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Arquitetura e Urbanismo ·
Geometria Analítica
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Matrizes e Espaços Vetoriais Diretor Executivo DAVID LIRA STEPHEN BARROS Gerente Editorial ALESSANDRA FERREIRA Projeto Gráfico TIAGO DA ROCHA Autoria ALINE NASCIMENTO LINS 4 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 AUTORIA Aline Nascimento Lins Olá Sou bacharel em Física pela Universidade Federal de Campina Grande UFCG 2015 concluí mestrado na mesma instituição no ano de 2017 na área de Cosmologia Em 2021 concluí doutorado em Física na área de Astrofísica e Cosmologia pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Atuei como pesquisadora bolsista desde a graduação tenho experiência na área de Cosmologia e Astrofísica com ênfase em ondas gravitacionais relatividade geral e estudos em teorias modificadas para a relatividade geral Atualmente atuo como professora substituta do Departamento de Ciências Exatas e Tecnologia da Informação da Universidade Federal do Semiárido UFERSA Sou apaixonada pelo que faço e adoro transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões Por isso fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de muito estudo e trabalho Conte comigo 5 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 ÍCONES Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez que OBJETIVO Para o início do desenvolvimento de uma nova competência DEFINIÇÃO Houver necessidade de apresentar um novo conceito NOTA Quando necessárias observações ou complementações para o seu conhecimento IMPORTANTE As observações escritas tiveram que ser priorizadas para você EXPLICANDO MELHOR Algo precisa ser melhor explicado ou detalhado VOCÊ SABIA Curiosidades e indagações lúdicas sobre o tema em estudo se forem necessárias SAIBA MAIS Textos referências bibliográficas e links para aprofundamento do seu conhecimento ACESSE Se for preciso acessar um ou mais sites para fazer download assistir vídeos ler textos ouvir podcast REFLITA Se houver a necessidade de chamar a atenção sobre algo a ser refletido ou discutido RESUMINDO Quando for preciso fazer um resumo acumulativo das últimas abordagens ATIVIDADES Quando alguma atividade de autoaprendizagem for aplicada TESTANDO Quando uma competência for concluída e questões forem explicadas 6 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 SUMÁRIO Matrizes e determinantes 9 Matrizes 9 Tipos especiais de matrizes 12 Operações com matrizes 14 Soma de matrizes 15 Multiplicação de matrizes por escalar 16 Matriz transposta 17 Produto de matrizes 17 Determinante de uma matriz 19 Sistemas de equações lineares 21 Sistemas lineares 21 Sistemas lineares e matrizes 23 Operações básicas 24 Soluções de um sistema de equações lineares 25 Espaço e subespaço vetorial 30 Introdução 30 Espaços vetoriais 31 Subespaços vetoriais 34 Interseção de subespaços 36 Soma de subespaços 36 Combinação linear 37 Compreendendo transformações lineares 41 Transformação linear 41 Determinando uma transformação linear a partir da imagem dos vetores de uma base do domínio 45 Núcleo e imagem de uma transformação linear 46 7 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 APRESENTAÇÃO Você sabia que a área da Geometria Espacial é uma das áreas mais interessantes da matemática Isso é devido ao fato de que a geometria está presente em vários aspectos no nosso dia a dia Na construção civil na arquitetura e até mesmo em monumentos históricos por exemplo as pirâmides do Egito Com a geometria espacial podemos criar diversos sólidos geométricos como a torre de Pisa que possui a forma de um cilindro inclinado A partir da geometria espacial podemos além de construir sólidos geométricos extrair informações sobre eles como a altura de uma pirâmide ou o ângulo entre suas faces e a base Entendeu Ao longo desta unidade letiva você vai mergulhar neste universo 8 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 OBJETIVOS Olá Seja muito bemvindo à Unidade 3 Nosso objetivo é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes competências profissionais até o término desta etapa de estudos 1 Definir o conceito de matrizes e calcular suas determinantes 2 Aplicar as técnicas e fórmulas para resolução de sistemas de equações lineares 3 Definir e compreender o espaço e o subespaço vetorial representandoos geometricamente 4 Entender como se processam as transformações lineares identificando os vários tipos de mudanças geométricas 9 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Matrizes e determinantes OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender o conceito de matrizes Isso será fundamental para o exercício de sua profissão Existem diversas aplicações para o uso de matrizes e você irá aprender como lidar com elas a fazer operações envolvendo essa ferramenta matemática e a calcular seus determinantes E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Matrizes Compreender o que são matrizes é de grande importância pois nos permite resolver diversos problemas As matrizes são ótimas ferramentas quando precisamos ordenar e simplificar algo Podemos dizer que uma matriz é como uma tabela com linhas e colunas onde os dados estão inseridos considere a Tabela 1 a seguir como um exemplo onde temos dados das notas dos alunos de uma determinada disciplina a idade do aluno e o período que o aluno está cursando na faculdade Tabela 1 Notas idade e período letivo dos alunos de uma turma Notas Idade Período Aluno 1 20 18 1 Aluno 2 70 20 3 Aluno 3 50 19 2 Fonte Elaborado pela autora 2022 10 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Note que podemos simplificar a Tabela 1 colocandoa em forma de matriz onde vamos inserir os dados mas ocultando o significado das linhas e das colunas obtendo assim a seguinte matriz Note que se aumentarmos o número de alunos essa matriz terá mais linhas Da mesma forma se aumentarmos o número de informações a matriz terá mais colunas Desse modo podemos ter matrizes de vários tipos por exemplo Os elementos de uma matriz podem ser números reais como os exemplos mostrados anteriormente ou complexos podemos ter funções também e até outras matrizes Uma matriz com linhas e colunas é representada da seguinte maneira Onde a matriz anterior é denotada por sempre iremos nos referir a uma matriz com letras maiúsculas Aqui iremos denotar matrizes sempre entre colchetes mas é possível 11 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 encontrar na literatura matrizes entre parênteses ou entre barras da seguinte forma Para localizar um determinado elemento de uma matriz precisamos de duas informações a primeira é a linha e a segunda é a coluna onde o elemento se encontra EXEMPLO Considere a matriz a seguir Qual o elemento SOLUÇÃO O elemento é o elemento de linha e coluna que é o número veja Podemos ter duas matrizes iguais isso ocorre apenas quando elas possuem o mesmo número de linhas e de colunas e todos os seus elementos são iguais por exemplo as matrizes e a seguir 12 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Tipos especiais de matrizes Algumas matrizes recebem nomes especiais pois possuem determinadas características em seus elementos ou na quantidade de linhas e colunas Considere uma matriz que denotaremos por temos os seguintes tipos de matrizes 1 Matriz quadrada quando ou seja o número de linhas é igual ao número de colunas ANTON 2001 Exemplos A matriz leia matriz três por três A matriz A matriz E dizemos que a matriz tem ordem 2 Matriz nula todos os elementos são iguais a zero ANTON 2001 Exemplo 3 Matriz coluna possui apenas uma coluna e linhas ANTON 2001 Exemplo 4 Matriz linha possui apenas uma linha e colunas ANTON 2001 13 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Exemplo 5 Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos para ou seja apenas a diagonal tem elementos diferentes de zero ANTON 2001 Exemplos 6 Matriz identidade é bem parecida com a matriz diagonal a diferença é que os elementos da diagonal são todos iguais a ANTON 2001 Exemplos 7 Matriz triangular superior é uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal são zero ANTON 2001 Exemplos 8 Matriz triangular inferior é a matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal são zero ANTON 2001 Exemplos 9 Matriz simétrica é uma matriz quadrada cujos