Geometria Analítica e Álgebra Linear - Unidade 4

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Álgebra Linear Diretor Executivo DAVID LIRA STEPHEN BARROS Gerente Editorial ALESSANDRA FERREIRA Projeto Gráfico TIAGO DA ROCHA Autoria ALINE NASCIMENTO LINS 4 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 AUTORIA Aline Nascimento Lins Olá Sou bacharel em Física pela Universidade Federal de Campina Grande UFCG 2015 concluí mestrado na mesma instituição no ano de 2017 na área de Cosmologia Em 2021 concluí doutorado em Física na área de Astrofísica e Cosmologia pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN Atuei como pesquisadora bolsista desde a graduação tenho experiência na área de Cosmologia e Astrofísica com ênfase em ondas gravitacionais relatividade geral e estudos em teorias modificadas para a relatividade geral Atualmente atuo como professora substituta do Departamento de Ciências Exatas e Tecnologia da Informação da Universidade Federal do Semiárido UFERSA Sou apaixonada pelo que faço e adoro transmitir minha experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões Por isso fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores independentes Estou muito feliz em poder ajudar você nesta fase de muito estudo e trabalho Conte comigo 5 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 ÍCONES Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez que OBJETIVO Para o início do desenvolvimento de uma nova competência DEFINIÇÃO Houver necessidade de apresentar um novo conceito NOTA Quando necessárias observações ou complementações para o seu conhecimento IMPORTANTE As observações escritas tiveram que ser priorizadas para você EXPLICANDO MELHOR Algo precisa ser melhor explicado ou detalhado VOCÊ SABIA Curiosidades e indagações lúdicas sobre o tema em estudo se forem necessárias SAIBA MAIS Textos referências bibliográficas e links para aprofundamento do seu conhecimento ACESSE Se for preciso acessar um ou mais sites para fazer download assistir vídeos ler textos ouvir podcast REFLITA Se houver a necessidade de chamar a atenção sobre algo a ser refletido ou discutido RESUMINDO Quando for preciso fazer um resumo acumulativo das últimas abordagens ATIVIDADES Quando alguma atividade de autoaprendizagem for aplicada TESTANDO Quando uma competência for concluída e questões forem explicadas 6 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 SUMÁRIO Determinando autovalores e autovetores 9 Introdução 9 Determinar autovalores13 Determinar autovetores 15 Diagonalização de operadores 18 Diagonalização de operadores18 Aplicações 24 Produto interno de vetores e matrizes 27 Produto interno 27 Coeficientes de Fourier 31 Norma de um vetor 33 Tipos especiais de operadores lineares 36 Introdução 36 Operadores autoadjuntos e operadores ortogonais 40 Diagonalização e caracterização dos operadores especiais 42 7 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 APRESENTAÇÃO Você sabia que a área da geometria e álgebra linear é uma das mais importantes da matemática Isso mesmo A geometria analítica e a álgebra linear estão presentes na vida cotidiana de todos e é de grande importância para resolver problemas de diversas áreas não só da matemática mas também da física e da engenharia Os conceitos da geometria analítica e da álgebra linear irão ajudar você a desenvolver raciocínio lógico e a solucionar problemas que antes pareciam muito complexos mas com essa base ficarão bem mais simples Entender a geometria será fundamental para o seu sucesso profissional Entendeu Ao longo desta unidade letiva você vai mergulhar neste universo 8 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 OBJETIVOS Olá Seja muito bemvindo à Unidade 4 1 Determinar autovalores e autovetores entendendo suas aplicações práticas 2 Realizar a diagonalização de operadores lineares compreendendo sua aplicação prática 3 Calcular e processar o produto interno de vetores e matrizes 4 Identificar e aplicar os tipos especiais de operadores lineares 9 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Determinando autovalores e autovetores OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de determinar autovalores e autovetores Isto será fundamental para o exercício de sua profissão Este é um conhecimento básico e de grande importância na sua formação e você aprenderá a aplicar esse conhecimento na solução de diversos problemas E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Introdução Sabemos da