Geometria Analítica e Álgebra Linear - Unidade 1: Vetores

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Geometria Analítica Vetores Diretor Executivo DAVID LIRA STEPHEN BARROS Gerente Editorial ALESSANDRA FERREIRA Projeto Gráfico TIAGO DA ROCHA Autoria ALINE NASCIMENTO LINS 4 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 AUTORIA Aline Nascimento Lins Olá Sou bacharel em Física pela Universidade Federal de Campina Grande UFCG 2015 concluí mestrado na mesma instituição no ano de 2017 na área de Cosmologia Em 2021 concluí doutorado em Física na área de Astrofísica e Cosmologia pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Atuei como pesquisadora bolsista desde a graduação tenho experiência na área de Cosmologia e Astrofísica com ênfase em ondas gravitacionais relatividade geral e estudos em teorias modificadas para a relatividade geral Atualmente atuo como professora substituta do Departamento de Ciências Exatas e Tecnologia da Informação da Universidade Federal do Semiárido UFERSA Sou apaixonada pelo que faço e adoro transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões Por isso fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de muito estudo e trabalho Conte comigo 5 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 ÍCONES Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez que OBJETIVO Para o início do desenvolvimento de uma nova competência DEFINIÇÃO Houver necessidade de apresentar um novo conceito NOTA Quando necessárias observações ou complementações para o seu conhecimento IMPORTANTE As observações escritas tiveram que ser priorizadas para você EXPLICANDO MELHOR Algo precisa ser melhor explicado ou detalhado VOCÊ SABIA Curiosidades e indagações lúdicas sobre o tema em estudo se forem necessárias SAIBA MAIS Textos referências bibliográficas e links para aprofundamento do seu conhecimento ACESSE Se for preciso acessar um ou mais sites para fazer download assistir vídeos ler textos ouvir podcast REFLITA Se houver a necessidade de chamar a atenção sobre algo a ser refletido ou discutido RESUMINDO Quando for preciso fazer um resumo acumulativo das últimas abordagens ATIVIDADES Quando alguma atividade de autoaprendizagem for aplicada TESTANDO Quando uma competência for concluída e questões forem explicadas 6 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Compreendendo vetores 9 Reta orientada 9 Medida de um segmento 10 Direção e sentido 11 Segmentos equivalentes 12 Vetor 14 Operações com vetores 16 Adição de vetores 16 Diferença de vetores 17 Multiplicação por um escalar 17 Vetores no plano e no espaço 21 O plano 21 Distância entre dois pontos 24 Vetores no plano25 Operações com vetores 27 O espaço28 Produtos de vetores 33 Introdução 33 Propriedades do produto vetorial 38 Produto misto 42 Cálculo de volumes com produto misto 43 Propriedades do produto misto 45 Reta no plano e no espaço 47 Equações da reta 47 Posição relativa de retas 50 Distância entre retas 54 SUMÁRIO 7 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 APRESENTAÇÃO Você sabia que a geometria é uma das ferramentas matemáticas que melhor conectam o homem com o meio em que ele vive Isso mesmo Isso acontece porque a geometria tem caráter intuitivo e podemos observála no nosso dia a dia desde o formato de objetos naturais como o formato cilíndrico de um tronco de árvore até objetos moldados e transformados por humanos como casas prédios placas de trânsito etc A geometria está presente em todo lugar é a parte da matemática que descreve as propriedades físicas de todas as formas Quando surgiu sua principal utilidade era a demarcação de terrenos por meio da comparação É considerada uma ferramenta de grande importância para a relação do homem com o meio em que ele vive já que é mais intuitiva evidente e concreta Entendeu Ao longo desta unidade letiva você vai mergulhar neste universo 8 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 OBJETIVOS Olá Seja muito bemvindo à Unidade 1 Nosso objetivo é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes competências profissionais até o término desta etapa de estudos 1 Definir e compreender os conceitos básicos sobre vetores 2 Representar vetores no plano e no espaço 3 Aplicar as propriedades dos produtos de vetores 4 Representar a reta no plano e no espaço 9 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Compreendendo vetores OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender o conceito de reta segmento de reta e vetores além de aprender a fazer uma relação entre um segmento e uma unidade de comprimento Esse conhecimento será fundamental para o exercício da sua