Geometria Analítica e Álgebra Linear - Unidade 2: Retas, Planos e Espaço

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Geometria Analítica Retas Planos e Espaço Diretor Executivo DAVID LIRA STEPHEN BARROS Gerente Editorial ALESSANDRA FERREIRA Projeto Gráfico TIAGO DA ROCHA Autoria ALINE NASCIMENTO LINS 4 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 AUTORIA Aline Nascimento Lins Olá Sou bacharel em Física pela Universidade Federal de Campina Grande UFCG 2015 concluí mestrado na mesma instituição no ano de 2017 na área de Cosmologia Em 2021 concluí doutorado em Física na área de Astrofísica e Cosmologia pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Atuei como pesquisadora bolsista desde a graduação tenho experiência na área de Cosmologia e Astrofísica com ênfase em ondas gravitacionais relatividade geral e estudos em teorias modificadas para a relatividade geral Atualmente atuo como professora substituta do Departamento de Ciências Exatas e Tecnologia da Informação da Universidade Federal do Semiárido UFERSA Sou apaixonada pelo que faço e adoro transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões Por isso fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de muito estudo e trabalho Conte comigo 5 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 ÍCONES Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez que OBJETIVO Para o início do desenvolvimento de uma nova competência DEFINIÇÃO Houver necessidade de apresentar um novo conceito NOTA Quando necessárias observações ou complementações para o seu conhecimento IMPORTANTE As observações escritas tiveram que ser priorizadas para você EXPLICANDO MELHOR Algo precisa ser melhor explicado ou detalhado VOCÊ SABIA Curiosidades e indagações lúdicas sobre o tema em estudo se forem necessárias SAIBA MAIS Textos referências bibliográficas e links para aprofundamento do seu conhecimento ACESSE Se for preciso acessar um ou mais sites para fazer download assistir vídeos ler textos ouvir podcast REFLITA Se houver a necessidade de chamar a atenção sobre algo a ser refletido ou discutido RESUMINDO Quando for preciso fazer um resumo acumulativo das últimas abordagens ATIVIDADES Quando alguma atividade de autoaprendizagem for aplicada TESTANDO Quando uma competência for concluída e questões forem explicadas 6 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 SUMÁRIO Estudando o plano no espaço 9 Equação geral do plano 9 Equação vetorial e equações paramétricas do plano 12 Ângulos de dois planos 14 Planos perpendiculares 15 Paralelismo e perpendicularismo entre retas e planos 16 Reta contida em um plano 17 Interseção de dois planos 17 Estudando distâncias 20 Introdução 20 Distância entre dois pontos 20 Distância entre um ponto e uma reta21 Distância entre um ponto e um plano 23 Distância entre uma reta e um plano 24 Distância entre dois planos 26 Distância entre retas 27 Compreendendo as cônicas 30 Cônicas 30 A parábola 32 A elipse 34 A hipérbole 37 Equações canônicas da hipérbole 39 Noções de quádricas 41 Quádricas 41 Quádricas cilíndricas 47 7 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 APRESENTAÇÃO Você já percebeu que a geometria plana está presente em tudo ao seu redor Nesta unidade você irá conhecer mais possibilidades dessa área da matemática Aqui iremos tratar do cálculo da distância você irá aprender a calcular distâncias entre dois pontos entre um ponto e uma reta entre um ponto e um plano entre dois planos entre um plano e uma reta e entre duas retas Iremos ainda estudar as cônicas e as quádricas que possuem equações muito importantes e com diversas aplicações na engenharia A geometria é a parte da matemática em que temos um raciocínio visual nos fornecendo portanto a percepção de rotação e de posição e isso é muito importante por exemplo quando estamos lendo um mapa ou tentando localizar um determinado lugar pelo GPS Entendeu Ao longo desta unidade letiva você vai mergulhar neste universo 8 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 OBJETIVOS Olá Seja muito bemvindo à Unidade 2 Nosso objetivo é auxiliar você no desenvolvimento das seguintes competências profissionais até o término desta etapa de estudos 1 Representar o plano no espaço 2 Calcular as distâncias entre dois pontos um ponto e uma reta entre duas retas entre um ponto e um plano entre uma reta e um plano e entre dois planos 3 Definir o conceito de cônicas entendendo