importância de se estudar transformações lineares que podem ser aplicadas a diversas áreas do conhecimento Entendemos ainda que o estudo dessa função especial pode ser feito por meio de matrizes pois fixada uma base no espaço vetorial na qual a transformação está definida temos sempre uma matriz que a representa Estudar transformações lineares pelas matrizes é conveniente principalmente pela facilidade de operálas Neste capítulo buscaremos condições para representar uma transformação linear da maneira mais simples possível por meio dos autovetores que serão definidos a seguir DEFINIÇÃO Seja um operador linear Um vetor é autovetor de se existe tal que o número neste caso é chamado de autovalor de associado ao autovetor STEINBRUCH 1987 10 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 A partir da definição vemos que um vetor é autovetor do operador se sua imagem é um múltiplo escalar de No caso de ou dizemos que tem a mesma direção de Na Figura 1 temos um exemplo onde ou seja tem o mesmo sentido de além disso dilata Figura 1 Autovalor maior que a transformação aumenta o módulo do vetor Fonte Elaborado pela autora2023 Na Figura 2 temos um exemplo onde ou seja tem sentido oposto ao de ou seja inverte o sentido de Figura 2 Autovalor menor que a transformação inverte o sentido do vetor Fonte Elaborado pela autora 2023 11 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Na Figura 3 temos um exemplo onde ou seja tem o mesmo sentido de além disso contrai Figura 3 Autovalor entre e a transformação diminui o módulo do vetor Fonte Elaborado pela autora2023 Na Figura 4 temos um exemplo no qual não é autovetor de portanto eles têm direções diferentes Figura 4 Quando não é autovetor de Fonte Elaborado pela autora2023 12 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 EXEMPLO Se é um operador linear dado por então o vetor é autovetor de associado ao autovalor Note que no qual Se tomarmos a matriz de na base canônica de e como a matriz coluna notamos que e Exemplificando que podemos trabalhar com autovalores e autovetores na forma matricial utilizando a matriz do operador 13 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Determinar autovalores Vamos considerar a transformação cuja representação matricial na base canônica de é Se é autovetor de associado ao autovalor temos ou ainda no qual representa a matriz identidade de Da equação 3 obtemos que Na forma matricial temos que representa um sistema linear homogêneo de duas equações e duas variáveis Se o determinante da matriz dos coeficientes é não nulo então o sistema da equação 5 é determinado ou seja admite uma única solução Sendo 5 homogêneo devemos ter No entanto são as coordenadas de um autovetor de e não podem ocorrer e nulos simultaneamente Portanto 14 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 que é uma equação polinomial na variável O polinômio é denominado de polinômio característico do operador e suas raízes são os autovalores de EXEMPLO O operador dado por tem como autovalores os números e A representação matricial de na base canônica de é dada por O polinômio característico de é dado por Pela fórmula de Bhaskara podemos calcular e que são as raízes desse polinômio 15 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Determinar autovetores Os autovetores correspondentes aos autovalores de são obtidos substituindo cada autovalor no sistema linear homogêneo 5 As soluções do sistema serão então os autovetores de STEINBRUCH 1987 EXEMPLO Determine os autovetores do operador Para esse operador temos o seguinte sistema linear homogêneo Para o autovalor temos ou ainda Assim a solução do sistema é e os vetores do tipo são autovetores de associados a 16 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Para o autovalor temos ou ainda Assim a solução do sistema é e os vetores do tipo são autovetores de associados a IMPORTANTE Cada autovalor de gera um subespaço vetorial de da forma e determina o autoespaço de associado ao autovalor No nosso exemplo o autovalor gera o subespaço vetorial e representa a reta que passa por e O teorema a seguir estabelece uma condição suficiente para que os autovetores de um operador formem um conjunto linearmente independente 17 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Teorema seja um operador linear e sejam autovalores distintos de Se são os autovetores associados aos autovalores de então o conjunto é linearmente independente LI STEINBRUCH 1987 Corolário sejam um operador linear de