profissão E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Reta orientada Uma reta que denotaremos por é orientada quando associamos a ela o sentido de percurso que é indicado por uma seta como mostrado na Figura 1 de modo que se define o sentido como sendo positivo O sentido oposto é negativo Figura 1 Reta orientada Fonte Elaborada pela autora 2022 Aqui também se faz necessário introduzir o conceito de segmento orientado Um segmento é determinado por um par ordenado de pontos sendo o primeiro ponto chamado de origem é o ponto em que o segmento tem início e o segundo ponto é chamado de extremidade é o ponto em que o segmento 10 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 acaba e geometricamente é caracterizado por uma seta que liga os dois pontos e determina o sentido do segmento como mostra na Figura 2 a seguir Figura 2 Reta orientada Fonte Elaborada pela autora 2022 Quando a origem e a extremidade do segmento são coincidentes temos um segmento nulo ou seja quando o segmento STEINBRUCH 1987 Se o segmento é orientado ou seja se ele tem um sentido então o segmento é oposto a ele e podemos escrever que Medida de um segmento É possível associar ao segmento uma medida Para isso devese fixar uma unidade de comprimento e a cada segmento orientado fazemos associação com um número real A medida do segmento é chamada de módulo ou comprimento Aqui utilizaremos a seguinte notação o segmento tem comprimento Como exemplo considere a Figura 3 na qual temos um segmento de comprimento em que significa unidades de comprimento 11 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Figura 3 Comprimento de um segmento Fonte Elaborada pela autora 2022 IMPORTANTE Note que o comprimento do segmento AB é o mesmo do segmento BA ou seja Direção e sentido Dois segmentos orientados e não nulos têm a mesma direção se suas retassuporte são paralelas Veja na Figura 4 exemplos de segmentos com a mesma direção Figura 4 Segmentos com a mesma direção Fonte Elaborada pela autora 2022 12 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Na Figura 4a temos dois segmentos na mesma direção e sentido na Figura 4b temos dois segmentos na mesma direção mas sentidos opostos ambos os casos são não colineares Dizemos que dois segmentos são colineares quando possuem o mesmo vetor diretor como na Figura 4c em que na reta de cima temos dois segmentos colineares com mesma direção e sentido e na reta de baixo temos dois segmentos colineares com a mesma direção mas em sentidos opostos IMPORTANTE Só é possível comparar os sentidos de dois segmentos se eles estiverem na mesma direção Segmentos equivalentes Dois segmentos e são ditos equivalentes quando estão na mesma direção mesmo sentido e possuem comprimentos iguais Temos duas possibilidades para dois segmentos serem equivalentes a primeira é que ambos pertencem à mesma reta como mostra a Figura 5 Figura 5 Dois segmentos equivalentes em uma mesma reta Fonte Elaborada pela autora 2022 13 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Quando os segmentos equivalentes não pertencem à mesma reta deve haver a relação ou seja o segmento deve ser paralelo ao segmento e o segmento deve ser paralelo ao segmento formando assim um paralelogramo como mostra a Figura 6 Figura 6 Paralelogramo Fonte Elaborada pela autora 2022 IMPORTANTE Quando dois segmentos são equivalentes usamos a notação Temos as seguintes propriedades da equivalência de segmentos Um segmento é equivalente a ele próprio A equivalência é simétrica se então A equivalência é transitiva se e então Dado um segmento e um ponto existe um único ponto que satisfaz 14 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Vetor Um vetor é determinado por um segmento orientado Podemos usar as seguintes notações para vetor As características de um vetor são as mesmas dos segmentos que o representam em módulo direção e sentido o módulo de um vetor é denotado por Dois vetores e são iguais se e somente se O vetor nulo é identificado por Podemos determinar também vetores opostos Considere o vetor sabemos que o vetor é oposto ao vetor então Quando o módulo de um vetor é igual a dizemos que esse vetor é unitário Considere um vetor seja um vetor unitário se está na mesma direção e sentido do vetor dizemos que é um versor de Na Figura 6 temos um vetor de módulo e dois vetores unitários e Note que apenas tem a mesma direção e sentido de Desse modo é um vetor unitário e é um versor de Figura 7 Vetor unitário e versor Fonte Elaborada pela autora 2022 15 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 EXEMPLO Seja um vetor determinado pelos pontos e escreva o vetor em termos das