seu princípio e formas de representação analítica 4 Identificar os tipos de quádricas representandoas geometricamente 9 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Estudando o plano no espaço OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de representar o plano no espaço Esta é uma competência básica e fundamental para a sua formação Para isso iremos estudar a equação geral do plano as equações vetoriais e paramétricas do plano e ângulo entre planos E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Equação geral do plano Seja um ponto pertencente ao plano e um vetor ortogonal ao plano como mostrado na Figura 1 Figura 1 Ponto num plano e uma reta ortogonal ao plano Fonte Elaborado pela autora 2022 Como segue que todo vetor representado em é ortogonal a Dessa forma um ponto pertence ao plano se e somente se é ortogonal a isto é 10 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Denotando temos que onde a Equação 1 é a equação geral que representa um plano chamada ainda de equação cartesiana do plano SIMMONS 1987 IMPORTANTE Note que os coeficientes de formam o vetor EXEMPLO Determine a equação cartesiana do plano normal ao vetor e que passa por SOLUÇÃO Como temos que Logo 11 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Um vetor normal a um plano é também normal a qualquer plano paralelo a LIMA 2012 EXEMPLO Escreva uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto e é paralelo ao plano SOLUÇÃO Como o vetor é ortogonal a e a também Assim a equação que representa é dada por mas logo Portanto É a equação do plano cartesiano Se uma reta é ortogonal a um plano então o vetor diretor de é normal ao plano SIMMONS 1987 EXEMPLO Se a reta é ortogonal ao plano que passa pelo ponto determine a equação cartesiana de SOLUÇÃO 12 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Assim como temos Portanto Equação vetorial e equações paramétricas do plano Seja um ponto pertencente a um plano e e dois vetores pertencentes a nãoparalelos como mostrado na Figura 2 Para todo ponto do plano os vetores e são coplanares Um ponto pertence a se e somente se existem números reais e tais que LIMA 2012 ou seja Logo é a equação vetorial do plano Os vetores e são chamados de vetores diretores do plano 13 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Figura 2 Dois vetores em um plano Fonte Elaborado pela autora 2022 Da equação vetorial obtemos que e pela condição de igualdade podemos escrever que que são as equações paramétricas do plano EXEMPLO Seja o plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e obtenha as equações paramétricas de SOLUÇÃO Podemos escrever a equação vetorial logo as equações paramétricas são A partir dos vetores diretores de um plano podemos obter seu vetor normal Para obter um ponto no plano basta atribuir valores reais para os parâmetros e 14 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Outra forma de obter uma equação cartesiana do plano é por meio do produto misto como os vetores e são coplanares o produto misto deles será zero Para obter a equação de um plano que contém duas retas e não paralelas basta tomarmos os vetores diretores de e como vetores diretores de Ângulos de dois planos Considere que os planos e tenham como vetores normais e respectivamente Dizemos que o ângulo entre dois planos e é o menor ângulo que um vetor normal a forma com um vetor normal de LIMA 2012 Sendo esse ângulo temos SIMMONS 1987 onde EXEMPLO Determine o ângulo entre os planos e SOLUÇÃO Das equações dos planos podemos tirar os vetores diretores L o g o 15 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Planos perpendiculares Considere dois planos e Sejam e os vetores normais a e respectivamente Os planos são perpendiculares se seus vetores normais são perpendiculares ou seja Figura 3 Planos perpendiculares Fonte Elaborado pela autora 2022 EXEMPLO Verificar se e são planos perpendiculares e SOLUÇÃO Em podemos identificar o vetor normal e em podemos identificar dois vetores diretores 16 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Para determinar um vetor normal a devemos calcular o produto vetorial entre os dois vetores diretores Para verificar se fazemos portanto os planos e não são perpendiculares Paralelismo e perpendicularismo entre retas e planos Sejam uma reta com direção de e um plano cujo vetor normal é dado por Então 1 2 para algum Na Figura 4 temos as duas situações