Cálculo V ESAMC - Resolução de Equações Diferenciais 2023-2

ESAMC Cálculo V 2º Semestre de 2023 Roteiro de Trabalho para Avaliação de Alunos em Regime Especial Nome RA 1 A equação diferencial dy dx y x2 é separável Encontre y x dada a condição de contorno y 2 4 2 Resolva o problema de valor inicial dy dx 2x 3 y 1 2 3 Dada a equação diferencial y 2y 3ex a Escreva sua forma reduzida b Encontre o fator integrante c Resolva a equação sabendo que y 0 4 4 Determine a função y x que satisfaz a equação diferencial y y 1 sujeita às condições y 0 7 e y 0 2 Dica Faça a substituição p y e separe as variáveis dependentes das independentes Formulário y yx y dydx e y d2ydx2 y Pxy Qx μx ePx dx ea eb eab a ln x ln xa eln x x ln ex x ddx fu x dfdu dudx ddx f x g x g dfdx f dgdx u dv uv v du xn dx xn1n1 cos x dx sen x sen x dx cos x ex dx ex ddx xn n xn1 ddx sen x cos x ddx cos x sen x ddx ex ex dxx ln x ddx ln x 1x dp1p ln1 p 1 dydx y x2 y2 4 Veja que ddx ln y 1y dydx Daí pela derivada de ln EDO dydx y x2 1y dydx x2 ddx ln y x2 integrando p x ln y x33 c cR Logo y ex33 c ec ex33 k ex33 Como y2 4 temos constante 4 k e233 k e83 k 4 e83 4 e83 yx 4 ex3 83 x R 2 dydx 2x 3 y1 2 Como dydx 2x 3 basta integrar p x dos dois lados da equação obtendo y 2x 3 dx y x2 3x c c R Pela condição y1 2 2 12 31 c 4 c c 2 yx x2 3x 2 x R 3 y 2y 3ex 2a A forma reduzida de uma EDO de 1ª ordem é dydx gx y bx Logo y 2y 3ex é a equação na forma reduzida b O fator integrante é definido para 1 como Ix egx dx No nosso caso gx 2 e Ix e 2 dx e2x Logo resolvendo c e2x y 2 e2x y 3 ex e2x y e2x 2 y e2x 3 ex ddx y e2x 3 ex integrando y e2x 3 ex dx 3 ex c y c 3 ex e2x c e2x 3 ex De y0 4 4 c e0 3 e0 c 3 c 7 yx 7 e2x 3 ex x R Obs ddx e2x y ddx e2x y ddx y e2x y e2x 2 e2x y y y 1 y0 7 y0 2 SEGUINDO A DICA FAÇAMOS p y LOGO A EDO SE TORNA p p 1 PELO MÉTODO DO FATOR INTEGRANTE Ix e1dx ex OU SEJA ex p ex p ddx pex ex pex ex dx pex ex c p 1 cex c ℝ COMO y p E y0 7 y0 1 ce0 1 c 7 c 6 y 1 6ex INTEGRANDO y 1 6ex dx x 6ex c₂ c₂ ℝ DADO QUE y0 2 2 0 6e0 c₂ c₂ 8 LOGO yx x 6ex 8