dimensão e autovalores distintos de Se são os autovetores de associados aos autovalores então o conjunto é uma base de STEINBRUCH 1987 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que uma transformação linear pode ser aplicada na solução de diversos problemas da física da matemática e das engenharias É possível e muito conveniente utilizar matrizes para solucionar envolvendo transformações lineares Você também deve ter aprendido o que são os autovalores e os autovetores e que para determinar esses autovalores calculamos o determinante da matriz menos na qual é a matriz identidade e igualamos esse determinante a zero Após isso teremos que resolver uma equação que será de ordem mesma ordem da matriz e obtemos os autovalores Conhecendo os autovalores podemos determinar os autovetores associados bastando substituir na definição de transformação linear 18 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Diagonalização de operadores OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de realizar a diagonalização de operadores e de compreender suas aplicações Isto será fundamental para o exercício de sua profissão A diagonalização de operadores é de grande importância para a física matemática e engenharias pois a partir desse método podemos identificar a solução de problemas mais facilmente E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Diagonalização de operadores Neste capítulo buscaremos condições para representar uma transformação linear da maneira mais simples possível Esse processo é conhecido como diagonalização de operadores que consiste em representar um operador linear como uma matriz diagonal A justificativa desse processo é que podemos tratar as operações de matrizes envolvendo matrizes diagonais como se fossem escalares No entanto nem todo operador linear é diagonalizável Veremos que isso ocorre se e somente se conseguirmos uma base especial de autovetores para a matriz associada ao operador Vamos então estabelecer as condições para que um operador linear seja diagonalizável Para isto considere o seguinte teorema Teorema Um operador linear admite uma base em relação à qual é diagonal se e somente se essa base é formada por autovetores de ANTON 2001 19 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Demonstração Suponha que existe uma base de tal que é uma matriz diagonal digamos pela definição da matriz mudança de base temos que para cada Daí é autovalor de e é seu autovetor associado Portanto é uma base de formada pelos autovetores de Reciprocamente suponhamos que é uma base de formada por autovetores de Assim existem números reais não necessariamente distintos tais que para cada vale 20 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Mas pela definição da matriz mudança de base temos que é uma matriz diagonal EXEMPLO O operador dado por é diagonalizável De fato sabemos que os autovetores de são Claramente o conjunto é uma base de Portanto pelo teorema anterior podemos afirmar que é diagonalizável 21 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 IMPORTANTE Na demonstração do teorema podemos ver que a matriz diagonal que representa o operador tem sua diagonal formada pelos autovalores da transformação Para que fique mais claro o processo de diagonalização de operadores relembremos uma importante definição DEFINIÇÃO Sejam e duas matrizes de ordem Dizemos que e são semelhantes quando existe uma matriz invertível de ordem de tal forma que ANTON 2001 Uma relação importante entre matrizes e operadores lineares é que duas matrizes semelhantes definem num espaço vetorial o mesmo operador Assim quando diagonalizamos um operador estamos encontrando uma representação dele numa matriz diagonal que é semelhante à matriz do operador na base canônica A relação de semelhança é dada pela matriz invertível formada pelos autovetores do operador ANTON 2001 Na prática adquirimos a matriz diagonal formada pelos autovalores que representa o operador da seguinte forma no qual é a matriz formada pelos autovetores do operador Nesse caso dizemos que diagonaliza na qual é a matriz do operador na base canônica 22 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 EXEMPLO Mostre que o operador dado por é diagonalizável e escreva sua representação como uma matriz diagonal Solução Primeiro vamos encontrar os autovalores de Para isto escrevemos sua representação matricial em relação à base canônica de Assim os autovalores de são e Para temos o seguinte sistema de equações