supracitadas a situação 1 na Figura 4a e a situação 2 na Figura 4b Figura 4 Paralelismo e perpendicularismo Fonte Elaborado pela autora 2022 17 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 EXEMPLO A reta é paralela ao plano Esta mesma reta por sua vez é perpendicular ao plano Reta contida em um plano Uma reta pertence a um plano se as duas condições a seguir são satisfeitas LIMA 2012 1 Dois pontos e de forem também de 2 onde é o vetor diretor de e é um vetor normal a Figura 5 Reta contida em um plano Fonte Elaborado pela autora 2022 Interseção de dois planos Sejam os planos nãoparalelos 18 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 A interseção de dois planos nãoparalelos é uma reta cujas equações se deseja determinar Para isso usamos duas opções de procedimento 1 Como a reta pertence aos dois planos as coordenadas de qualquer ponto devem satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos Logo os pontos de constituem a solução do sistema LIMA 2012 onde temos duas equações e três incógnitas podemos resolver deixando e em termos de de onde obtemos que são as equações reduzidas da reta 2 Outra maneira de obter a equação de é determinar um de seus pontos e um vetor diretor Como e os pontos de devem satisfazer as equações Fazendo temos Daí podemos somar essas duas equações obtendo e logo o ponto pertence a Para determinar o vetor diretor de basta fazer 19 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que a equação geral do plano é da forma onde é um vetor ortogonal ao plano e é um ponto que pertence ao plano desse modo você deve ter aprendido que para verificar se um ponto pertence a um plano basta substituilo na equação do plano Você também deve ter aprendido a representar o plano na forma paramétrica e que para isso é necessário um ponto e dois vetores nãoparalelos que pertencem ao plano Você deve ter aprendido que planos paralelos possuem vetores ortogonais que são paralelos entre si e isso implica que o produto escalar entre eles é igual a zero 20 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Estudando distâncias OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender como se calcula as distâncias entre dois pontos um ponto e uma reta entre duas retas entre um ponto e um plano entre uma reta e um plano e entre dois planos Esta é uma competência básica e fundamental para a sua formação E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Introdução No caso geral a distância é uma função nãonegativa que calcula o quanto um conjunto se afasta de outro Aqui trataremos esse conceito de forma particular com pontos retas e planos Distância entre dois pontos A distância entre um ponto e um ponto é indicada pela notação E definido por LIMA2012 Considerando e temos que 21 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Figura 6 Distância entre pontos Fonte Elaborado pela autora 2022 EXEMPLO A distância entre e é Distância entre um ponto e uma reta Dado um ponto e uma reta definimos a distância entre e indicada por como sendo a menor das distâncias entre e pontos de LIMA 2012 Figura 7 Distância entre uma reta e um ponto Fonte Elaborado pela autora 2022 Por um lado temos que a área do paralelogramo formado por e mostrado na Figura 7 é dado por 22 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Por outro lado sabese que essa área pode ser determinada a partir do produto vetorial da seguinte forma LIMA 2012 Das equações 12 e 13 temos que Portanto EXEMPLO Calcule a distância entre o ponto e a reta SOLUÇÃO Das equações paramétricas temos que o ponto e é um vetor diretor de Assim Outra forma de determinar a distância entre um ponto e uma reta é encontrar um plano perpendicular a e que passa pelo ponto 23 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Distância entre um ponto e um plano A distância entre um ponto e um plano é indicado por e definida como a menor distância entre e os pontos de LIMA 2012 Figura 8 Distância entre ponto e plano Fonte Elaborado pela autora 2022 Assim se é um ponto qualquer de então Considerando temos que 24 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 EXEMPLO Calcule a distância do ponto ao plano SOLUÇÃO Outra maneira de determinar a distância de um ponto a um plano é tomar uma reta ortogonal ao plano que passe por Figura 9 Reta ortogonal ao plano Fonte Elaborado pela autora 2022 Distância entre uma reta e um plano A distância entre a reta e o plano é