coordenadas Solução O vetor é representado pela diferença logo Se dois ou mais vetores pertencem à mesma reta ou a retas paralelas eles são ditos paralelos Se três ou mais vetores pertencem ao mesmo plano eles são ditos coplanares Na Figura 8 temos três vetores em um mesmo plano Figura 8 Três vetores coplanares Fonte Elaborada pela autora 2022 IMPORTANTE Note que dois vetores serão sempre coplanares mas três ou mais vetores podem ser coplanares ou não 16 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Operações com vetores Nesta seção estudaremos algumas operações entre vetores como a soma de vetores a subtração de vetores e a multiplicação de um vetor por uma constante Adição de vetores Considere os vetores e em que o vetor é representado pelo segmento orientado e o vetor é representado por como mostra a Figura 9 A soma desses dois vetores é representada pelo vetor determinado pelos pontos e Então definese a soma dos dois vetores por REIS 2012 A adição de vetores satisfaz as seguintes propriedades Comutatividade Associatividade Existe um único vetor nulo tal que para qualquer vetor a soma deste com o vetor nulo é ele próprio ou seja Para todo vetor existe um único vetor oposto a ele tal que EXEMPLO Seja e determine a soma Solução 17 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Diferença de vetores Considere dois vetores e A diferença entre eles é o vetor Geometricamente podemos considerar o que é mostrado na Figura 9 O vetor é representado pelo segmento orientado e o vetor por A partir desses segmentos construímos o paralelogramo e identificamos a soma desses vetores como sendo representada pelo segmento orientado que é uma das diagonais do paralelogramo Também identificamos o vetor da diferença representado pelo segmento a outra diagonal REIS 2012 Figura 9 Adição e diferença entre vetores Fonte Elaborada pela autora 2022 EXEMPLO Seja e determine a diferença Solução Multiplicação por um escalar Nesta seção estudaremos como multiplicar um vetor por um número real Considere o vetor não nulo e um número real 18 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 qualquer Chamamos de produto do número real pelo vetor o vetor Tal que O módulo do produto é O produto possui a mesma direção do vetor O sentido de é o mesmo de se e é o sentido oposto se Na Figura 10 temos o vetor e os produtos e nos quais vemos que o sentido muda apenas no caso em que a constante de multiplicação é negativa Figura 10 Multiplicação de um vetor por um escalar Fonte Elaborada pela autora 2022 IMPORTANTE Se ou o produto é o vetor nulo O versor de um vetor não nulo é unitário pois Sejam e dois vetores quaisquer e e números reais a multiplicação de um vetor por um número real deve satisfazer as seguintes propriedades Associatividade 19 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Distributividade em relação à adição de escalares Distributividade em relação à adição de vetores Identidade EXEMPLO Se e Determine a b c Solução a b c 20 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido a diferença entre reta segmento de reta e vetores e que um vetor tem direção sentido e módulo Você deve ter aprendido também a relacionar um vetor com um comprimento e que um versor é um vetor de comprimento igual a 1 Você deve ter aprendido que a soma de dois vetores é um vetor que pode ser calculado por meio da diagonal do paralelogramo formado por esses vetores e que a subtração é a outra diagonal do mesmo paralelogramo Além disso você deve ter aprendido que o módulo de um vetor representa o comprimento deste e que ao multiplicar um vetor por uma constante estamos mudando o módulo destes E se a constante for positiva o sentido não muda e se a constante for negativa o sentido será o oposto 21 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Vetores no plano e no espaço OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de representar vetores no plano e no espaço Desse modo será possível relacionar vetores com números reais Esse conhecimento será fundamental para o exercício de sua profissão E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante O plano É denotado por o conjunto formado pelos pares ordenados em que e são números reais REIS 2012 Considere os pares ordenados e a relação só é verdadeira se e Desse modo os pares ordenados e são diferentes Na Figura 11 apresentamos o plano cartesiano Um sistema de coordenadas cartesianas em um plano consiste de um par de eixos perpendiculares e contidos nesse plano com a mesma origem O eixo é chamado de eixo das abcissas e o eixo é o eixo das ordenadas e esse sistema é usualmente indicado pela notação Figura 