Aula 03: Medidas de Posição e Tendência Central

Probabilidade e Estatistica Medidas de posicdao ou de tendéncia central e as separatrizes 2 55 85 5 Vamos dar inicio a Aula 03 Nesta aula veremos as medidas de posiéo mais importantes que sio as medidas de tendéncia central que como o proprio nome ja diz os dados observados tendem em geral a se agrupar em torno dos valores centrais Dentre as medidas de tendéncia central estudaremos a média aritmética a mediana e a moda Vamos iniciar entao analisando os objetivos e verificando as segdes que serao desenvolvidas ao longo desta aula Bom trabalho bo Bons estudos OT ST oe Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocés serao capazes de identificar medidas de posigao ou de tendéncia central conceituandoas e exemplificandoas determinar a média aritmética a moda e a mediana de uma amostra determinar medidas de posigaéo com dados agrupados identificar as separatrizes conceituandoas e exemplificandoas determinar os quartis os decis e os percentis resolver problemas envolvendo as separatrizes 19 Seções de estudo 1 Conceito e cálculo da média aritmética 1 Conceito e cálculo da média aritmética 2 Conceito e cálculo da moda 3 Conceito e cálculo da mediana 4 Cálculo da média aritmética moda e mediana com dados agrupados e com intervalos de classe 5 As separatrizes Nesta Seção iremos ver o conceito e o cálculo da média aritmética e a construção de uma tabela de frequência Bons estudos Vamos iniciar verificando o conceito de Cálculo da média aritmética x Média aritmética é o resultado da divisão da soma dos valores pelo número de elementos somados Vocês querem saber como devemos proceder para calcular a média aritmética Simples pessoal Vamos lá Para calcularmos a média de um conjunto de valores fazemos a soma desses valores e dividimos número total deles Portanto onde é a média aritmética xi são os valores ou seja o somatório dos elementos e n o número de elementos Vejam o exemplo Exemplo Sabendo que a idade dos 10 funcionários de uma imobiliária é 23 40 20 18 19 45 36 21 42 18 Para calcularmos a média devemos proceder da seguinte maneira somamos todos os valores e dividimos por 10 que é o número de pessoas pesquisadas x 23 40 20 18 19 45 36 21 42 18 10 x 282 10 x 282 anos Viram como é fácil Então vamos para a seção 2 2 Conceito e cálculo da moda Nesta seção iremos ver o conceito e o cálculo da moda Moda é o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados ou seja o que aparece mais vezes Então como eu faço para determinar a moda de uma amostra É simples pessoal Vejam o exemplo Usando a mesma série de valores 23 40 20 18 19 45 36 21 42 18 A moda nesse caso é 18 pois este aparece mais vezes Também pode existir um conjunto de valores que não tenha nenhum valor que aparece mais vezes Então esta série de valores não apresenta moda isto é é amodal A série de valores que apresenta dois ou mais valores modais é denominada bimodal Por exemplo se levarmos em consideração o conjunto de notas de 15 alunos 8 2 3 6 3 3 7 7 6 6 5 9 85 65 55 Como o 3 e o 6 aparecem três vezes dizemos que a série apresenta duas modas ou seja é bimodal E então Tudo bem até aqui Ficou claro para vocês como determinar a moda de uma amostra Então vamos adiante Vamos para a seção 3 3 Conceito e cálculo da mediana Nesta seção vamos ver o conceito e cálculo da mediana Mediana consiste no termo central de uma sequência de valores Parece simples mas Como proceder para calcular a mediana Como determinar a moda de uma amostra Fácil pessoal Para calcularmos a