elementos acima e abaixo da diagonal são simetricamente iguais ou seja ANTON 2001 Exemplos 14 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Operações com matrizes As operações com matrizes são necessárias para descrever determinados parâmetros Considere por exemplo que em uma determinada escola as notas dos alunos nas disciplinas de Ciências Matemática Português e Educação Física do primeiro e segundo bimestre estejam respectivamente nas Tabelas 2 e 3 Tabela 2 Notas dos alunos no primeiro bimestre Ciências Matemática Português Educação Física Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Fonte Elaborado pela autora 2022 Tabela 3 Notas dos alunos no segundo bimestre Ciências Matemática Português Educação Física Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Fonte Elaborado pela autora 2022 Se quisermos montar uma tabela com a soma das notas de cada aluno devemos somar os elementos das Tabelas 2 e 3 da seguinte forma 15 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Logo temos a Tabela 4 com a nota total dos alunos em dois bimestres Tabela 4 Notas totais dos alunos em dois bimestres Ciências Matemática Português Educação Física Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Fonte Elaborado pela autora 2022 Mas se tratando de notas é muito importante saber a média Nesse caso como foram duas notas a média é obtida dividindo a soma das duas notas por dois Assim a matriz com a média dos alunos será Nesse exemplo fizemos duas operações com matrizes a soma e a multiplicação por um escalar A seguir serão definidas as operações com matrizes Soma de matrizes Só podemos somar matrizes de mesma ordem e o resultado é uma matriz com ordem igual a estas isto é os elementos de que denotaremos de são as somas dos elementos de denotados por com os elementos de denotados por ou seja e 16 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Como exemplo considere Sejam e duas matrizes A soma de matrizes possui as seguintes propriedades CALLIOLI 1990 i Comutatividade ii Associatividade iii onde é a matriz nula Multiplicação de matrizes por escalar A multiplicação de um número real ou imaginário por uma matriz é uma nova matriz Considere o exemplo Agora considere as matrizes e de mesma ordem e os números e temos as seguintes propriedades CALLIOLI 1990 i ii iii Se multiplicarmos uma matriz por zero obtemos a matriz nula iv 17 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Matriz transposta Considere uma matriz dizemos que a matriz transposta é a matriz na qual as linhas de são as colunas de e as colunas de são as linhas de isto é Vejamos os exemplos a seguir Exemplo As propriedades das matrizes transpostas são as seguintes CALLIOLI 1990 i Se dizemos que a matriz é simétrica ii A transposta da matriz transposta é ela mesma iii A transposta da soma de matrizes é a soma das matrizes transpostas iv Produto de matrizes Considere as matrizes e definimos o produto onde Note que só é possível realizar o produto entre duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda Além disso a ordem da matriz resultante 18 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 será ou seja linhas da primeira matriz por colunas da segunda matriz Vejamos o exemplo a seguir Exemplo Onde multiplicamos uma matriz por uma matriz de ordem e obtivemos como resultado uma matriz note que a multiplicação ocorre da forma linha vezes coluna o primeiro elemento da matriz produto é dado pela soma da primeira linha da primeira matriz com a primeira coluna da segunda Para o produto de matrizes temos as seguintes propriedades CALLIOLI 1990 i Em geral ii Existe uma matriz identidade tal que iii iv v 19 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Determinante de uma matriz O determinante é um número que está associado a uma matriz quadrada CALLIOLI 1990 Denotamos o determinante de uma matriz quadrada por ou ou Considere os seguintes casos As linhas azuis vão com sinais positivos e as linhas vermelhas vão com sinais negativos Para matrizes de ordem superior ou igual a utilizamos o desenvolvimento de Laplace onde escolhemos uma linha e uma coluna o coeficiente que fica na interseção da linha e da coluna multiplica o determinante da matriz que está fora dessa linha e dessa coluna passamos para a coluna seguinte e fazemos o mesmo procedimento e assim por diante Note que poderíamos ter escolhido qualquer linha ou coluna da matriz uma dica é escolher a linha ou coluna que contenha o maior número de zeros 20 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que as matrizes são excelentes ferramentas matemáticas que nos permite representar os dados de uma tabela de forma reduzida Você deve ter aprendido também que podemos realizar diversas operações com matrizes as mais básicas são a soma de matrizes e a multiplicação de uma matriz por um escalar Você deve ter aprendido que só podemos somar matrizes de mesma ordem e que a soma ocorre a cada elemento da matriz então o elemento da matriz deve somar com o elemento da matriz Para a multiplicação de uma matriz por um número devemos multiplicar o escalar por cada um dos elementos da matriz Você também deve ter aprendido como se determina a matriz transposta em que basicamente o que é linha vira coluna Você deve ter aprendido também a multiplicar matrizes e que para isso multiplicamos a linha da primeira com a coluna da segunda matriz Por fim você deve saber que o determinante de uma matriz é o número que está associado a uma matriz quadrada e que para determinálo utilizamos algumas técnicas a depender do grau da matriz 21 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Sistemas de equações lineares OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de determinar a solução de sistemas de equações lineares Isso será fundamental para o exercício de sua profissão A partir de sistemas de equações lineares conseguimos solucionar uma gama de problemas E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Sistemas lineares Os sistemas de equação lineares são importantes para diversas aplicações em várias áreas de conhecimento Se trata de um conjunto de equações lineares com várias incógnitas da forma onde e são constantes e são incógnitas KOLMAN 2014 O objetivo aqui é dado um determinado sistema de equações determinar o valor das incógnitas Para visualizar melhor como se faz isso considere o sistema de equações a seguir e realize o passo a passo seguinte 1 Note que podemos isolar na equação 3 em termos de e 22 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 2 O segundo passo é substituir nas equações 2 e 3 ficando então com um sistema de duas equações e duas incógnitas 3 Podemos fazer os coeficientes de ser nas equações 5 e 6 para isso dividimos a equação 5 por e a equação 6 por obtendo assim que 4 O quarto passo é subtrair a equação 7 da equação 8 de forma que podemos eliminar e obter E obtemos o resultado 5 Com o resultado de podemos encontrar o valor de substituindo na equação 7 ou 8 Logo 6 O sexto e último passo é substituir e na equação 4 para determinar o valor de 23 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Portanto para esse sistema temos como solução Sistemas lineares e matrizes Podemos escrever um sistema linear como um produto de matrizes considere o sistema linear a seguir O sistema de equações 9 pode ser escrito da seguinte forma ou onde é a matriz dos coeficientes é a matriz das incógnitas e é a matriz dos termos independentes Outra forma de representar o sistema de equações 9 é por meio da matriz ampliada do sistema 24 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 onde cada linha dessa matriz é correspondente a uma linha do sistema de equações 9 Operações básicas Temos três operações básicas sobre as linhas de uma matriz são elas 1 Permutação entre linhas Exemplo 2 Multiplicação de uma linha por uma constante diferente de zero Exemplo 3 Substituição de uma determinada linha pela soma desta com outra vezes uma constante 25 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Exemplo Soluções de um sistema de equações lineares Considere um sistema de equações com uma única equação e uma incógnita existem três possíveis situações para essa equação KOLMAN 2014 1 Se 2 Se ou seja há infinitas soluções para 3 Se a equação não tem solução Vejamos alguns exemplos de sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas Exemplo 26 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Uma forma rápida de resolver esse sistema de equações é traçando as retas no plano e obtendo os pontos onde elas de cruzam Veja a Figura 1 Figura 1 Retas no plano do exemplo 1 Fonte Elaborado pela autora 2022 Note que as duas retas se cruzam no ponto logo nosso sistema tem como solução Vamos estudar como encontrar a solução desse sistema utilizando matrizes A matriz ampliada associada ao sistema é 27 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Essa matriz deve ser equivalente a Que é a solução do nosso problema que está no sistema de equações 11 Prosseguimos da seguinte forma obtendo assim a matriz ampliada equivalente com o resultado do sistema de equações lineares na forma matricial Exemplo Considere o sistema de equações lineares a seguir Note que uma equação é múltipla da outra desse modo as retas são coincidentes como mostra a Figura 2 a seguir Figura 2 Retas coincidentes do exemplo 2 Fonte Elaborado pela autora 2022 28 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Logo para o sistema de equações 14 qualquer ponto de uma das retas é solução do sistema Podemos ainda escrever a matriz do sistema e obter a forma reduzida da matriz Observe que temos o sistema A segunda equação é válida para qualquer valor de e podendo então ser descartada Já a partir da primeira equação podemos estabelecer uma dependência entre e Exemplo Considere o sistema de equações a seguir Geometricamente o sistema de equações 15 representa duas retas paralelas mostradas na Figura 3 Figura 3 Retas paralelas do sistema de equações 15 Fonte Elaborado pela autora 2022 Vejamos o que acontece com a matriz que representa esse sistema Logo temos o sistema de equações 29 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Note que não existe ponto que satisfaça a segunda equação do sistema 16 desse modo não existe solução para o sistema de equações 15 e dizemos que ele é incompatível RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que os sistemas de equações lineares são muito importantes na solução de diversos problemas Você deve ter aprendido que quando temos um sistema com equações e incógnitas podemos solucioná lo desde que essas equações não representem retas paralelas pois nesse caso não existirá um ponto no espaço que satisfaça todas as equações simultaneamente Além disso se as equações são múltiplas uma das outras o sistema tem infinitas soluções pois representam retas coincidentes Você deve ter aprendido a relacionar um sistema de equações com matrizes e viceversa e a partir daí como encontrar soluções para esses sistemas e que para isso devemos fazer operações nas linhas das matrizes e que essas operações podem ser soma entre linhas ou multiplicação de uma linha por um escalar 30 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Espaço e subespaço vetorial OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender o conceito espaço e subespaço vetorial Isso será fundamental para o exercício de sua profissão A partir desses conceitos será possível compreender e resolver problemas com dimensões maiores E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Introdução Desde o início da nossa jornada acadêmica trabalhamos formulando teorias sobre alguns conjuntos específicos De imediato podemos citar os conjuntos e respectivamente a reta real o plano e o espaço tridimensional No entanto para se justificar novas e importantes teorias é necessária uma generalização de espaços conjuntos como estes Podemos citar o problema de estimar a condutividade térmica um número real associado com cada material de um corpo condutor de calor Para resolver esse problema podese requerer que a temperatura seja medida em vários pontos precisando então trabalhar com vetores com muito mais do que três componentes o que torna o espaço tridimensional insuficiente para o propósito Motivados por problemas dessa natureza temos como objetivo inicial apresentar uma classe de conjuntos os espaços vetoriais Nesse capítulo apresentaremos o conceito de espaços vetoriais subespaços vetoriais e suas propriedades que servirão de base para definirmos posteriormente as transformações lineares 31 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Espaços vetoriais Um espaço vetorial real é um conjunto nãovazio munido das operações 1 Soma ou seja 2 Multiplicação por escalar ou seja Onde são vetores que pertencem ao espaço vetorial e Sejam as seguintes propriedades para a adição são válidas STEINBRUCH 1987 A1 A2 A3 Existe um vetor nulo tal que A4 Existe tal que Já em relação a multiplicação por um escalar para todo e temos as seguintes propriedades M1 M2 M3 M4 32 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 A seguir vejamos algumas observações importantes 1 A cada elemento do conjunto definido anteriormente chamamos de vetor de 2 O elemento da propriedade A3 é único e chamado de vetor nulo do espaço vetorial 3 O elemento da propriedade M4 é único e chamado de unidade do espaço vetorial EXEMPLO 1 O conjunto dos números reais é um espaço vetorial As oito propriedades da definição são garantidas pelas propriedades de números reais para todo e 2 O conjunto das matrizes de ordem Se e então pelas condições de adição e é portanto um espaço vetorial 3 Vamos verificar se o conjunto das funções contínuas reais 33 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 é um espaço vetorial Sejam e funções reais pertencentes a de acordo com a condição da soma temos E sendo um número real de acordo com a condição de multiplicação Logo o conjunto é um espaço vetorial 4 Outro exemplo de espaço vetorial é o conjunto dos polinômios de grau e coeficientes reais que satisfaz as propriedades de soma E de multiplicação Onde são polinômios reais que pertencem a e é um número real Você deve ter percebido que um espaço vetorial nada mais é do que um conjunto que cumpre certas propriedades Os subconjuntos de um espaço vetorial serão chamados de subespaços vetoriais e serão definidos e estudados a seguir 34 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Subespaços vetoriais DEFINIÇÃO Um subconjunto nãovazio do espaço vetorial é dito um subespaço vetorial de se para todo vetor e tivermos STEINBRUCH 1987 Ou seja preserva a estrutura algébrica de Usualmente denotamos para indicar que é subespaço de A seguir algumas observações importantes acerca de subespaços vetoriais STEINBRUCH 1987 1 As condições impostas na definição de um subespaço vetorial são suficientes para afirmarmos que é um espaço vetorial 2 Um espaço vetorial possui ao menos dois subespaços vetoriais são eles o vetor nulo e o próprio espaço vetorial Esses subespaços são chamados de subespaços triviais EXEMPLO 1 Considere o espaço vetorial verifique se é um subespaço vetorial de SOLUÇÃO Podemos escrever da seguinte forma Vamos verificar se a soma de dois vetores de pertence a considere os vetores e 35 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 onde Agora vamos verificar se a multiplicação por escalar é satisfeita onde neste caso Portanto é subespaço vetorial de 2 Considere espaço vetorial verifique se é subespaço vetorial de SOLUÇÃO Podemos escrever da seguinte forma Sejam e vetores de Vamos verificar a condição da soma Se logo não pertence a desse modo não é subespaço vetorial de 36 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Interseção de subespaços Considere os subespaços e do espaço vetorial A interseção de e representada por é o conjunto de todos os vetores tais que e STEINBRUCH 1987 Existe um teorema que nos diz que a interseção de dois subespaços vetoriais é também um subespaço vetorial de STEINBRUCH 1987 EXEMPLO Considere o espaço vetorial e os subespaços e Determine a interseção SOLUÇÃO A interseção é o vetor nulo de Soma de subespaços Considere um espaço vetorial e que e sejam seus subespaços A soma é o conjunto de todos os vetores de modo que e STEINBRUCH 1987 Além disso a soma de dois subespaços vetoriais de é também um subespaço vetorial de 37 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 EXEMPLO Considere os subespaços vetoriais e do espaço vetorial A soma é ou seja é o próprio espaço vetorial Note que quando a interseção de dois subespaços vetoriais é o vetor nulo a soma dos subespaços é o próprio espaço vetorial E chamamos a soma