f 6 continua no retangulo polar R dado por Rr0arba6 ff entao B pb fx ydA frcos6r senOr dr dé R a a Exemplo 4 Determine o volume do solido limitado pelo plano z 0 e pelo paraboloide z 1 x2 y2 Ana Paula Chorobura 14 18 Area de Superfıcies Ana Paula Chorobura 15 18 Area de Superficies A area da superficies com equado z fxy xy D onde as derivadas parciais f e fy sao continuas é as ff VleCoP Kyle yP 144 D Exemplos 5 Determine a area da parte do paraboloide z x2 y2 que esta abaixo do plano z 9 Ana Paula Chorobura 17 18 Exemplos 6 Determine a area de superfıcie da parte da superfıcie z x2 2y que fica acima da regiao triangular T no plano xy com vertices 0 0 1 0 e 1 1 Ana Paula Chorobura 18 18