11 Plano cartesiano Fonte Elaborada pela autora 2022 22 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Escolhendo um sistema de coordenadas no plano podemos realizar uma correspondência biunívoca entre qualquer ponto do plano e um par ordenado LIMA 2012 Os números e são chamados de coordenadas do ponto Definimos as coordenadas de um ponto da seguinte forma Se está sob o eixo o par ordenado que representa é em que é a coordenada de no eixo Se está sob o eixo o par ordenado que representa é em que é a coordenada de no eixo Se não está em nenhum dos eixos traçamos uma reta passando por paralela ao eixo e outra paralela ao eixo e observase que essas retas cortam o eixo no ponto de coordenada e o eixo no ponto de coordenada Figura 11 Plano cartesiano Fonte Elaborada pela autora 2022 O ponto na Figura 11 representa a origem do sistema de coordenadas sendo representado pelo par ordenado A inserção de coordenadas no plano é de grande importância tanto para resolver diversos problemas geométricos quanto para 23 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 estudar o comportamento de funções observando o seu gráfico LIMA 2012 Representaremos os pontos com respeito ao seu par ordenado da seguinte forma O que significa que o ponto é localizado na interseção das retas e traçadas no plano cartesiano O plano cartesiano é dividido em quatro regiões e cada uma é chamada de quadrante O primeiro quadrante é a região dos pontos em que e são positivos O segundo quadrante é a região dos pontos em que é negativo e é positivo O terceiro quadrante é a região dos pontos em que e são negativos Por fim o quarto quadrante é a região dos pontos em que é positivo e é negativo LIMA 2012 Na Figura 12 temos um esboço do plano cartesiano com quatro pontos distribuídos nos quatro quadrantes Figura 12 Regiões do plano cartesiano Fonte Elaborada pela autora 2022 24 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 O primeiro e terceiro quadrantes formam dois ângulos retos opostos pelo vértice Os pontos da bissetriz comum desses dois ângulos são equidistantes dos lados logo têm abcissa e ordenada iguais LIMA 2012 Essa reta que denotaremos por é a diagonal do plano e um ponto pertence a essa reta apenas se como mostra a Figura 13 Figura 13 Retas diagonais do plano Fonte Elaborada pela autora 2022 Distância entre dois pontos Considere os pontos e no plano cartesiano como mostrado na Figura 14 A partir desses pontos podemos traçar os segmentos de reta que ligam esses pontos formando um triângulo retângulo 25 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Figura 14 Distância entre dois pontos no plano Fonte Elaborada pela autora 2022 Observando a Figura 14 podemos escrever a distância entre os pontos e como sendo a medida da hipotenusa do triângulo Vetores no plano Já vimos como determinar um ponto no plano agora estamos interessados em localizar um vetor no plano cartesiano Como sabemos um vetor tem o início em um ponto e fim em outro ponto então para determinar um vetor em um plano cartesiano precisamos ligar o ponto da origem ao ponto da extremidade desse vetor Considere um vetor que vai da origem ao ponto e outro vetor que vai do ponto ao ponto Esses dois vetores são representados na Figura 15 26 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Figura 15 Vetores no plano Fonte Elaborada pela autora 2022 De agora em diante a menos que seja especificado tomaremos os vetores partindo da origem e denotaremos um vetor como sendo com e sendo sua extremidade Perceba que a notação de ponto e de vetor são bem parecidas mas o vetor sempre será acompanhado da seta e o ponto será representado por letra maiúscula EXEMPLO Calcule o módulo dos vetores e Solução O módulo de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas do vetor ou seja 27 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Operações com vetores Considere os vetores e e a constante Definimos que A soma de vetores resulta em um vetor cujas coordenadas é a soma das coordenadas dos vetores Ao multiplicar um vetor por uma constante a constante deve multiplicar cada componente do vetor Sejam e vetores no plano a adição de vetores satisfaz as propriedades a seguir em que é o vetor nulo Sejam e números reais a multiplicação de um vetor por um número real satisfaz as propriedades e EXEMPLO Se e Calcule a b c O módulo dos vetores 28 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 d Os versores de Solução a b c O módulo do vetor é O módulo do vetor é O módulo do vetor é a Os versores são obtidos dividindo o vetor pelo seu módulo logo o versor de é ele mesmo O versor de é E o versor de é O espaço