mediana devemos em primeiro lugar colocar os dados em ordem crescente como por exemplo utilizando a mesma série das idades 23 40 20 18 19 45 36 21 42 18 Colocamos a série em ordem crescente 18 18 1 9 20 21 23 36 40 42 45 Como o número de elementos é par para encontrarmos a mediana somamos e dividimos por dois os valores centrais Como os dois valores centrais são 21 e 23 somandoos temos 21 23 44 e dividindo por 2 temos 44 2 22 então a mediana é 22 ou seja Md 22 Atenção Se o número de elementos de um conjunto de notas for 193 Probabilidade e Estattstica 20 impat como Atencio Entao como calculamos a média aritmética quando os 8236337766598565 dados sao agrupados 55 colocados em ordem crescente Em primeiro lugar preenchemos uma nova coluna fixi 233355566665778859 e em seguida somamos os termos dessa nova coluna e usamos O valor central é o 6 porque divide 0 conjunto de notas formals g ae Ou Se oe em duas partes iguais Portanto 6 é a mediana Md 6 x 161 x 161cm Agora analisem com atengéo os exetcicios resolvidos 5 5 para fixat o contetdo desta aulall E agora Como a moda sera calculada Vejam como calcular a média aritmética a mediana e a Para calcularmos a moda com dados agrupados basta moda do conjunto a seguir procurarmos o valor da variavel de maior frequéncia ou 40 43 48 47 5265 3451 4041 39 43 22 seja na coluna fi procuramos o maior valor que no caso de exemplo é 11 O que quer dizer que sao 11 alunos que Para calcularmos a média aritmética somamos os valores possuem estaturas entre 158 e 162 cm da série e dividimos por 13 que o numero de dados A moda sera 0 ponto médio da classe ou seja 158162 320 160 N 40 43 48 47 52 653451 40 41 304 43422 2 2 13 Entao nesse exemplo a moda é 160 cm X 565 434615 aproximando temos 13 Agora fiquem atentos X 435 Nao ha necessidade de fazer calculos Basta vocé Para calcularmos a moda devemos observar qual valor Pegar 0 x correspondente ao maior f ou quais valores aparecem mais vezes na série Percebemos E 2c heul diana que 40 e 43 aparecem duas vezes Portanto temos duas agorar Lomo calcular a meciana mods ae é bimodal Pata calcularmos a mediana vocé faz ou seja 4 20 Entao o proximo passo é procurarmos na coluna F frequéncia Para calcularmos a mediana Md acumulada o primeiro valor maior do que 20 e esse valor na tabela O primeiro passo colocar os dados em ordem crescente do exemplo corresponde ao 24 Dizemos que a 3 classe é a classe mediana e para calcularmos 223439 404041 43 4347 4851 5265 o valor dessa mediana procedemos da seguinte forma Depois é 86 separalos em dois grupos iguais Md 158 2013 4 Como o 43 é 0 valor que fica no centto ou seja separa a 4 série em duas partes iguais é a mediana entao Md 158 44 4 Md 43 Md 158 254 logo Md 1605 4Gleulo damédiaaritmética moda med ia na com dados agru pados e Atengio para os passos que foram executados com intervalos de classe 1 Preencha a coluna da frequéncia acumulada Fi Vamos usaf a mesma tabela da Aula 04 2 Calcule 24 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLEGIO A e 3 Encontre na coluna Fi o valor imediatamente superior ao encontrado no 2 passo e essa seta a pif cess foe fom fal mi fa classe mediana 3 Encontre na coluna Fi o valor estaturas imediatamente superior ao encontrado no 2 passo c essa seri a classe mediana 12 t54ai58 9 156 0225 13 0325 1404 e 4 Pegue o valor de zs e diminua do elemento que vem antes ao da classe mediana ou seja anterior fa t62aies 8 164 0200 32 og00 1312 ao 24 Na coluna Fi esse valor corresponde ao 13 a seguir dividao pelo fi correspondente 11 e f 