Integral Dupla: Definição e Cálculo de Volume

Integral Dupla Ana Paula Chorobura UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS UFGD Calculo Diferencial e Integral III Ana Paula Chorobura 1 23 A area sob uma curva A tentativa de resolvermos o problema de determinar areas nos levou a definicao de integral definida Ana Paula Chorobura 2 23 O limite da soma das areas dos retˆangulos Ana Paula Chorobura 3 23 O limite da soma das areas dos retˆangulos Ana Paula Chorobura 4 23 O limite da soma das areas dos retˆangulos Ana Paula Chorobura 5 23 O limite da soma das areas dos retˆangulos Ana Paula Chorobura 6 23 O limite da soma das areas dos retˆangulos Ana Paula Chorobura 7 23 O limite da soma das areas dos retˆangulos Ana Paula Chorobura 8 23 O limite da soma das areas dos retˆangulos Ana Paula Chorobura 9 23 O limite da soma das areas dos retˆangulos Ana Paula Chorobura 10 23 Se fx é definida em um intervalo a b comecamos subdividindo o intervalo a b em n subintervalos x1 xj de comprimento igual Ax b ane escolhemos pontos c em cada um desses subintervalos Assim formamos a soma de Riemann do Fc Ax i1 e tomamos o limite dessa soma quando n oo para obter a integral definida em a b da funcdo f b n fxdx lim fcAx Flade Jim Yo Fa ax i1 Quando fx 0 a integral fornece a drea desta fundo acima do eixo x entrex aexb b Quando fx 0 temos que fxdx 0 e terd o valor oposto ao da a area entre o grafico e o eixo das abscissas T Qr v Volume de um solido Aplicaremos um procedimento semelhante para calcular o volume de um solido e este processo nos levara a definicao de integral dupla Vamos considerar uma funcao f de duas variaveis definida em um retˆangulo fechado R a b c d Vamos inicialmente supor que f x y 0 O grafico de f e a superfıcie com equacao z f x y Seja S o solido que esta acima da regiao R e abaixo do grafico de f isto e S x y z R3 0 z f x y x y R Ana Paula Chorobura 13 23 Volume de um solido Aplicaremos um procedimento semelhante para calcular o volume de um solido e este processo nos levara a definicao de integral dupla Vamos considerar uma funcao f de duas variaveis definida em um retˆangulo fechado R a b c d Vamos inicialmente supor que f x y 0 O grafico de f e a superfıcie com equacao z f x y Seja S o solido que esta acima da regiao R e abaixo do grafico de f isto e S x y z R3 0 z f x y x y R Ana Paula Chorobura 13 23 Nosso objetivo e determinar o volume de S Dividimos R em subretˆangulos isto e dividimos a b e c d em n e m partes iguais de maneira que x b a n e y d c m Cada um dos mn retˆangulos Rij tem area xy A Tomamos um ponto amostral x ij y ij dentro de Rij Ana Paula Chorobura 14 23 Com cada x ij y ij em Rij poderemos aproximar a parte de S que esta acima de cada Rij por uma caixa retangular fina com base Rij e altura f x ij y ij O volume de cada caixa e dado pela sua altura vezes a area do retˆangulo da base Vij f x ij y ij A Ana Paula Chorobura 15 23 e O volume do solido S pode ser estimado somandose todos os volumes Vj isto é n m OK Ve F xj Vij JAA i1 jl z fx y mz csSt ks eS ae ot eal a d 2 I A ap x Sas Esta aproximacao tornase melhor a medida que m e n crescem isto é se fizermos n m oo teremos o volume exato do sdlido S n m V lim lim y y f xij Vij JAA noo m0o i1 j1 Definicao Integral Dupla em retangulos A Integral Dupla de f sobre o retangulo R é dada por n m FxydA lim lim So fxq Vj AA RB i1 j1 Observacao Se o limite anterior existe dizemos que fx y é integravel Em cursos avancados provase que toda funao continua é integravel Volume de solidos Pelo raciocinio desenvolvido aqui podemos afirmar que o volume do sdlido abaixo da superficie z fx y e acima do retangulo R é calculado por V fx ydA R desde que fxy 0 em R e fren gx ydA fxydA J eesnaa R R R e l cfxydA c I Fx ydA Se fxy gxy Vx y R entao fx ydA J eens R R Calculo de integrais duplas Para calcular uma integral dupla cuja regiado de integracao é um retangulo integramos uma variavel mantendo a outra constante e depois integramos a variavel remanescente assim br ed fx ydA Fl yay dx R a c ou dr rb fx ydA Fl yc dy c a R Calculo de integrais duplas Para calcular uma integral dupla cuja regiado de integracao é um retangulo integramos uma variavel mantendo a outra constante e depois integramos a variavel remanescente assim br ed Foonaa tonay a a iG R ou dr rb fx ydA Fl yc dy iG a R Na primeira integral resolvemos a integral entre integrando em y e mantendo x como constante Depois integramos o resultado em x Calculo de integrais duplas Para calcular uma integral dupla cuja regiado de integracao é um retangulo integramos uma variavel mantendo a outra constante e depois integramos a variavel remanescente assim br pd fx ydA Fl yay dx a Cc R ou dr pb Foonaa tonax iG a R Na primeira integral resolvemos a integral entre integrando em y e mantendo x como constante Depois integramos o resultado em x Na segunda integral resolvemos a integral entre integrando em x e mantendo y como constante Depois integramos o resultado em y Teorema de Fubini 18791943 Se f é continua no retangulo Rxy R axb cy dh entao b rd d rb fends OP tenaex re yaxay a Cc c a R Exemplos 3 2 2 73 Calcule o valor das integrais x ydydxe x ydxdy 0 JI 1 Jo 3 2 2 73 Calcule o valor das integrais x ydydx e x ydxdy 0 Jt 1 JO Calcule a integral dupla o 3ydA onde R RxyOx 2 1y 2 3 2 2 73 Calcule o valor das integrais x ydydx e x ydxdy 0 Jt 1 JO Calcule a integral dupla o 3ydA onde R RxyOx 2 1y 2 Calcule J senor onde R 1 2 x 0 z R Exemplos 3 2 2 73 Calcule o valor das integrais x ydydx e x ydxdy 0 JI 1 Jo Calcule a integral dupla o 3ydA onde R RxyOx 2 1y 2 Calcule J senor onde R 1 2 x 0 z R Determinar o volume do sélido S que é 1 S limitado pelo paraboloide eliptico x is eS 2y z 16 pelo planos x 2ey 2 4 ee e pelos trés planos coordenados 22 x y