Denotamos por o conjunto formado pelas ternas ordenadas em que são números reais E o objetivo inicial é realizar uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço e as ternas ordenadas Para isso tomamos três retas e perpendiculares entre si e concorrentes no ponto que será a origem no nosso sistema como mostra a Figura 16 a seguir 29 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Figura 16 Sistema de coordenadas no espaço Fonte Elaborada pela autora 2022 IMPORTANTE Note que o sistema de coordenadas espacial é na verdade a junção de três planos cada um munido de seu próprio sistema de coordenadas Os eixos e por exemplo definem o plano horizontal Considere um ponto qualquer no espaço traçando uma reta que passa por e é perpendicular ao eixo e outra perpendicular ao plano determinamos os pontos e de modo que o ponto determine os pontos e nos eixos e respectivamente Figura 17 Ponto no espaço Fonte Elaborada pela autora 2022 30 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Para indicarmos que um ponto tem coordenadas utilizamos a notação EXEMPLO Uma sala tem de largura por de comprimento e de altura Estabeleça um sistema de coordenadas e determine os seguintes pontos a Os oito cantos da sala b O ponto em que as diagonais do piso se interceptam c O ponto situado a de altura sobre a vertical que contém a interseção das diagonais do piso Solução Na Figura 18 temos um esquema de como posicionamos a sala em um sistema de referência tridimensional Note que há infinitas formas de fazer isso mas escolhemos esse esquema por uma questão de simplicidade a Note que nessa configuração conseguimos deter minar os oito cantos da sala facilmente obtendo b Agora precisamos determinar o ponto Note que esse ponto está no plano logo sua coordenada será zero O ponto fica bem no centro 31 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 do retângulo do piso da sala logo as coordenadas do ponto são c Precisamos determinar o ponto Note que esse ponto tem as mesmas coordenadas e do ponto com a diferença de que está a acima logo Figura 18 Sistema de coordenadas no espaço Fonte Elaborada pela autora 2022 32 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que aos segmentos de reta podemos estabelecer uma correspondência biunívoca com os números reais positivos A partir dessa relação foi possível a construção de réguas uma vez que quando falamos em medidas estamos falando em comparar um objeto com um objeto padrão O valor correspondente a um segmento de reta nada mais é que o comprimento desse segmento Você deve ter aprendido também que no plano um ponto é determinado pelo par e no espaço pela terna Você deve ter aprendido que um vetor pode ser determinado pela diferença entre dois pontos sendo então quando consideramos que o vetor parte da origem representado por no plano ou no espaço Você também deve ter aprendido a calcular distâncias no plano e no espaço 33 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Produtos de vetores OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender como se realiza o produto entre dois vetores Verá que esse produto pode ser escalar ou vetorial e que esse cálculo pode ser aplicado na determinação do volume de figuras geométricas Isto será fundamental para o exercício de sua profissão E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Introdução Existem vários problemas na geometria em que é necessário encontrar um vetor ortogonal a dois outros vetores não colineares e Para encontrar um vetor ortogonal a e do ponto de vista geométrico devemos considerar o plano determinado pelas retas que contêm os vetores e e em seguida considerar uma terceira reta perpendicular a esse plano Figura 19 de modo que se deve escolher um vetor com a mesma origem de e sobre essa reta Figura 19 Vetores ortogonais Fonte Elaborada pela autora 2022 34 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Antes de definir o produto vetorial entre dois vetores algebricamente devemos saber a diferença entre base vetorial positiva e base vetorial negativa Para isso considere o sistema representado na Figura 20 Figura 20 Base vetorial Fonte Elaborada pela autora 2022 Uma base é dita positiva se o sentido de rotação é anti horário e negativa se o sentido de rotação é horário Para o sistema da Figura 20 temos as seguintes bases vetoriais positivas Além das bases positivas temos as bases negativas que são 35 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 DEFINIÇÃO O produto escalar de dois vetores e é um número indicado por tal que se e Definição O produto vetorial de dois vetores e é um vetor indicado por tal que Se é linearmente