6 i7oaiva 3 172 0075 40 1000 516 multiplique oO pelo intervalo de classe 4 e 5 Some o resultado encontrado com o limite a inferior da classe que nesse caso 158 Fonte Estatistica facil CRESPO 2009 p 85 Entao temos 158 254 cujo resultado é 16054 cm 21 195 Classes estaturas 5 As separatrizes i ft 150 154 sans 2 a C sprio nome di did 158a 162 omo oO proprio nome Z essas me as separam oO Ta teat P32 conjunto numérico em partes iguais Dentre as separatrizes 4 1622 166 8 32 estudaremos 0 quartil que divide o conjunto de dados em 1664170 quatro partes iguais o decil em dez e o percentil em cem l 6 170a 174 pc in eat Conceito e célculo do quartil 51 ONCEl O Ca CU O O quar Fonte Estatistica facil CRESPO 2009 p 85 Vetemos agora O que significa QUARTIL Como vimos Para determinarmos os quartis usamos a mesma formula anteriormente a medida que divide 0 conjunto de dados em da mediana dados agrupados basta substituit 27 por DA quatto partes sendo K 0 numero do quartil 12 ou 3 2 4 Bons estudos Para determinar os quartis usamos a formula Lo Os quartis dividem 0 conjunto de dados em quatro Para calcularmos 0 Q1 vocé faz LXA ou seja 40 10 partes iguais 4 4 Entao o proximo passo procurarmos na coluna Fi frequéncia acumulada 0 primeiro valor maior do que 10 e Q Canal este valor na tabela do exemplo corresponde ao 13 Identificamos entao que a 2 classe é a classe do Q 0 25 50 15 100 para calcularmos esse valor procedemos da seguinte forma 1Preencha a coluna da frequéncia acumulada F Fonte Shiguti W A Shiguti V Apostila de Estatistica 2006 Disponivel nosite e 2 Calcule Rh 40 10 infufscbr Acesso em 19 fev 2018 4 4 3 Encontre na coluna FP frequéncia acumulada o Temos portanto trés quartis valor imediatamente superior ao encontrado no 2 QI primeiro quartil valor situado na série em que passo no caso é 13 essa sera a classe do Q 154 25 dos dados sao menores que ele e os 75 sao a 158 maiores e 4 Pegue o valor encontrado 10 diminua do Q2 segundo quartil valor coincide com a mediana elemento que vem antes ao da classe Q1 ou seja Q2Md antes do 13 Na coluna Fi esse valor corresponde Q3terceito quartil valor tal que 75 dos termos ao 4 a seguir dividao pelo fi correspondente 9 e sao menores que ele e 25 sao maiores multipliqueo pelo intervalo de classe 4 Como determinar o QUARTIL e 5 Some o resultado encontrado com o limite 1 Calculase a posicaéo da medida POS Qi 4 inferior da classe que nesse caso é 154 4 Onde 12 ou 3sa0 3 quartis Resolvendo temos 2 Pela Fi identificase a classe que contém o valor do Q 154 004 4 quartil classe Qi Basta dividir 0 total da amostra ou total da coluna fi por 4 e multiplicar pelo nimero do quartil 12 Q 154 8 4 ou 3 E apés encontrar esse resultado procure na coluna Fi o valor imediatamente superior a esse a classe onde se Q 154 266 logo Q 1567 cm encontra esse valor sera a classe do quartil procurado 3 Formula a ser usada Oi i POSOi Fiant h Pata calcularmos o Q2 coincide com a mediana fi fazemos a ou seja ae 20 Entao 0 proximo passo é Ptocurarmos na coluna Fi frequéncia acumulada 0 primeito Em que valor maior do que 20 e esse valor na tabela do exemplo n Tamanho da amostra ou numero de elementos cortesponde ao 24 li Limite inferior da classe do quartil Fi ant Frequéncia acumulada anterior a classe do quartil Dizemos que a 3 classe éa classe do Q e para calcularmos h Amplitude da classe do quartil esse valor procedemos da seguinte forma fi Frequéncia absoluta simples da classe do quartil Q 158 fou LS 4 imei il 7 Como calcular o Q primeiro quartil Q 158 Wa 4 