denotada por e é definida como sendo a menor distância entre os pontos de a LIMA 2012 Com isso 1 Se e são concorrentes ou se está contida em então 25 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 E temos as situações mostradas na Figura 10 Figura 10 Reta e plano concorrente a e reta contida em um plano b Fonte Elaborado pela autora 2022 2 Se é paralela a então para qualquer como mostrado na Figura 11 Figura 11 Reta paralela ao plano Fonte Elaborado pela autora 2022 EXEMPLO Calcule a distância entre a reta e o plano SOLUÇÃO Sejam e os vetores diretor e normal de e de respectivamente Note que logo e Considere um ponto de assim 26 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Distância entre dois planos A distância entre dois planos e é denotada por e é definida como sendo a menor distância entre os pontos de a LIMA 2012 Assim 1 Se os planos são concorrentes então Figura 12 Planos concorrentes Fonte Elaborado pela autora 2022 2 Se e são paralelos então onde e são pontos 27 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Figura 13 Planos paralelos Fonte Elaborado pela autora 2022 Distância entre retas A distância entre as retas e é indicada por e definida como sendo a menor distância entre os pontos de e LIMA 2012 Assim 1 Se e são concorrentes Figura 14 Retas concorrentes Fonte Elaborado pela autora 2022 2 Se e são paralelas se é um ponto que pertence a e é um ponto que pertence a 28 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Figura 15 Retas paralelas Fonte Elaborado pela autora 2022 3 Se as retas e são reversas não são paralelas e não são coplanares para determinar a distância consideramos um plano que contém Para determinar a equação desse plano basta tomar um ponto de e o vetor normal onde é diretor de e é diretor de Note que a reta é paralela ao plano LIMA 2012 Definimos então a distância entre e como onde EXEMPLO Calcule a distância entre as retas SOLUÇÃO Note que as retas não são paralelas nem concorrentes produto vetorial diferente de zero e sem interseção Consideremos um plano que contém Como temos 29 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 O plano que contém é Assim onde Tomando temos RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que a compreensão de distâncias é muito importante e que podemos calcular a distância entre dois pontos fazendo a diferença entre cada coordenada do ponto e tirando o módulo A partir do conhecimento de distância entre dois pontos você deve ter aprendido a calcular a distância entre um ponto e uma reta e entre um ponto e um plano Além desses conhecimentos você também deve ter aprendido a calcular a distância entre dois planos e que dois planos podem ser concorrentes ou paralelos quando dois planos são concorrentes eles se cruzam e a distância entre eles é zero Quando dois planos são paralelos a distância entre eles é a distância entre um ponto de um e uma reta do outro Você também deve ter aprendido a calcular a distância entre duas retas e que duas retas podem ser concorrentes quando se cruzam paralelas ou reversas Duas retas concorrentes têm distância zero a distância entre duas retas paralelas é calculada por meio da distância entre um ponto de uma das retas à outra Retas reversas são não coplanares e nãoparalelas elas não se cruzam e a distância entre elas será a distância entre um ponto de uma a um plano que contém a outra 30 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Compreendendo as cônicas OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de compreender o que são as cônicas além de reconhecêlas Esse conhecimento é de grande importância para a sua formação as equações cônicas podem ser aplicadas em diversas áreas como na construção de mapas onde utilizamos as elipses E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Cônicas Considere duas retas e que se cruzam em ou seja são concorrentes no ponto origem considere também que e são nãoperpendiculares Ao fazer a reta girar em torno de obtemos uma superfície cônica circular que é formada por duas folhas separadas pelo vértice REIS 2012 A reta é chamada de geratriz e a reta de eixo da superfície Figura 16 Superfície cônica Fonte Elaborado pela autora 2022 31 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Se interceptarmos um plano com a superfície sem passar pela origem obtemos conjuntos de pontos no plano que chamamos de cônicas ou seções cônicas São elas Parábola Se for