lineares homogêneas Portanto os vetores do tipo são os autovetores associados ao autovalor Para temos a equação 23 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Portanto os vetores do tipo são os autovetores de associados ao autovalor Agora claramente o conjunto é base de E portanto é diagonalizável Escrevamos assim É a representação de na base formada por autovetores que são uma matriz diagonal É apropriado mencionarmos que nem todo operador linear é diagonalizável Um importante resultado da álgebra linear mostranos uma classe de operadores que são diagonalizáveis Relembremos o que diz o teorema espectral KOLMAN 2014 Teorema Espectral seja um operador autoadjunto definido num espaço vetorial real Então existe uma base ortonormal formada por autovetores de ANTON 2001 24 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Se é autoadjunto o teorema espectral junto com o teorema apresentado no início desse capítulo nos garante que é diagonalizável ANTON 2001 Mais ainda a matriz diagonalizadora formada por autovetores é ortogonal O que facilita aplicações visto que se é ortogonal sua inversa é dada por a matriz transposta ANTON 2001 Aplicações Uma aplicação imediata dos operadores diagonalizáveis é dada na resolução de potências de matrizes o que muitas vezes pode ser um trabalho computacional muito complicado Consideremos a matriz canônica de um operador diagonalizável Já vimos que existe uma matriz formada por autovetores de tal que é uma matriz diagonal CALLIOLI 1990 Com isso Portanto para algum número real podemos calcular Sendo essa última expressão facilmente calculável mesmo que seja muito grande pois uma potência de uma matriz diagonal é calculada fazendo essa potência dos elementos da diagonal da matriz CALLIOLI 1990 25 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 EXEMPLO Calcule sabendo que Solução Já vimos num exemplo que representa o operador que é diagonalizável por é a sua matriz diagonalizadora e sua representação diagonal Assim Portanto na qual é a matriz identidade de ordem 2 26 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que a forma mais simples de escrever um operador linear é por meio da diagonalização pois a partir daí podemos utilizar as operações com matrizes da mesma forma como trabalhamos com escalares o que facilita muito a solução de problemas Você deve ter aprendido que nem todo operador linear é diagonalizável e que para verificar essa característica devemos determinar os autovalores e autovetores Se os autovetores formarem uma base dizemos que o operador é diagonalizável lembrese que vetores formam uma base quando são linearmente independentes Você deve ter aprendido ainda que para diagonalizar uma matriz precisamos fazer uma espécie de sanduíche no meio colocamos a matriz característica à direita dela colocamos a matriz formada pelos autovetores e à esquerda a matriz inversa da seguinte forma Com isso esperase que você seja capaz de aplicar esses conceitos em diversos problemas de física matemática e engenharias 27 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Produto interno de vetores e matrizes OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de processar e compreender o conceito de produto interno Isto será fundamental para o exercício de sua profissão O cálculo do produto interno serve para determinar o comprimento de vetores e isso será muito importante na sua profissão E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Produto interno Considere que seja um espaço vetorial Um produto interno sobre é uma função na qual cada par de vetores associa um número real que denotaremos por CALLIOLI 1990 e que satisfaz as seguintes propriedades i para todo vetor BOLDRINI 1980 ii se e somente se BOLDRINI 1980 iii para todo real BOLDRINI 1980 iv BOLDRINI 1980 v BOLDRINI 1980 28 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 EXEMPLO Considere dois vetores do espaço e O produto interno é Podemos então definir o produto interno para o espaço considerando os vetores e O produto interno é EXEMPLO Sejam e vetores de verifique se a expressão é um produto interno ou não Solução Podese facilmente verificar que a expressão anterior satisfaz as cinco propriedades e logo é um produto interno EXEMPLO Considere que um campo elétrico uniforme induz uma força constante dada pelo vetor em uma partícula carregada eletricamente Calcule o trabalho realizado quando a partícula se move na trajetória triangular mostrada na Figura 5 começando no ponto