de soma direta que é denotada por No exemplo anterior a soma dos subespaços é uma soma direta Combinação linear Considere um espaço vetorial e que sejam vetores que pertencem a Considere também os coeficientes Desse modo o vetor que pertence ao espaço vetorial e o chamamos de combinação linear dos vetores com coeficientes reais 38 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 EXEMPLO Considere os vetores e Mostre que é uma combinação linear de e e que não é uma combinação linear de e SOLUÇÃO Se é uma combinação linear dos vetores podemos escrever Portanto temos um sistema de três equações e duas incógnitas Isolando na primeira equação temos que Substituindo na segunda equação temos Com o resultado de podemos determinar o valor de substituindo em qualquer uma das três equações do sistema devemos obter o mesmo valor de em todas vejamos Logo é uma combinação linear de e com coeficientes e 39 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Vejamos agora se é combinação linear ou não temos que Portanto temos um sistema de três equações e duas incógnitas Isolando na primeira equação temos que Substituindo na segunda equação temos Com o resultado de podemos determinar o valor de substituindo em qualquer uma das três equações do sistema devemos obter o mesmo valor de em todas vejamos Veja que não existem coeficientes e que satisfaçam as três equações simultaneamente logo dizemos que não é combinação linear de com 40 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz as propriedades de soma e de multiplicação por um escalar isto é a soma de dois elementos desse conjunto que aqui chamamos de vetores do espaço vetorial pertence ao espaço vetorial e a multiplicação por um escalar também Além de espaço vetorial definimos também o subespaço vetorial que é um subconjunto do espaço vetorial e seus elementos devem satisfazer as mesmas propriedades Você deve ter aprendido a somar espaços vetoriais e a determinar a interseção desses espaços Você também deve ter aprendido que se um determinado espaço possui n vetores podemos determinar se um vetor pertence a esse espaço se for possível escrevêlo como uma combinação linear dos vetores do espaço vetorial em questão 41 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Compreendendo transformações lineares OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender como se processam as transformações lineares e entender que uma transformação linear é como uma função Isso será fundamental para o exercício de sua profissão E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Transformação linear Neste capítulo estamos interessados em estudar transformações entre espaços vetoriais em particular funções que preservem as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar A essas funções damos o nome de transformações lineares DEFINIÇÃO Se e são espaços vetoriais uma transformação linear de em é uma função que possui as seguintes propriedades BOLDRINI 1980 i para todos os vetores ii para todo vetor e Para visualizarmos melhor o que são as transformações lineares vamos considerar os exemplos a seguir 42 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 EXEMPLO 1 Verifique se a função definida por é uma transformação linear onde SOLUÇÃO Sejam e dois números reais temos que Além disso portanto satisfaz a condição da soma Vamos verificar a condição da multiplicação por escalar Logo como satisfaz as duas condições podemos afirmar que é uma transformação linear 2 Verifique se é uma transformação linear SOLUÇÃO Considere os números reais e Temos que 43 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Logo não é uma transformação linear 3 Verifique se definida por é uma transformação linear SOLUÇÃO Considere os vetores e temos que ou seja Vamos ver agora se satisfaz o produto por um escalar considere um número real qualquer Logo é uma transformação linear A seguir precisamos fazer algumas observações importantes 1 As condições apresentadas na definição de transformações lineares são equivalentes a BOLDRINI 1980 para todo e para todo 2 Se é uma transformação linear então BOLDRINI 1980 ou seja o vetor nulo no espaço vetorial se transforma no vetor nulo no espaço vetorial Note que a observação 2 nos fornece outra condição que é mais simples de ser testada se uma dada transformação falhar nessa condição temos que a transformação não é linear por 44 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 outro lado se uma dada transformação satisfaz essa condição devemos ainda testar a observação 1 que sintetiza as condições de transformações lineares anteriormente definidas Vejamos mais exemplos acerca dessa discussão EXEMPLO 1 Verifique se definida por é uma transformação linear SOLUÇÃO Nossa transformação leva vetores a um número então chamamos e O primeiro passo é verificar se Agora vamos verificar se para isso considere que e sejam vetores pertencentes a Portanto é uma transformação linear 2 Verifique se definida por é uma transformação linear SOLUÇÃO Vamos verificar se Portanto não é uma transformação linear 45 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Determinando uma transformação linear a partir da imagem dos vetores de uma base do domínio Considere que seja uma base do espaço vetorial e que seja um conjunto qualquer de vetores de um espaço vetorial Existe uma única transformação linear tal que EXEMPLO Dada uma base qualquer de por exemplo e dois vetores quaisquer de por exemplo e determinar a única transformação linear tal que SOLUÇÃO Primeiro devemos notar que de fato os vetores e formam uma base do Então podemos tomar um vetor genérico como combinação linear desses dois 46 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 e temos o seguinte sistema para resolver Isolando na primeira equação do sistema temos E substituindo na segunda equação temos E obtemos que Lembrando que Podemos aplicar nos dois lados da equação acima Núcleo e imagem de uma transformação linear Existem dois subespaços vetoriais importantes que estão associados a uma transformação linear Tratamse do núcleo e da imagem O primeiro está localizado no domínio e o segundo no contradomínio de BOLDRINI 1980 O núcleo de uma transformação linear será definido a seguir 47 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 DEFINIÇÃO Considere que e sejam espaços vetoriais e que seja uma transformação linear O conjunto é chamado de núcleo de e será denotado por BOLDRINI 1980 O núcleo de uma transformação linear contém todos os vetores do domínio que são transformados no vetor nulo do contradomínio de Considere como um exemplo a transformação linear definida por todos os vetores do tipo são transformados em por Logo Figura 4 Núcleo de uma transformação Fonte Elaborado pela autora 2022 Agora vamos definir a imagem de uma transformação linear 48 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 DEFINIÇÃO Considere os espaços vetoriais e e que seja uma transformação linear O conjunto é chamado de imagem de e o denotamos por ou simplesmente BOLDRINI 1980 Observe que tanto o núcleo quanto a imagem são conjuntos nãovazios uma vez que é uma transformação linear logo cada um desses conjuntos tem pelo menos o elemento nulo do respectivo espaço vetorial RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que uma transformação linear é como uma função mas que deve satisfazer duas condições a primeira é que a transformação da soma é a soma das transformações e a segunda é que a transformação de um vetor vezes um escalar é o escalar vezes a transformação do vetor Você deve ter aprendido também que se uma dada transformação é linear ela leva o vetor nulo de um espaço vetorial ao vetor nulo do outro espaço vetorial Você também deve ter aprendido a diferença entre núcleo e imagem de transformações lineares que o núcleo é o conjunto de vetores de um espaço vetorial que é transformado no vetor nulo do outro espaço e que imagem é a própria transformação linear 49 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 ANTON H Álgebra linear com aplicações Porto Alegre Bookman 2001 BOLDRINI J L Álgebra linear 3 ed São Paulo Harper Row do Brasil 1980 CALLIOLI C A Álgebra linear e aplicações 6 ed São Paulo Atual 1990 KOLMAN B Introdução à álgebra linear com aplicações São Paulo LTC 2014 STEINBRUCH A Álgebra linear São Paulo Pearson Makron Books 1987 REFERÊNCIAS