dependente LD então Se é linearmente independente LI e é a medida do ângulo entre e então i ii é ortogonal a e a iii é uma base positiva Se é linearmente independente temos que 36 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Se existe algum que satisfaça a equação então dizemos que é LD EXEMPLO Considere os vetores e em que e Calcule Solução Sabemos que EXEMPLO Considere a base ortogonal positiva ilustrada na Figura 20 e determine os produtos vetoriais Solução Os ângulos entre os vetores de base ortogonal são sempre logo Note que o produto vetorial entre um vetor e ele mesmo será sempre zero uma vez que o ângulo entre dois vetores iguais é zero e o seno de zero é igual a zero então podemos resolver facilmente três desses produtos vetoriais Além disso os vetores são escolhidos como tendo norma igual a 1 logo o produto entre um par da base resulta no outro vetor da base a diferença aqui está no sinal que é determinado pela orientação da base Como a base é positiva logo os produtos vetoriais a seguir são todos positivos 37 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Pelo mesmo motivo os produtos vetoriais a seguir são negativos Pela definição de produto vetorial temos que em que é um número real positivo mas o produto vetorial de dois vetores e é sempre um outro vetor já o produto escalar de dois vetores é um núme ro SIMMONS 1987 Uma aplicação muito interessante do produto vetorial é que podemos utilizálo para determinar a área de figuras geométricas Vejamos o exemplo a seguir EXEMPLO Considere o paralelogramo da Figura 21 Calcule a área do paralelogramo e a área do triângulo Solução Sabemos que a área de um paralelogramo é a base vezes a altura ou seja Mas pelo triângulo temos que 38 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Portanto A área do paralelogramo é o produto vetorial dos vetores e Além disso a área do triângulo é Figura 21 Paralelogramo Fonte Elaborada pela autora 2022 Propriedades do produto vetorial Podemos escrever as seguintes propriedades para o produto vetorial 39 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Em que e são vetores e é um número real Para escrever o produto vetorial na forma de um novo vetor considere uma base ortogonal positiva e os vetores e que podem ser escritos na base como SIMMONS 1987 e E o produto vetorial é Todos esses produtos vetoriais já foram calculados e são 40 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Logo Note que podemos obter o mesmo resultado calculando o determinante que é uma forma mais simples de memorizar do que a Equação 8 EXEMPLO Considere os vetores e Calcule a b c Solução a Vamos calcular o produto vetorial a partir do determinante 41 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 b e note que ou seja é LD desse modo mas vamos verificar c e como temos que o produto vetorial foi calculado em a em que obtivemos Desse modo temos que mas vamos verificar aplicando o determinante 42 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Como era esperado Produto misto Nesta seção vamos estudar o produto misto que é um tipo de produto envolvendo três vetores DEFINIÇÃO Definição Sejam e três vetores quaisquer o produto misto dos vetores é indicado por STEINBRUCH 1987 é um número real Vamos ver alguns exemplos e aplicações de produto misto EXEMPLO Considere os vetores e Calcule a b Solução a Vamos calcular o produto vetorial primeiro 43 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Agora podemos realizar o produto escalar b Veja que logo Cálculo de volumes com produto misto Uma aplicação muito importante para o produto misto de vetores é no cálculo de volumes Considere o paralelepípedo de arestas e da Figura 22 Figura 22 Paralelepípedo Fonte Elaborada pela autora 2022 Sabemos que o volume do paralelepípedo é o produto entre a área da base e sua altura 44 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 A base do paralelepípedo é o paralelogramo e como vimos anteriormente sua área é dada por logo Pela Figura 20 podemos relacionar com o e a norma do vetor já que logo e Mas então podemos escrever que o volume do paralelepípedo é 45 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Propriedades do produto misto Sejam vetores quaisquer e um número real temos as seguintes propriedades a respeito do produto misto SIMMONS 1987 se e são coplanares Para obter uma expressão cartesiana do produto misto considere uma base ortogonal positiva e os vetores e temos que 46 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 A expressão 17 pode ser obtida a partir do cálculo do determinante a seguir RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que