Solução Primeiro precisamos relembrar que trabalho é força vezes distância Desse modo precisamos determinar a distância percorrida pela partícula De acordo com a Figura 5 podemos dividir esse trabalho total em três partes 29 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 ou seja o trabalho total é a soma entre o trabalho realizado de até com o trabalho realizado de até e o trabalho realizado de até E de acordo com a Figura 5 temos as distâncias Desse modo temos logo Figura 5 Trajetória de uma partícula carregada Fonte Elaborado pela autora2023 30 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Podemos determinar se dois vetores de um dado espaço vetorial são ortogonais por meio do produto interno entre eles Considere que e sejam vetores que pertencem a e se e são ortogonais o produto interno entre eles é zero ou seja A ortogonalidade de vetores de um espaço vetorial deve satisfazer às seguintes propriedades BOLDRINI 1980 i para todo ii Se então iii Se e então iv Se e é um número EXEMPLO João e Pedro resolvem fazer uma aposta jogando uma moeda duas vezes seguidas Se o resultado for duas vezes cara João ganha 10 reais se for duas vezes coroa João ganha 7 reais mas se o resultado for uma cara e uma coroa Pedro ganha 9 reais A aposta é justa Solução Para saber se a aposta é justa devemos analisar se a probabilidade de João ou Pedro ganhar é a mesma Note que ao lançar uma moeda só existem dois possíveis resultados em cada lançamento ou é cara ou é coroa Logo a probabilidade de sair cara ou coroa é em cada lançamento da moeda Se saiu primeiro cara ou coroa a probabilidade de sair novamente cara ou coroa é novamente logo a probabilidade de ter duas caras é e de ter duas coroas é mas se o resultado é uma cara e uma coroa temos duas possibilidades a primeira foi cara e a segunda coroa ou a primeira foi cara e a segunda coroa Logo a probabilidade de ser uma cara e uma coroa é Temos então o seguinte vetor de probabilidades 31 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 O vetor aposta do ponto de vista de João e de Pedro é no qual o sinal negativo indica a perda da aposta O valor esperado por João é Já o valor esperado por Pedro é Note que o valor esperado por Pedro é positivo enquanto que o valor esperado por João é negativo logo a aposta não é justa pois Pedro tem mais chances de ganhar Para que a aposta fosse justa o valor esperado deveria ser igual a zero para ambos Coeficientes de Fourier Considere o conjunto de vetores não nulos no qual é um espaço vetorial se é uma base de e os vetores são dois a dois ortogonais isto é dizemos que a base é ortogonal BOLDRINI 1980 Sejam um espaço vetorial uma base ortogonal de e um vetor qualquer pertencente a Podemos determinar as coordenadas de com relação a uma vez que podemos escrevêlo como uma combinação linear dos vetores dessa base ou seja BOLDRINI 1980 32 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Além disso fazendo o produto interno entre e um vetor qualquer da base podemos determinar o coeficiente logo Na qual na expressão temos o coeficiente de Fourier de com relação a BOLDRINI 1980 A seguir vejamos um exemplo de como esse cálculo é realizado EXEMPLO Considere o espaço vetorial e a base ortogonal Observe que é de fato uma base ortogonal uma vez que o produto interno dos vetores da base é zero Vamos calcular Note que deve existir e de modo que no qual e são as coordenadas do vetor na base Fazendo o produto interno de com o vetor de temos 33 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Note que o segundo fator será zero Desse modo obtemos que De forma análoga podemos realizar o produto interno entre e o vetor de Note que o primeiro fator será zero Desse modo obtemos que Agora podemos escrever o vetor na base da seguinte forma Norma de um vetor Nesta seção estudaremos a norma de um vetor que nos fornece informações acerca do seu comprimento em um espaço vetorial 34 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 DEFINIÇÃO Sejam um espaço vetorial e um vetor pertencente a Definese a norma ou comprimento do vetor em relação ao produto interno como sendo BOLDRINI 1980 Se a norma de um vetor é igual a ou seja se chamamos o vetor de vetor unitário e dizemos ainda que este vetor é normalizado KOLMAN 2014 IMPORTANTE Qualquer vetor não nulo pode ser normalizado para isto devese dividilo por sua norma da seguinte forma considere o vetor que tem norma diferente de o vetor é normalizado uma vez que tem norma igual a Vejamos