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Matrizes e Espaços Vetoriais Diretor Executivo DAVID LIRA STEPHEN BARROS Gerente Editorial ALESSANDRA FERREIRA Projeto Gráfico TIAGO DA ROCHA Autoria ALINE NASCIMENTO LINS 4 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 AUTORIA Aline Nascimento Lins Olá Sou bacharel em Física pela Universidade Federal de Campina Grande UFCG 2015 concluí mestrado na mesma instituição no ano de 2017 na área de Cosmologia Em 2021 concluí doutorado em Física na área de Astrofísica e Cosmologia pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Atuei como pesquisadora bolsista desde a graduação tenho experiência na área de Cosmologia e Astrofísica com ênfase em ondas gravitacionais relatividade geral e estudos em teorias modificadas para a relatividade geral Atualmente atuo como professora substituta do Departamento de Ciências Exatas e Tecnologia da Informação da Universidade Federal do Semiárido UFERSA Sou apaixonada pelo que faço e adoro transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões Por isso fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de muito estudo e trabalho Conte comigo 5 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 ÍCONES Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez que OBJETIVO Para o início do desenvolvimento de uma nova competência DEFINIÇÃO Houver necessidade de apresentar um novo conceito NOTA Quando necessárias observações ou complementações para o seu conhecimento IMPORTANTE As observações escritas tiveram que ser priorizadas para você EXPLICANDO MELHOR Algo precisa ser melhor explicado ou detalhado VOCÊ SABIA Curiosidades e indagações lúdicas sobre o tema em estudo se forem necessárias SAIBA MAIS Textos referências bibliográficas e links para aprofundamento do seu conhecimento ACESSE Se for preciso acessar um ou mais sites para fazer download assistir vídeos ler textos ouvir podcast REFLITA Se houver a necessidade de chamar a atenção sobre algo a ser refletido ou discutido RESUMINDO Quando for preciso fazer um resumo acumulativo das últimas abordagens ATIVIDADES Quando alguma atividade de autoaprendizagem for aplicada TESTANDO Quando uma competência for concluída e questões forem explicadas 6 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 SUMÁRIO Matrizes e determinantes 9 Matrizes 9 Tipos especiais de matrizes 12 Operações com matrizes 14 Soma de matrizes 15 Multiplicação de matrizes por escalar 16 Matriz transposta 17 Produto de matrizes 17 Determinante de uma matriz 19 Sistemas de equações lineares 21 Sistemas lineares 21 Sistemas lineares e matrizes 23 Operações básicas 24 Soluções de um sistema de equações lineares 25 Espaço e subespaço vetorial 30 Introdução 30 Espaços vetoriais 31 Subespaços vetoriais 34 Interseção de subespaços 36 Soma de subespaços 36 Combinação linear 37 Compreendendo transformações lineares 41 Transformação linear 41 Determinando uma transformação linear a partir da imagem dos vetores de uma base do domínio 45 Núcleo e imagem de uma transformação linear 46 7 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 APRESENTAÇÃO Você sabia que a área da Geometria Espacial é uma das áreas mais interessantes da matemática Isso é devido ao fato de que a geometria está presente em vários aspectos no nosso dia a dia Na construção civil na arquitetura e até mesmo em monumentos históricos por exemplo as pirâmides do Egito Com a geometria espacial podemos criar diversos sólidos geométricos como a torre de Pisa que possui a forma de um cilindro inclinado A partir da geometria espacial podemos além de construir sólidos geométricos extrair informações sobre eles como a altura de uma pirâmide ou o ângulo entre suas faces e a base Entendeu Ao longo desta unidade letiva você vai mergulhar neste universo 8 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 OBJETIVOS Olá Seja muito bemvindo à Unidade 3 Nosso objetivo é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes competências profissionais até o término desta etapa de estudos 1 Definir o conceito de matrizes e calcular suas determinantes 2 Aplicar as técnicas e fórmulas para resolução de sistemas de equações lineares 3 Definir e compreender o espaço e o subespaço vetorial representandoos geometricamente 4 Entender como se processam as transformações lineares identificando os vários tipos de mudanças geométricas 9 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Matrizes e determinantes OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender o conceito de matrizes Isso será fundamental para o exercício de sua profissão Existem diversas aplicações para o uso de matrizes e você irá aprender como lidar com elas a fazer operações envolvendo essa ferramenta matemática e a calcular seus determinantes E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Matrizes Compreender o que são matrizes é de grande importância pois nos permite resolver diversos problemas As matrizes são ótimas ferramentas quando precisamos ordenar e simplificar algo Podemos dizer que uma matriz é como uma tabela com linhas e colunas onde os dados estão inseridos considere a Tabela 1 a seguir como um exemplo onde temos dados das notas dos alunos de uma determinada disciplina a idade do aluno e o período que o aluno está cursando na faculdade Tabela 1 Notas idade e período letivo dos alunos de uma turma Notas Idade Período Aluno 1 20 18 1 Aluno 2 70 20 3 Aluno 3 50 19 2 Fonte Elaborado pela autora 2022 10 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Note que podemos simplificar a Tabela 1 colocandoa em forma de matriz onde vamos inserir os dados mas ocultando o significado das linhas e das colunas obtendo assim a seguinte matriz Note que se aumentarmos o número de alunos essa matriz terá mais linhas Da mesma forma se aumentarmos o número de informações a matriz terá mais colunas Desse modo podemos ter matrizes de vários tipos por exemplo Os elementos de uma matriz podem ser números reais como os exemplos mostrados anteriormente ou complexos podemos ter funções também e até outras matrizes Uma matriz com linhas e colunas é representada da seguinte maneira Onde a matriz anterior é denotada por sempre iremos nos referir a uma matriz com letras maiúsculas Aqui iremos denotar matrizes sempre entre colchetes mas é possível 11 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 encontrar na literatura matrizes entre parênteses ou entre barras da seguinte forma Para localizar um determinado elemento de uma matriz precisamos de duas informações a primeira é a linha e a segunda é a coluna onde o elemento se encontra EXEMPLO Considere a matriz a seguir Qual o elemento SOLUÇÃO O elemento é o elemento de linha e coluna que é o número veja Podemos ter duas matrizes iguais isso ocorre apenas quando elas possuem o mesmo número de linhas e de colunas e todos os seus elementos são iguais por exemplo as matrizes e a seguir 12 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Tipos especiais de matrizes Algumas matrizes recebem nomes especiais pois possuem determinadas características em seus elementos ou na quantidade de linhas e colunas Considere uma matriz que denotaremos por temos os seguintes tipos de matrizes 1 Matriz quadrada quando ou seja o número de linhas é igual ao número de colunas ANTON 2001 Exemplos A matriz leia matriz três por três A matriz A matriz E dizemos que a matriz tem ordem 2 Matriz nula todos os elementos são iguais a zero ANTON 2001 Exemplo 3 Matriz coluna possui apenas uma coluna e linhas ANTON 2001 Exemplo 4 Matriz linha possui apenas uma linha e colunas ANTON 2001 13 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Exemplo 5 Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde os elementos para ou seja apenas a diagonal tem elementos diferentes de zero ANTON 2001 Exemplos 6 Matriz identidade é bem parecida com a matriz diagonal a diferença é que os elementos da diagonal são todos iguais a ANTON 2001 Exemplos 7 Matriz triangular superior é uma matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal são zero ANTON 2001 Exemplos 8 Matriz triangular inferior é a matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal são zero ANTON 2001 Exemplos 9 Matriz simétrica é uma matriz quadrada cujos elementos acima e abaixo da diagonal são simetricamente iguais ou seja