paralelo a uma geratriz da superfície REIS 2012 Elipse Se não for paralelo a uma geratriz e corta o cone em uma folha apenas a circunferência é um caso especial da elipse REIS 2012 Hipérbole Se não é paralelo a uma geratriz e corta as duas folhas da superfície REIS 2012 Na Figura 17 temos a representação de parábola a elipse b circunferência c e hipérbole d Figura 17 As cônicas Fonte Elaborado pela autora 2022 32 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 As superfícies cônicas devem ser vistas como ilimitadas assim as curvas hipérbole e parábola também são figuras ilimitadas Se fizermos cortes passando pela origem obteremos uma reta um ponto ou duas retas que são chamadas de cônicas degeneradas Posteriormente veremos como obter equações para representar os pontos que compõem as cônicas A parábola A parábola é definida como sendo o conjunto de todos os pontos que equidistam de um ponto fixo e uma reta STEINBRUCH 1987 Figura 18 Parábola Fonte Elaborado pela autora 2022 Os elementos da parábola são e estão determinados na Figura 18 Foco Diretriz Vértice 33 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Parâmetro que representa a distância do foco à diretriz da reta A equação canônica da parábola com vértice na origem é EXEMPLO Determine o foco a equação da diretriz e esboce a parábola de equação SOLUÇÃO O eixo de simetria é o eixo Comparando a equação com temos que assim a diretriz é O esboço dessa parábola está na Figura 19 Figura 19 Parábola Fonte Elaborado pela autora 2022 IMPORTANTE Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit Donec non elit eros Fusce at pharetra dui et dignissim lorem Duis dapibus nisl non sodales elementum Quisque neque nibh gravida quis augue a commodo facilisis ex IMPORTANTE 34 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Na equação se a parábola tem concavidade voltada para a direita se a concavidade é voltada para a esquerda Também podemos ter uma parábola na forma que possui concavidade para cima quando e para baixo quando A elipse Uma elipse é definida como sendo o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante STEINBRUCH 1987 Consideremos dois pontos distintos no plano e tal que a distância e um número real positivo de modo que Chamando de a constante da definição temos que um ponto pertence à elipse se e somente se Figura 20 Elipse Fonte Elaborado pela autora 2022 Os elementos da elipse estão mostrados na Figura 20 e são Foco são os pontos e REIS 2012 Distância focal é a distância entre os focos REIS 2012 35 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Centro é o ponto médio do segmento REIS 2012 Eixo maior é o segmento de comprimento esse segmento contém os focos REIS 2012 Eixo menor é o seguimento de comprimento que passa pelo centro e é perpendicular a REIS 2012 Vértices são os pontos e REIS 2012 Note que e que desse modo do triângulo temos que Além disso podemos determinar a excentricidade da elipse definida como IMPORTANTE A excentricidade é a responsável pela forma da elipse Elipses com excentricidades próximas de zero são aproximadamente circulares enquanto elipses com excentricidades próximas de são achatadas Para expressar a equação reduzida de uma elipse com centro consideramos dois casos STEINBRUCH 1987 1 O eixo maior está sobre o eixo dos logo 2 36 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 3 O eixo maior está sobre o eixo dos logo IMPORTANTE Como em toda elipse de focos distintos tem se basta observar onde está o maior denominador para saber se a elipse tem eixo maior sobre ou REIS 2012 Se o maior denominador estiver em o eixo maior está sobre caso contrário estará em EXEMPLO Determine os vértices e esboce no plano a elipse SOLUÇÃO Como e é o denominador de temos que o eixo maior da elipse está sobre o eixo Os vértices da elipse são os pontos De e de Assim os vértices são Um esboço dessa elipse é mostrado na Figura 21 37 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Figura 21 Elipse Fonte Elaborado pela autora 2022 A hipérbole A hipérbole é definida como sendo o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias em valor absoluto a dois pontos fixos desse plano é constante REIS 2012 Considere no plano dois pontos fixos distintos e tal que e um número real tal que Temos que um ponto pertence a hipérbole se e somente se STEINBRUCH 1987 38 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Figura 22 Elementos da