a seguir um exemplo para melhor fixação do conceito de norma de vetores EXEMPLO Considere o espaço vetorial Temos que se então o comprimento do vetor é dado por Agora vamos supor que podemos obter o vetor normalizado 35 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido que o produto interno é de grande importância para a solução de diversos problemas na física matemática e engenharias pois com esse cálculo podemos determinar o comprimento de vetores chamado de norma do vetor Também podemos verificar se dois vetores são ortogonais O produto interno de dois vetores ortogonais é sempre zero Você aprendeu a calcular o produto interno entre vetores e que a norma de um vetor é calculada da seguinte forma Você também deve ter visto as propriedades do produto interno e das ortogonalidades de vetores em um espaço vetorial Além disso você deve ter entendido como determinar os coeficientes de Fourier que são de grande relevância quando determinamos os vetores a partir de uma base diferente 36 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Tipos especiais de operadores lineares OBJETIVO Ao término deste capítulo você será capaz de identificar e aplicar os tipos especiais de operadores lineares com destaque para os operadores autoadjuntos e os ortogonais Isto será fundamental para o exercício de sua profissão Os operadores autoadjuntos são bastante utilizados na mecânica quântica e em problemas que envolvem simetria já os operadores ortogonais são mais usados na dinâmica de corpos rígidos para a solução de problemas que envolvem a translação e a rotação E então Motivado para desenvolver esta competência Então vamos lá Avante Introdução Vamos começar introduzindo um teorema que é de grande importância pois a partir do resultado desse teorema podemos facilitar o nosso trabalho utilizando uma base canônica Teorema considere o espaço vetorial e a base ortonormal de BOLDRINI 1980 Se os vetores e pertencem ao espaço vetorial com a seguinte representação na base ortonormal temos que o produto interno entre esses vetores é 37 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 De forma bem prática ao utilizar uma base ortonormal basta multiplicar as coordenadas correspondentes e somálas para obter o produto interno entre dois vetores BOLDRINI 1980 A seguir temos uma definição importante acerca de matrizes que será de grande utilidade para o estudo de operadores especiais DEFINIÇÃO Consideremos a matriz cuja transposta é Se a matriz é igual a sua transposta ou seja dizemos que a matriz é simétrica BOLDRINI 1980 Se dizemos que é uma matriz ortogonal no qual é a matriz identidade e para que isso seja verdade a matriz transposta deve ser a inversa BOLDRINI 1980 Na Figura 6 temos um esquema de tipos de matrizes Figura 6 Tipos de matrizes Fonte Elaborado pela autora2023 38 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Vejamos a seguir um exemplo de matriz ortogonal EXEMPLO Considere a matriz A matriz transposta é obtida fazendo o que é linha virar coluna ou seja Se o produto temos que a matriz é ortogonal Vamos verificar Logo é uma matriz ortogonal Vejamos agora algumas propriedades importantes das matrizes ortogonais 1 Se é uma matriz ortogonal então o seu determinante é sempre igual a BOLDRINI 1980 2 As linhas ou colunas de uma matriz ortogonal são vetores ortonormais BOLDRINI 1980 3 Seja um espaço vetorial que tem e como bases ortonormais a matriz de mudança de base é uma matriz ortogonal BOLDRINI 1980 39 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Vejamos um exemplo envolvendo essas propriedades EXEMPLO Considere o espaço vetorial e as bases ortonormais e Determine a matriz de mudança de base Solução como é uma base ortonormal podemos determinar as coordenadas dos vetores de com respeito a por meio dos coeficientes de Fourier Vejamos De forma semelhante podese obter que Finalmente escrevemos 40 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Operadores autoadjuntos e operadores ortogonais Agora que já sabemos o que é uma matriz simétrica e uma matriz ortogonal definiremos os operadores especiais os autoadjuntos e os ortogonais DEFINIÇÃO Considere o espaço vetorial com base ortonormal e o operador linear Tem se que Se é uma matriz simétrica é um operador autoadjunto BOLDRINI 1980 Se é uma matriz ortogonal é um operador ortogonal BOLDRINI 1980 Note que a definição de operadores autoadjunto e ortogonal é independente da base assim se a matriz é simétrica numa base ortonormal também