ANTON 2001 Exemplos 14 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Operações com matrizes As operações com matrizes são necessárias para descrever determinados parâmetros Considere por exemplo que em uma determinada escola as notas dos alunos nas disciplinas de Ciências Matemática Português e Educação Física do primeiro e segundo bimestre estejam respectivamente nas Tabelas 2 e 3 Tabela 2 Notas dos alunos no primeiro bimestre Ciências Matemática Português Educação Física Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Fonte Elaborado pela autora 2022 Tabela 3 Notas dos alunos no segundo bimestre Ciências Matemática Português Educação Física Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Fonte Elaborado pela autora 2022 Se quisermos montar uma tabela com a soma das notas de cada aluno devemos somar os elementos das Tabelas 2 e 3 da seguinte forma 15 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Logo temos a Tabela 4 com a nota total dos alunos em dois bimestres Tabela 4 Notas totais dos alunos em dois bimestres Ciências Matemática Português Educação Física Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Fonte Elaborado pela autora 2022 Mas se tratando de notas é muito importante saber a média Nesse caso como foram duas notas a média é obtida dividindo a soma das duas notas por dois Assim a matriz com a média dos alunos será Nesse exemplo fizemos duas operações com matrizes a soma e a multiplicação por um escalar A seguir serão definidas as operações com matrizes Soma de matrizes Só podemos somar matrizes de mesma ordem e o resultado é uma matriz com ordem igual a estas isto é os elementos de que denotaremos de são as somas dos elementos de denotados por com os elementos de denotados por ou seja e 16 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Como exemplo considere Sejam e duas matrizes A soma de matrizes possui as seguintes propriedades CALLIOLI 1990 i Comutatividade ii Associatividade iii onde é a matriz nula Multiplicação de matrizes por escalar A multiplicação de um número real ou imaginário por uma matriz é uma nova matriz Considere o exemplo Agora considere as matrizes e de mesma ordem e os números e temos as seguintes propriedades CALLIOLI 1990 i ii iii Se multiplicarmos uma matriz por zero obtemos a matriz nula iv 17 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Matriz transposta Considere uma matriz dizemos que a matriz transposta é a matriz na qual as linhas de são as colunas de e as colunas de são as linhas de isto é Vejamos os exemplos a seguir Exemplo As propriedades das matrizes transpostas são as seguintes CALLIOLI 1990 i Se dizemos que a matriz é simétrica ii A transposta da matriz transposta é ela mesma iii A transposta da soma de matrizes é a soma das matrizes transpostas iv Produto de matrizes Considere as matrizes e definimos o produto onde Note que só é possível realizar o produto entre duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda Além disso a ordem da matriz resultante 18 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 será ou seja linhas da primeira matriz por colunas da segunda matriz Vejamos o exemplo a seguir Exemplo Onde multiplicamos uma matriz por uma matriz de ordem e obtivemos como resultado uma matriz note que a multiplicação ocorre da forma linha vezes coluna o primeiro elemento da matriz produto é dado pela soma da primeira linha da primeira matriz com a primeira coluna da segunda Para o produto de matrizes temos as seguintes propriedades CALLIOLI 1990 i Em geral ii Existe uma matriz identidade tal que iii iv v 19 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Determinante de uma matriz O determinante é um número que está associado a uma matriz quadrada CALLIOLI 1990 Denotamos o determinante de uma matriz quadrada por ou ou Considere os seguintes casos As linhas azuis vão com sinais positivos e as linhas vermelhas vão com sinais negativos Para matrizes de ordem superior ou igual a utilizamos o desenvolvimento de Laplace onde escolhemos uma linha e uma coluna o coeficiente que fica na interseção da linha e da coluna multiplica o determinante da matriz que está fora dessa linha e dessa coluna passamos para a coluna seguinte e fazemos o mesmo procedimento e assim por diante Note que poderíamos ter escolhido qualquer linha ou coluna da matriz uma dica é escolher a linha ou coluna que contenha o maior número de zeros 20 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que as matrizes são excelentes ferramentas matemáticas que nos permite representar os dados de uma tabela de forma reduzida Você deve ter aprendido também que podemos realizar diversas operações com matrizes as mais básicas são a soma de matrizes e a multiplicação de uma matriz por um escalar Você deve ter aprendido que só podemos somar matrizes de mesma ordem e que a soma ocorre a cada elemento da matriz então o elemento da matriz deve somar com o elemento da matriz Para a multiplicação de uma matriz por um número devemos multiplicar o escalar por cada um dos elementos da matriz Você também deve ter aprendido como se determina a matriz transposta em que basicamente o que é linha vira coluna Você deve ter aprendido também a multiplicar matrizes e que para isso multiplicamos a linha da primeira com a coluna da segunda matriz Por fim você deve saber que o determinante de uma matriz é o número que está associado a uma matriz quadrada e que para determinálo utilizamos algumas técnicas a depender do grau da matriz 21 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Sistemas de equações lineares OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de determinar a solução de sistemas de equações lineares Isso será fundamental para o exercício de sua profissão A partir de sistemas de equações lineares conseguimos solucionar uma gama de problemas E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Sistemas lineares Os sistemas de equação lineares são importantes para diversas aplicações em várias áreas de conhecimento Se trata de um conjunto de equações lineares com várias incógnitas da forma onde e são constantes e são incógnitas KOLMAN 2014 O objetivo aqui é dado um determinado sistema de equações determinar o valor das incógnitas Para visualizar melhor como se faz isso considere o sistema de equações a seguir e realize o passo a passo seguinte 1 Note que podemos isolar na equação 3 em termos de e 22 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 2 O segundo passo é substituir nas equações 2 e 3 ficando então com um sistema de duas equações e duas incógnitas 3 Podemos fazer os coeficientes de ser nas equações 5 e 6 para isso dividimos a equação 5 por e a equação 6 por obtendo assim que 4 O quarto passo é subtrair a equação 7 da equação 8 de forma que podemos eliminar e obter E obtemos o resultado 5 Com o resultado de podemos encontrar o valor de substituindo na equação 7 ou 8 Logo 6 O sexto e último passo é substituir e na equação 4 para determinar o valor de 23 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Portanto para esse sistema temos como solução Sistemas lineares e matrizes Podemos escrever um sistema linear como um produto de matrizes considere o sistema linear a seguir O sistema de equações 9 pode ser escrito da seguinte forma ou onde é a matriz dos coeficientes é a matriz das incógnitas e é a matriz dos termos independentes Outra forma de representar o sistema de equações 9 é por meio da matriz ampliada do sistema 24 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 onde cada linha dessa matriz é correspondente a uma linha do sistema de equações 9 Operações básicas Temos três operações básicas sobre as linhas de uma matriz são elas 1 Permutação entre linhas Exemplo 2 Multiplicação de uma linha por uma constante diferente de zero Exemplo 3 Substituição de uma determinada linha pela soma desta com outra vezes uma constante 25 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Exemplo Soluções de um sistema de equações lineares Considere um sistema de equações com uma única equação e uma incógnita existem três possíveis situações para essa equação KOLMAN 2014 1 Se 2 Se ou seja há infinitas soluções para 3 Se a equação não tem solução Vejamos alguns exemplos de sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas Exemplo 26 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Uma