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLEGIO As Q 158 254 logo Q 1605 cm Probabilidade e Estattstica 22 Atenc4o patra os passos que foram executados Be i a oS Be Bh Be Oe e 1 Calcule 20h 240 20 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 4 Fonte Shiguti W A Shiguti V Apostila de Estatistica 2006 Disponivel no site e 2 Encontre na coluna F frequéncia acumulada 0 infufsebr i is valor imediatamente superior ao encontrado no 2 oe calcula os decis d dida POS Di 2 culase a posicao da medida Di 4 passo no caso 24 e essa sera a classe do Q 158 Onde i 123456789 a 162 2 Pela coluna Fi identificase a classe que contém o valor 3 Pegue o valor encontrado 20 diminua do do decil classe Di elemento que vem antes ao da classe Q ou seja 3 Formula a ser usada Di 4 POSDi Fiant b antes do 24 Na coluna Fi esse valor corresponde Em que fi ao 13 a seguir dividao pelo fi correspondente 11 e n tamanho da amostra ou numero de elementos multipliqueo pelo intervalo de classe 4 I Limite inferior da classe do decil 4 Some o resultado encontrado com o limite Fi ant Frequencia acumulada anterior a classe do decil inferior da classe que nesse caso é 158 h Amplitude da classe do decil Entio temos 158 254 cujo resultado é 16054 fi Frequéncia absoluta simples da classe do decil pane 14 om y assesteuns eT 2 Li Classes estaturas 150 154 ee ate ovine po proces oa ee 38 30 Entao o préximo passo procurarmos na 2 coluna F frequéncia acumulada o primeiro valor 158a 162 maior do que 30 e este valor na tabela do exemplo 162 a 166 Ps fT corresponde 20 32 1664 170 Dizemos que a 4 classe a classe do Q e pata f 6 170a174 calcularmos esse valor procedemos da seguinte forma Peto Q 162 Or24 4 Fonte Estatistica facil CRESPO 2009 p 85 Q 162 4 Vamos calcular o D 3 decil dessa distribuigao de frequéncia Q 1623 logo Q 165 cm POS Di Hq Hse Atencio para os passos que foram executados Se o numero imediatamente superior a 12 é 13 a classe do D é a 2 classe entao 1 Calcule 3fi 120 30 4 D4 Fos Fiant h 2 Encontre na coluna F frequéncia acumulada o valor D 4 imediatamente superior ao encontrado no 2 passo no 37 DARI A caso 32 essa sera a classe do Q 162 a 166 re D 154 35 3 Pegue o valor encontrado 30 diminua do elemento D 1576 em que vem antes ao da classe Q ou seja antes do 32 Na 5 Le coluna Fi esse valor corresponde ao 24 A seguit dividao Calcule agora 0 7 decil pelo fi correspondente 8 e multipliqueo pelo intervalo POS 2740728 D 790 10 de classe 4 4 Some o resultado encontrado com o limite inferior da Se o valor imediatamente superior a 28 é 32 a classe do classe que nesse caso é 102 D éa 4 classe entio Entao temos 162 3 cujo resultado é 165 cm D 162 28244 Viram como é facil D 162 2 D 164 cm 52 Conceito e calculo do decil 3Conceitoe calculo dos percentis Nesta seao iremos ver 0 conceito e o calculo dos decis Denominamos percentis os valores que dividem a série Denominamos decis os valores que dividem a série em em 100 partes iguais 10 partes iguais Na coluna Fi 0 valor imediatamente superior a 34 é 37 P10 P20 P30 P4o P50P60 P70 Pso P90 entao a classe do P éa 5 classe fH Pos f POSP Fiant h 0 102030405060708090 100 fi oe 4 Como é a 5 classe o limite inferior é 166 Entao usando Fonte Shiguti W A Shiguti V Apostila de Estatistica 2006 Disponivel no site 4 formula temos infufscbr P 166 34324 85 5 Como calcular o percentil P 16616 P 1676 om 1 Calculase a posigéo da medida POS Di i i Onde i 12356979899 E simples pessoal 2 Pela Fi identificase a classe que contém o valor do Basta seguir passo a passo percentil classe Pi 