hipérbole Fonte Elaborado pela autora 2022 Os elementos da hipérbole estão identificados na Figura 22 onde a hipérbole está em azul Podemos listar esses elementos da seguinte forma STEINBRUCH 1987 Focos são os pontos e Distância focal é a distância entre os focos Centro é o ponto médio do segmento Vértices são os pontos e Eixo real ou eixo transversal é o segmento de comprimento Eixo imaginário ou não transversal é o segmento de comprimento com em Assíntotas são as retas e Abertura da hipérbole é o ângulo entre as retas e Excentricidade da hipérbole é o número definido por 39 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Equações canônicas da hipérbole Para escrever a equação canônica da hipérbole temos duas situações a considerar 1 O eixo real coincide com o eixo nesse caso a parábola é como indicado na Figura 23 a e a equação canônica da parábola é 2 3 O eixo real coincide com o eixo nesse caso a parábola é como indicado na Figura 23 b e a equação canônica da parábola é IMPORTANTE Diferente da elipse onde ocorre apenas a relação na hipérbole podemos ter Mais ainda em uma hipérbole o eixo real bem como o eixo focal coincide com o eixo da coordenada correspondente a variável de coeficiente positivo EXEMPLO A hipérbole tem eixo focal que coincide com o eixo A hipérbole tem eixo focal que coincide com o eixo 40 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que as cônicas são soluções de uma equação de segundo grau no plano e que geometricamente elas podem ser vistas como planos que cortam um cone Quando o plano corta o cone passando pela origem obtemos um ponto uma reta ou duas retas que são conhecidas como cônicas degeneradas As outras formas de cortar o cone nos fornece a elipse a hipérbole e a parábola cujas equações são respectivamente Você deve ter aprendido a identificar os elementos de cada uma das cônicas e que no caso das elipses podemos determinar uma característica muito importante que é chamada de excentricidade a partir da qual podemos saber quão achatada ou quão circular é a elipse você deve ter aprendido que quando a excentricidade é próxima de zero a elipse é aproximadamente circular e quando a excentricidade é próxima de a elipse é mais achatada 41 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Noções de quádricas OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de entender as quádricas que são superfícies tridimensionais obtidas por meio da rotação das cônicas ou do prolongamento delas em torno do eixo matematicamente as quádricas são soluções de uma equação de segundo grau no espaço E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Quádricas As quádricas são similares às cônicas a principal diferença é que enquanto as cônicas são equações de segundo grau no plano as quádricas são definidas por equações de segundo grau no espaço Desse modo definese como quádrica o conjunto dos pontos que satisfaz a equação de segundo grau REIS SILVA 2012 A condição de que a equação 32 seja uma equação de segundo grau implica que ao menos um dos números seja diferente de zero REIS SILVA 2012 Aqui nosso objetivo principal é identificar a quádrica que a equação de segundo grau 32 descreve no espaço com coordenadas cartesianas Podemos reescrever a equação 32 na forma matricial da seguinte forma 42 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 De modo que a equação fica na seguinte forma onde é a transposta de IMPORTANTE Quando fazemos na equação das quádricas obtemos uma equação de segundo grau no plano que é a equação geral das cônicas REIS SILVA 2012 O caso mais simples é quando os termos mistos da equação 32 são nulos isto é Isso significa que na forma matricial é uma matriz diagonal E podemos reescrever a equação 32 da seguinte forma Que podemos agrupar os termos que possuem e e reescrevêla da forma onde 43 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Note que pode ser zero ou não Vamos analisar o que acontece se Se e têm o mesmo sinal a equação 34 representa o conjunto formado por um único ponto e é uma equação do tipo Se ou tem sinal diferente dos outros dois a equação 34 é uma equação do tipo e essa é a equação quádrica da cônica ou seja é a equação do cone ao longo do eixo Agora vamos analisar o que acontece com a equação 34 se Antes vamos reescrevêla de uma forma mais simples dividindo tudo por Note que se os coeficientes e são todos negativos a equação 37 representa o conjunto