forma rápida de resolver esse sistema de equações é traçando as retas no plano e obtendo os pontos onde elas de cruzam Veja a Figura 1 Figura 1 Retas no plano do exemplo 1 Fonte Elaborado pela autora 2022 Note que as duas retas se cruzam no ponto logo nosso sistema tem como solução Vamos estudar como encontrar a solução desse sistema utilizando matrizes A matriz ampliada associada ao sistema é 27 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Essa matriz deve ser equivalente a Que é a solução do nosso problema que está no sistema de equações 11 Prosseguimos da seguinte forma obtendo assim a matriz ampliada equivalente com o resultado do sistema de equações lineares na forma matricial Exemplo Considere o sistema de equações lineares a seguir Note que uma equação é múltipla da outra desse modo as retas são coincidentes como mostra a Figura 2 a seguir Figura 2 Retas coincidentes do exemplo 2 Fonte Elaborado pela autora 2022 28 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Logo para o sistema de equações 14 qualquer ponto de uma das retas é solução do sistema Podemos ainda escrever a matriz do sistema e obter a forma reduzida da matriz Observe que temos o sistema A segunda equação é válida para qualquer valor de e podendo então ser descartada Já a partir da primeira equação podemos estabelecer uma dependência entre e Exemplo Considere o sistema de equações a seguir Geometricamente o sistema de equações 15 representa duas retas paralelas mostradas na Figura 3 Figura 3 Retas paralelas do sistema de equações 15 Fonte Elaborado pela autora 2022 Vejamos o que acontece com a matriz que representa esse sistema Logo temos o sistema de equações 29 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Note que não existe ponto que satisfaça a segunda equação do sistema 16 desse modo não existe solução para o sistema de equações 15 e dizemos que ele é incompatível RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que os sistemas de equações lineares são muito importantes na solução de diversos problemas Você deve ter aprendido que quando temos um sistema com equações e incógnitas podemos solucioná lo desde que essas equações não representem retas paralelas pois nesse caso não existirá um ponto no espaço que satisfaça todas as equações simultaneamente Além disso se as equações são múltiplas uma das outras o sistema tem infinitas soluções pois representam retas coincidentes Você deve ter aprendido a relacionar um sistema de equações com matrizes e viceversa e a partir daí como encontrar soluções para esses sistemas e que para isso devemos fazer operações nas linhas das matrizes e que essas operações podem ser soma entre linhas ou multiplicação de uma linha por um escalar 30 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Espaço e subespaço vetorial OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender o conceito espaço e subespaço vetorial Isso será fundamental para o exercício de sua profissão A partir desses conceitos será possível compreender e resolver problemas com dimensões maiores E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Introdução Desde o início da nossa jornada acadêmica trabalhamos formulando teorias sobre alguns conjuntos específicos De imediato podemos citar os conjuntos e respectivamente a reta real o plano e o espaço tridimensional No entanto para se justificar novas e importantes teorias é necessária uma generalização de espaços conjuntos como estes Podemos citar o problema de estimar a condutividade térmica um número real associado com cada material de um corpo condutor de calor Para resolver esse problema podese requerer que a temperatura seja medida em vários pontos precisando então trabalhar com vetores com muito mais do que três componentes o que torna o espaço tridimensional insuficiente para o propósito Motivados por problemas dessa natureza temos como objetivo inicial apresentar uma classe de conjuntos os espaços vetoriais Nesse capítulo apresentaremos o conceito de espaços vetoriais subespaços vetoriais e suas propriedades que servirão de base para definirmos posteriormente as transformações lineares 31 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Espaços vetoriais Um espaço vetorial real é um conjunto nãovazio munido das operações 1 Soma ou seja 2 Multiplicação por escalar ou seja Onde são vetores que pertencem ao espaço vetorial e Sejam as seguintes propriedades para a adição são válidas STEINBRUCH 1987 A1 A2 A3 Existe um vetor nulo tal que A4 Existe tal que Já em relação a multiplicação por um escalar para todo e temos as seguintes propriedades M1 M2 M3 M4 32 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 A seguir vejamos algumas observações importantes 1 A cada elemento do conjunto definido anteriormente chamamos de vetor de 2 O elemento da propriedade A3 é único e chamado de vetor nulo do espaço vetorial 3 O elemento da propriedade M4 é único e chamado de unidade do espaço vetorial EXEMPLO 1 O conjunto dos números reais é um espaço vetorial As oito propriedades da definição são garantidas pelas propriedades de números reais para todo e 2 O conjunto das matrizes de ordem Se e então pelas condições de adição e é portanto um espaço vetorial 3 Vamos verificar se o conjunto das funções contínuas reais 33 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 é um espaço vetorial Sejam e funções reais pertencentes a de acordo com a condição da soma temos E sendo um número real de acordo com a condição de multiplicação Logo o conjunto é um espaço vetorial 4 Outro exemplo de espaço vetorial é o conjunto dos polinômios de grau e coeficientes reais que satisfaz as propriedades de soma E de multiplicação Onde são polinômios reais que pertencem a e é um número real Você deve ter percebido que um espaço vetorial nada mais é do que um conjunto que cumpre certas propriedades Os subconjuntos de um espaço vetorial serão chamados de subespaços vetoriais e serão definidos e estudados a seguir 34 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Subespaços vetoriais DEFINIÇÃO Um subconjunto nãovazio do espaço vetorial é dito um subespaço vetorial de se para todo vetor e tivermos STEINBRUCH 1987 Ou seja preserva a estrutura algébrica de Usualmente denotamos para indicar que é subespaço de A seguir algumas observações importantes acerca de subespaços vetoriais STEINBRUCH 1987 1 As condições impostas na definição de um subespaço vetorial são suficientes para afirmarmos que é um espaço vetorial 2 Um espaço vetorial possui ao menos dois subespaços vetoriais são eles o vetor nulo e o próprio espaço vetorial Esses subespaços são chamados de subespaços triviais EXEMPLO 1 Considere o espaço vetorial verifique se é um subespaço vetorial de SOLUÇÃO Podemos escrever da seguinte forma Vamos verificar se a soma de dois vetores de pertence a considere os vetores e 35 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 onde Agora vamos verificar se a multiplicação por escalar é satisfeita onde neste caso Portanto é subespaço vetorial de 2 Considere espaço vetorial verifique se é subespaço vetorial de SOLUÇÃO Podemos escrever da seguinte forma Sejam e vetores de Vamos verificar a condição da soma Se logo não pertence a desse modo não é subespaço vetorial de 36 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Interseção de subespaços Considere os subespaços e do espaço vetorial A interseção de e representada por é o conjunto de todos os vetores tais que e STEINBRUCH 1987 Existe um teorema que nos diz que a interseção de dois subespaços vetoriais é também um subespaço vetorial de STEINBRUCH 1987 EXEMPLO Considere o espaço vetorial e os subespaços e Determine a interseção SOLUÇÃO A interseção é o vetor nulo de Soma de subespaços Considere um espaço vetorial e que e sejam seus subespaços A soma é o conjunto de todos os vetores de modo que e STEINBRUCH 1987 Além disso a soma de dois subespaços vetoriais de é também um subespaço vetorial de 37 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 EXEMPLO Considere os subespaços vetoriais e do espaço vetorial A soma é ou seja é o próprio espaço vetorial Note que quando a interseção de dois subespaços vetoriais é o vetor nulo a soma dos subespaços é o próprio espaço vetorial E chamamos a soma de soma direta que é denotada por No exemplo anterior a soma dos