3 Formula a ser usada Pi 4POSPi Fiant h Voces perceberam que para calcular a mediana Em que fi dados agrupados os quartis os decis e os percentis os n tamanho da amostra ou numero de elementos ptocedimentos sao basicamente os mesmos li Limite inferior da classe do percentil Viram como facil Fi ant Frequéncia acumulada anterior a classe do percentil h Amplitude da classe do percentil Retomando a aula fi Frequéncia absoluta simples da classe do percentil ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO COLEGIO A a iClassesestaturas fi Fi a 5 150154 Vamos recordar os topicos principais da nossa aula 2 ts4atss er ee 2 is4atss 83 158 a162 p 4 ie2aies P32 1622 166 8 32 1 Conceito e calculo da média aritmética 1668170 6 170a174 Nessa secdo vimos que para calcular a média devese Posse somat todos os valotes e dividir pelo numero total de dados Fonte Estatistica facil CRESPO 2009 p 85 2 Conceito e calculo da moda Vamos calcular o P35 35 percentil dessa distribuicéo Ani Nessa segdo vocés puderam observar que a moda é o de frequéncia POS P g35 valor que aparece mais vezes Uma amostra pode unimodal 00 uma moda bimodal duas modas ou mais e amodal nao POS P 4035 14 tem moda 100 Na coluna Fi o valor imediatamente superior a 14 é 24 3 Conceito e calculo da mediana aa entao a classe do P a 3 classe Nessa seco vimos que Mediana é o valor central ou we roe seja divide a série em duas partes iguais Para calcular a P 4 POSP Fiant h 35 fi mediana nao se deve esquecer de colocar os dados em ordem 3a Lo ee crescente Como é a 3 classe o limite inferior 6 158 Entio usando formula temos Ce cans 4 Calculo da média aritmética moda e mediana pa 158 14134 com dados agrupados e com intervalos de classe 35 ial P 158 036 5 35 Vimos nessa secao como calcular as trés medidas de P 15836 ou 1584 a 8 Posigao quando os dados sao apresentados em tabelas E 0 P85 como calcular 5 As separatrizes POS P 2 85 100 Nessa secao estudamos o quartil que divide o conjunto POS P 40 85 34 de dados em quatro partes iguais o decil em dez e o percentil 100 em cem partes iguais Probabilidade e Estatística 24 Atividades da Aula 03 Após terem realizado uma boa leitura dos assuntos abordados em nossa aula na Sala Virtual estão disponíveis os arquivos com as Atividades exercícios que deverão ser respondidas e enviadas CRESPO Antonio Arnot Estatística Fácil São Paulo Saraiva 2009 CASTANHEIRA N P Estatística aplicada a todos os níveis Curitiba Ibpex 2005 DOWING Douglas outros Estatística Aplicada São Paulo Saraiva2011 FONSECA Jairo Simon da Estatística Aplicada São PauloAtlas2011 MARTINS G de A DONAIRE D Princípios de estatística 3 ed São Paulo Atlas1999 NAZARETH H R de S Curso Básico de Estatística São Paulo Ática 2001 VIEIRA S Elementos de Estatística São Paulo Atlas 2009 LARSON Ron outros Estatística Aplicada São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 Vale a pena ler Disponível em wwwsomatematicacombr Disponível em wwwsaladomestrecom Disponível em httpwwwetjrs1combrintranet estatisticaApostilaapostilha8pdf Disponível em httpptscribdcom doc5591203237MEDIDASDEPOSICAOOUDE TENDENCIACENTRAL Disponível em httpportaldoprofessormecgov brfichaTecnicaAulahtmlaula20643 Disponível em httpwwwsomatematicacombr estatbasicapagina7php Disponível em wwwebahcombrcontent ABAAAAS4QAAmedidasseparatrizes Shiguti W A Shiguti V Apostila de Estatística 2006 Disponível no site infufscbr Vale a pena acessar Disponível em httpswwwyoutubecom watchvC4kn26gYwI0 vídeos separatrizes Vale a pena assistir Vale a pena Minhas anotações 198