vazio não existe reais que satisfaça essa equação 44 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Por outro lado se os coeficientes e são todos positivos a equação 37 representa o elipsoide e é uma equação do tipo Na Figura 24 temos um elipsoide note que se na equação 39 essa equação representa uma esfera de raio e centro na origem Figura 24 Elipsoide Fonte Elaborado pela autora 2022 Se apenas um dos coeficientes ou for negativo a equação 37 é uma equação do tipo Que representa um hiperboloide de uma folha que está mostrado na Figura 25 45 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Figura 25 Hiperboloide de uma folha Fonte Elaborado pela autora 2022 IMPORTANTE O hiperboloide de uma folha é equivalente a rotacionar a hipérbole em relação ao eixo esse é o eixo de rotação e conseguimos identificálo a partir da equação 40 por ser o eixo com sinal negativo sinal diferente dos demais REIS SILVA 2012 Se apenas um dos coeficientes ou for positivo a equação 37 é uma equação do tipo Que representa um hiperboloide de duas folhas que está mostrado na Figura 26 46 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Figura 26 Hiperboloide de duas folhas Fonte Elaborado pela autora 2022 IMPORTANTE O hiperboloide de duas folhas é uma rotação da hipérbole no eixo conseguimos identificar o eixo de rotação a partir da equação 41 como sendo o eixo com sinal diferente dos demais ou seja o eixo cujo sinal é positivo REIS SILVA 2012 47 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Quádricas cilíndricas Existem quatro tipos diferentes de quádrica cilíndrica e suas respectivas equações canônicas são obtidas quando fazemos na Equação 32 de modo que temos uma equação de segundo grau do tipo Que pode ser reescrita como onde Aqui o pode ser zero ou diferente de zero Vamos analisar o caso em que A equação 44 é a equação das quádricas cilíndricas temos quatro tipos distintos de quádricas cilíndricas são elas Quádrica cilíndrica elíptica Quádrica cilíndrica hiperbólica Quádrica cilíndrica de rotação Quádrica cilíndrica parabólica 48 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Você pode estar se perguntando qual a diferença entre as quádricas cilíndricas e as cônicas Lembrese de que as quádricas são soluções de uma equação de segundo grau no espaço mesmo que não apareça dependência em nas equações 44 o eixo deve ser considerado ele é livre e deve ir de a A quádrica cilíndrica elíptica por exemplo no plano é uma elipse mas no espaço é um cilindro elíptico ou seja um pouco achatado quando essa quádrica é chamada de quádrica cilíndrica de rotação o que nada mais é que um cilindro de raio A quádrica cilíndrica elíptica é mostrada na Figura 27 Figura 27 Quádrica cilíndrica elíptica Fonte Elaborado pela autora 2022 A quádrica cilíndrica hiperbólica lembra uma hipérbole é como se pegássemos a hipérbole no plano e a prolongássemos em torno do eixo Essa quádrica está mostrada na Figura 28 49 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 Figura 28 Quádrica cilíndrica hiperbólica Fonte Elaborado pela autora 2022 A quádrica cilíndrica parabólica lembra uma parábola é como se pegássemos a parábola no plano e a prolongássemos em torno do eixo Essa quádrica está mostrada na Figura 29 Figura 29 Quádrica cilíndrica parabólica Fonte Elaborado pela autora 2022 50 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que as quádricas assim como as cônicas são soluções de uma equação de segundo grau a diferença é que as quádricas representam superfícies estando portanto no espaço Você deve ter aprendido que o cone é uma quádrica cuja equação é da forma Você também deve ter aprendido o que é um elipsoide cuja equação é e que quando o elipsoide é uma esfera Você deve ter aprendido que temos dois tipos de hiperboloide o de uma folha e o de duas folhas e que o eixo que possui o sinal diferente é o eixo de simetria O hiperboloide representa uma rotação no eixo de simetria Você também deve ter aprendido quais são as cônicas cilíndricas e que estas são como prolongamentos das cônicas ao longo do eixo 51 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 2 LIMA E L Geometria analítica e álgebra linear 2 ed Rio de Janeiro IMPA 2012 REIS G L SILVA V V Geometria analítica 2 ed Rio de Janeiro LTC 2012 STEINBRUCH A Geometria analítica 2 ed São Paulo Pearson 1987 SIMMONS G F Cálculo com geometria analítica São Paulo Pearson Makron Books 1987 REFERÊNCIAS