Integral Tripla: Definições e Teoremas

Integral Tripla Ana Paula Chorobura UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS UFGD Calculo Diferencial e Integral III Ana Paula Chorobura 1 6 Integral Tripla Assim como definimos integrais unidimensionais para funcoes de uma unica variavel e duplas para funcoes de duas variaveis vamos definir integrais triplas para funcoes de trˆes variaveis Trataremos o caso mais simples quando f e definida em um bloco retangular B a b c d r s Dividimos B em subcaixas Bijk xi1 xiyj1 yjzk1 zk Ana Paula Chorobura 2 6 Definiao A Integral Tripla de f sobre o bloco retangular B B a b x cd x rs ou Bxyzaxbcydrzs é dada por I om on ok ok JL Fosyzav fim tim tim SS 9 Fis yj 2D AV B i1 j1 k1 se esse limite existir Observacao Seo limite anterior existe dizemos que fx yz é integravel e Em cursos avancados provase que toda funcao continua é integravel Teorema de Fubini para Integrais Triplas Se f é continua em um bloco retangular Bxyz R3 laxb cydrzs entao s pd eb FlxyzdV fx y zdxdydz r Cc a B A integral iterado do lado direito do Teorema de Fubini indica que primeiro integramos em relacdo a x em seguida integramos em relacdao a y e final mente em relacao a z Existem outras cinco ordens possiveis de integracdo fornecendo o mesmo resultado Por exemplo podemos integramos em relacdo a y entao em relacdo a z e depois em relacao a x Calcule ff xyzdV onde B 0 bloco retangular dado por B BxyzO0x1 ly20z3 Calcule ff xyzdV onde B 0 bloco retangular dado por B BxyzO0x1 ly20z3 Calcule ff xdV onde B é dado por B 01 x 02 x 13 B Calcule ff xyzdV onde B 0 bloco retangular dado por B BxyzO0x1 ly20z3 Calcule ff xdV onde B é dado por B 01 x 02 x 13 B 1 plx2 p2x2y 8 Calcule dzdydx 0 Jx2 0 Calcule ff xyzdV onde B 0 bloco retangular dado por B BxyzO0x1 ly20z3 Calcule ff xdV onde B é dado por B 01 x 02 x 13 B 1 plx2 p2x2y 8 Calcule dzdydx 0 Jx2 0 Calcule ff zdV onde E é 0 tetraedro sdlido limitado pelos planos E x0y0z0Oexyz1 Aplicacao da Integral Tripla no calculo de volumes A integral tripla abaixo representa o volume do sdlido E VE I dV E