subespaços é uma soma direta Combinação linear Considere um espaço vetorial e que sejam vetores que pertencem a Considere também os coeficientes Desse modo o vetor que pertence ao espaço vetorial e o chamamos de combinação linear dos vetores com coeficientes reais 38 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 EXEMPLO Considere os vetores e Mostre que é uma combinação linear de e e que não é uma combinação linear de e SOLUÇÃO Se é uma combinação linear dos vetores podemos escrever Portanto temos um sistema de três equações e duas incógnitas Isolando na primeira equação temos que Substituindo na segunda equação temos Com o resultado de podemos determinar o valor de substituindo em qualquer uma das três equações do sistema devemos obter o mesmo valor de em todas vejamos Logo é uma combinação linear de e com coeficientes e 39 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Vejamos agora se é combinação linear ou não temos que Portanto temos um sistema de três equações e duas incógnitas Isolando na primeira equação temos que Substituindo na segunda equação temos Com o resultado de podemos determinar o valor de substituindo em qualquer uma das três equações do sistema devemos obter o mesmo valor de em todas vejamos Veja que não existem coeficientes e que satisfaçam as três equações simultaneamente logo dizemos que não é combinação linear de com 40 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que um espaço vetorial é um conjunto que satisfaz as propriedades de soma e de multiplicação por um escalar isto é a soma de dois elementos desse conjunto que aqui chamamos de vetores do espaço vetorial pertence ao espaço vetorial e a multiplicação por um escalar também Além de espaço vetorial definimos também o subespaço vetorial que é um subconjunto do espaço vetorial e seus elementos devem satisfazer as mesmas propriedades Você deve ter aprendido a somar espaços vetoriais e a determinar a interseção desses espaços Você também deve ter aprendido que se um determinado espaço possui n vetores podemos determinar se um vetor pertence a esse espaço se for possível escrevêlo como uma combinação linear dos vetores do espaço vetorial em questão 41 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Compreendendo transformações lineares OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender como se processam as transformações lineares e entender que uma transformação linear é como uma função Isso será fundamental para o exercício de sua profissão E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Transformação linear Neste capítulo estamos interessados em estudar transformações entre espaços vetoriais em particular funções que preservem as operações de soma de vetores e multiplicação por escalar A essas funções damos o nome de transformações lineares DEFINIÇÃO Se e são espaços vetoriais uma transformação linear de em é uma função que possui as seguintes propriedades BOLDRINI 1980 i para todos os vetores ii para todo vetor e Para visualizarmos melhor o que são as transformações lineares vamos considerar os exemplos a seguir 42 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 EXEMPLO 1 Verifique se a função definida por é uma transformação linear onde SOLUÇÃO Sejam e dois números reais temos que Além disso portanto satisfaz a condição da soma Vamos verificar a condição da multiplicação por escalar Logo como satisfaz as duas condições podemos afirmar que é uma transformação linear 2 Verifique se é uma transformação linear SOLUÇÃO Considere os números reais e Temos que 43 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Logo não é uma transformação linear 3 Verifique se definida por é uma transformação linear SOLUÇÃO Considere os vetores e temos que ou seja Vamos ver agora se satisfaz o produto por um escalar considere um número real qualquer Logo é uma transformação linear A seguir precisamos fazer algumas observações importantes 1 As condições apresentadas na definição de transformações lineares são equivalentes a BOLDRINI 1980 para todo e para todo 2 Se é uma transformação linear então BOLDRINI 1980 ou seja o vetor nulo no espaço vetorial se transforma no vetor nulo no espaço vetorial Note que a observação 2 nos fornece outra condição que é mais simples de ser testada se uma dada transformação falhar nessa condição temos que a transformação não é linear por 44 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 outro lado se uma dada transformação satisfaz essa condição devemos ainda testar a observação 1 que sintetiza as condições de transformações lineares anteriormente definidas Vejamos mais exemplos acerca dessa discussão EXEMPLO 1 Verifique se definida por é uma transformação linear SOLUÇÃO Nossa transformação leva vetores a um número então chamamos e O primeiro passo é verificar se Agora vamos verificar se para isso considere que e sejam vetores pertencentes a Portanto é uma transformação linear 2 Verifique se definida por é uma transformação linear SOLUÇÃO Vamos verificar se Portanto não é uma transformação linear 45 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 Determinando uma transformação linear a partir da imagem dos vetores de uma base do domínio Considere que seja uma base do espaço vetorial e que seja um conjunto qualquer de vetores de um espaço vetorial Existe uma única transformação linear tal que EXEMPLO Dada uma base qualquer de por exemplo e dois vetores quaisquer de por exemplo e determinar a única transformação linear tal que SOLUÇÃO Primeiro devemos notar que de fato os vetores e formam uma base do Então podemos tomar um vetor genérico como combinação linear desses dois 46 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 e temos o seguinte sistema para resolver Isolando na primeira equação do sistema temos E substituindo na segunda equação temos E obtemos que Lembrando que Podemos aplicar nos dois lados da equação acima Núcleo e imagem de uma transformação linear Existem dois subespaços vetoriais importantes que estão associados a uma transformação linear Tratamse do núcleo e da imagem O primeiro está localizado no domínio e o segundo no contradomínio de BOLDRINI 1980 O núcleo de uma transformação linear será definido a seguir 47 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 DEFINIÇÃO Considere que e sejam espaços vetoriais e que seja uma transformação linear O conjunto é chamado de núcleo de e será denotado por BOLDRINI 1980 O núcleo de uma transformação linear contém todos os vetores do domínio que são transformados no vetor nulo do contradomínio de Considere como um exemplo a transformação linear definida por todos os vetores do tipo são transformados em por Logo Figura 4 Núcleo de uma transformação Fonte Elaborado pela autora 2022 Agora vamos definir a imagem de uma transformação linear 48 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 DEFINIÇÃO Considere os espaços vetoriais e e que seja uma transformação linear O conjunto é chamado de imagem de e o denotamos por ou simplesmente BOLDRINI 1980 Observe que tanto o núcleo quanto a imagem são conjuntos nãovazios uma vez que é uma transformação linear logo cada um desses conjuntos tem pelo menos o elemento nulo do respectivo espaço vetorial RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que uma transformação linear é como uma função mas que deve satisfazer duas condições a primeira é que a transformação da soma é a soma das transformações e a segunda é que a transformação de um vetor vezes um escalar é o escalar vezes a transformação do vetor Você deve ter aprendido também que se uma dada transformação é linear ela leva o vetor nulo de um espaço vetorial ao vetor nulo do outro espaço vetorial Você também deve ter aprendido a diferença entre núcleo e imagem de transformações lineares que o núcleo é o conjunto de vetores de um espaço vetorial que é transformado no vetor nulo do outro espaço e que imagem é a própria transformação linear 49 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 3 ANTON H Álgebra linear com aplicações Porto Alegre Bookman 2001 BOLDRINI J L Álgebra linear 3 ed São Paulo Harper Row do Brasil 1980 CALLIOLI C A Álgebra linear e aplicações 6 ed São Paulo Atual 1990 KOLMAN B Introdução à álgebra linear com aplicações São Paulo LTC 2014 STEINBRUCH A Álgebra linear São Paulo Pearson Makron Books 1987 REFERÊNCIAS