o produto entre dois vetores pode ser escalar quando obtemos como resultado um número ou seja um escalar ou um produto vetorial quando obtemos como resultado um vetor O produto escalar é denotado por um ponto entre os dois vetores O produto vetorial é denotado por um entre os dois vetores No produto escalar multiplicase a componente do primeiro vetor com a componente do segundo a componente do primeiro com a componente do segundo Já no produto vetorial devemos fazer o cálculo do determinante colocando na primeira linha os vetores da base na segunda linha as componentes do primeiro vetor e na terceira linha as componentes do terceiro vetor Você também deve ter aprendido o produto misto E que o produto entre vetores pode determinar o volume de um sólido geométrico 47 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Reta no plano e no espaço OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de escrever a equação de uma reta em três formas diferentes a partir das equações vetorial paramétrica e simétrica A partir da equação de uma reta podemos verificar se determinado ponto lhe pertence ou não E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Equações da reta Nesta seção serão apresentadas as principais formas de equação da reta que pode ser representada na forma vetorial paramétrica e simétrica DEFINIÇÃO Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chamase vetor diretor dessa reta LIMA 2012 Sejam um vetor diretor de uma reta e um ponto de um ponto pertence a se e somente se for linearmente dependente LD ou seja se e somente se existir algum número tal que Isso equivale a LIMA 2012 DEFINIÇÃO A equação 19 é chamada de equação vetorial da reta ou equação da reta na forma vetorial 48 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Tomemos agora um sistema de coordenadas e suponhamos que em relação a ele e note que Reescrevendo a equação 19 temos que ou seja em que DEFINIÇÃO Denominamos o sistema de equações 21 como equações paramétricas da reta ou ainda sistema de equações da reta na forma paramétrica Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor de é nula podemos isolar no primeiro membro de cada uma das equações 21 e obteremos LIMA 2012 Portanto 49 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 DEFINIÇÃO O sistema de equações 23 é chamado de sistema de equações da reta na forma simétrica ou por abuso de linguagem equações da reta na forma simétrica EXEMPLO Considere a reta determinada pelos pontos e Determine as equações de tanto na forma vetorial quanto nas formas paramétrica e simétrica e verifique se o ponto pertence a Além disso determine dois vetores diretores de e dois pontos de que sejam diferentes dos pontos e Solução Devemos obter Com esse vetor e o ponto escrevemos a equação vetorial da reta Separando cada coordenada obtemos as equações paramétricas da reta 50 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 E isolando nas equações paramétricas encontramos a equação simétrica Para verificar se pertence à reta basta substituir esse ponto na equação simétrica e verificar se ela é satisfeita Para isso fazemos Logo como é solução do sistema podemos afirmar que o ponto pertence à reta Note que podemos substituir em qualquer uma das equações da reta Além disso qualquer múltiplo escalar não nulo de é um vetor diretor de por exemplo Posição relativa de retas Na geometria temos quatro possibilidades para a posição relativa de duas retas no espaço Considere as retas e elas podem ser LIMA 2012 Reversas Concorrentes Paralelas distintas Paralelas coincidentes Se é um vetor diretor da reta e é um vetor diretor da reta e se e são respectivamente pontos de e alguns fatos em que podemos basear nosso raciocínio são REIS 2012 51 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 As retas e são reversas retas reversas pertencem a planos distintos se e somente se for linearmente independente LI REIS 2012 De forma equivalente as retas e são coplanares se e somente se é LD As retas e são paralelas se e somente se for LD REIS 2012 As retas e são concorrentes se e somente se são coplanares e não paralelas isto é é LD e é LI REIS 2012 Na Figura 23a temos uma representação de retas reversas e na Figura 23b temos uma representação de retas concorrentes Figura 23 Retas reversas e retas concorrentes Fonte Elaborada pela autora 2022 Desse modo temos um roteiro a seguir para determinar a posição relativa de duas retas e Se é LD as retas e são paralelas Para verificar se elas são distintas ou coincidentes basta verificar se um ponto de pertence a Se é LI as retas não são paralelas podendo ser concorrentes