será simétrica para uma base qualquer De forma análoga podemos considerar para o caso na qual a matriz é ortogonal KOLMAN 2014 A seguir são apresentados alguns exemplos para melhor fixação dos conceitos EXEMPLO Considere o operador linear dada pela rotação em um ângulo em torno do eixo Considerando que seja a base canônica podemos calcular a matriz de nessa base 41 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Como essa é uma matriz ortogonal temos que o operador é ortogonal EXEMPLO Considere um operador linear no qual Se é a matriz canônica de então é uma matriz simétrica logo é um operador autoadjunto Agora vejamos algumas propriedades dos operadores especiais Considere o espaço vetorial Seja uma transformação linear temos que Se é autoadjunto e BOLDRINI 1980 Se é autoadjunto com autovalores e distintos e e são os autovetores de associados respectivamente aos autovalores e então BOLDRINI 1980 42 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Diagonalização e caracterização dos operadores especiais A partir das propriedades dos operadores especiais vistas anteriormente podemos perceber uma característica interessante acerca dos operadores autoadjuntos Notemos que se um operador é autoadjunto na qual a dimensão do espaço vetorial é e admitindo autovalores distintos então o operador é diagonalizável e os autovetores são dois a dois ortogonais Logo temos que admite uma base ortonormal de autovetores Desse modo podemos introduzir o teorema a seguir Teorema se é um operador autoadjunto então existe uma base ortonormal de autovetores de BOLDRINI 1980 Vejamos a seguir dois exemplos que nos ajudarão a compreender a importância desse resultado EXEMPLO Considere o operador linear Que na base canônica é representado pela matriz Verifique se é possível escrever uma base ortonormal para Solução como a base canônica é ortonormal e é uma matriz simétrica podemos concluir que o operador é 43 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 autoadjunto Desse modo deve existir uma base ortonormal de autovetores Podemos calcular os autovalores e seus autovetores associados obtendo assim Note que os autovetores e são advindos de autovalores distintos portanto esses vetores são ortogonais e podemos escrever a base ortogonal agora precisamos normalizar os vetores para obtermos a base ortonormal que estamos procurando E escrevemos a base ortonormal de EXEMPLO Considere o operador linear que com relação à base canônica tem a seguinte representação matricial De forma análoga ao exemplo anterior vemos que é uma matriz simétrica e está na base canônica que é ortonormal Podemos afirmar que é autoadjunto desse modo existe uma base ortonormal para o operador Vamos determinála 44 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 Para isso procedemos com o cálculo dos autovalores e dos autovetores a eles associados E obtémse que para o autovalor temos autovetores do tipo e para o autovalor temos autovetores do tipo Podemos escolher a base formada pelos autovetores e no qual o primeiro satisfaz a relação para os autovetores associados a e os outros dois satisfazem as relações para os autovetores associados a e são ortogonais dois a dois A base que procuramos deve ser ortonormal logo é necessário ainda realizar a normalização desses autovetores portanto a base que procuramos é dada por 45 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 RESUMINDO E então Gostou do que lhe mostramos Aprendeu mesmo tudinho Agora só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo vamos resumir tudo o que vimos Você deve ter aprendido sobre os dois tipos de operadores especiais apresentados os autoadjuntos e os ortogonais Os operadores autoadjuntos são representados por uma matriz simétrica e os ortogonais são representados por uma matriz ortogonal Você aprendeu também a identificar essas matrizes e suas propriedades e que se o operador é representado em uma base canônica é simétrico então esse operador é autoadjunto Além disso existe um teorema que garante a existência de uma base ortonormal formada pelos autovetores desse operador 46 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Unidade 4 BOLDRINI J L Álgebra linear 3ed sl Harper Row do Brasil 1980 STEINBRUCH A Álgebra linear São Paulo Pearson Makron Books 1987 ANTON H Álgebra linear com aplicações sl Bookman 2001 CALLIOLI C A Álgebra linear e aplicações 6ed sl Atual 1990 KOLMAN B Introdução à álgebra linear com aplicações São Paulo LTC 2014 REFERÊNCIAS