ou reversas REIS 2012 Se é 52 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 LI as retas são reversas e caso contrário as retas são concorrentes De forma alternativa podemos determinar a posição relativa de duas retas e por meio da interseção entre essas retas Se houver uma única solução as retas são concorrentes Se o sistema tiver infinitas soluções Se for incompatível e são reversas ou paralelas distintas conforme seus vetores sejam respectivamente LI ou LD EXEMPLO Estude a posição relativa das retas e nos casos a b c Solução a Os vetores e são respectivamente os vetores diretores das retas e Vamos primeiro verificar se são LD ou LI 53 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Logo é LI e as retas e são reversas ou concorrentes Consideramos o ponto de e o ponto de e vamos verificar se é LI ou LD Resolvendo esse sistema de equações obtemos logo é LI e as retas e são reversas b os vetores e são respectivamente os vetores diretores de e vamos verificar se são LI ou LD Logo existem e e é LD e as retas e são paralelas Para verificar se são distintas ou coincidentes é necessário verificar se o ponto da reta pertence à reta 54 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Como o sistema tem solução e portanto c Um ponto pertence a se e somente se e satisfizer as equações planares de A única solução para obter esse sistema é Logo as retas se interceptam em um único ponto logo e são concorrentes no ponto Distância entre retas A distância entre as retas e pode ser calculada com o auxílio de uma reta perpendicular a e se intercepta e em e então Sempre existe a reta e se e são paralelas há infinitas retas perpendiculares a e Se e são concorrentes ou reversas é única STEINBRUCH 1987 Na Figura 24 temos um esboço de como é medida a distância entre retas reversas concorrentes e paralelas 55 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Figura 24 Distância entre retas Fonte Elaborada pela autora 2022 Se as retas e são reversas existe um único plano que contém e é paralelo a se é um ponto qualquer de e é um ponto qualquer de temos que Se as retas e são concorrentes a distância entre elas é zero pois Se as retas e são paralelas a equação 24 não pode ser aplicada porque Para calcular a distância escolhemos um ponto qualquer de uma delas e calculamos a sua distância em relação a outra STEINBRUCH 1987 EXEMPLO Calcule a distância entre as retas 56 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Solução é um vetor diretor da reta e é um vetor diretor da reta Logo Desse modo podemos aplicar a fórmula da equação 22 com e para obter fazemos na equação da reta Da qual obtemos Ou seja e Logo 57 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 EXEMPLO Dadas as retas e e os pontos e obtenha a equação vetorial da reta que contém é concorrente com e equidista de e Solução Já sabemos que Seja o ponto de interseção entre e em que essas retas concorrem podemos escrever pois e deve satisfazer a equação da reta Portanto é um vetor diretor de que podemos definir como sendo Como não sabemos se é paralela ou não à reta vamos verificar as duas possibilidades Se não é paralela a podemos aplicar a fórmula da equação 22 utilizando os pontos de e de e os vetores e Assim Agora vamos calcular 58 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 Finalmente podemos fazer o produto escalar e Uma primeira solução é Se é paralela a ou seja Veja que essa solução satisfaz as condições do enunciado é concorrente com no ponto e 59 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que duas retas podem ser paralelas reversas ou concorrentes Você deve ter aprendido também a escrever a equação da reta na forma vetorial paramétrica e simétrica e que a partir da equação da reta podemos verificar se determinado ponto lhe pertence ou não Também podemos determinar a partir das equações das retas se elas são paralelas reversas ou concorrentes Você também deve ter aprendido a calcular a distância entre duas retas e que se elas são concorrentes a distância entre elas é zero se elas são paralelas distintas calcula se a distância entre dois pontos um pertencendo a uma das retas e o outro a outra reta e se as retas forem reversas utilizamos a equação 24 para determinar a distância 60 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 1 REFERÊNCIAS LIMA E L Geometria analítica e álgebra linear 2 ed Rio de Janeiro IMPA 2012 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica 2 ed Rio de Janeiro LTC 2012 SIMMONS G F Cálculo com geometria analítica São Paulo Pearson Makron Books 1987 STEINBRUCH A Geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 1987