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Cálculo IV Prova Contextualização Este préprojeto oferece aos alunos a oportunidade de aplicar os conceitos fundamentais aprendidos ao longo da disciplina de Cálculo IV em situações práticas O foco será no uso de integrais de linha teorema de Green e sequências e séries numéricas para resolver problemas relevantes preparando os alunos para entender como essas ferramentas matemáticas são utilizadas em áreas como física engenharia e matemática aplicada O objetivo é que os alunos compreendam como esses conceitos podem ser aplicados para analisar sistemas e fenômenos físicos como campos vetoriais e a convergência de séries de maneira simples e direta Com isso esperase que os alunos consigam visualizar a importância prática do cálculo avançado em problemas do cotidiano acadêmico e profissional 1 Objetivos A situaçãoproblema será baseada na aplicação das técnicas de cálculo IV com foco em Compreender como utilizar integrais de linha e superfície para resolver problemas físicos Aplicar o Teorema de Green para calcular áreas em campos vetoriais Estudar a convergência de sequências e séries numéricas 2 MÃO NA MASSA A partir das informações mencionadas considerando as técnicas desenvolvidas neste curso sua missão será Encontre o campo elétrico externo a uma esfera sólida uniformemente carregada de raio 𝑅 e carga total 𝑞 Para calcular o campo elétrico externo precisamos criar uma superfície esférica de raio 𝑟 tal que essa seja menor do que a esfera sólida Ou seja 𝑟 𝑅 No meio entre essas duas esferas está à chamada superfície gaussiana Esta situação é dada pela figura abaixo 3 APRESENTAÇÃO DE RESULTADOS E PESQUISAS Apresente os resultados de forma estruturada na forma de um pequeno artigo ou mini relatório O Cálculo vetorial O surgimento do Cálculo diferencial é um marco no desenvolvimento da matemática e das ciências De fato as primeiras noções de derivadas e integrais aplicadas no contexto de funções de apenas uma variável já mostramse sua robustez e sofisticação ao passo que estabelecem uma variedade de possibilidades para a descrição de objetos matemáticos e também no contexto da modelagem de sistemas físicos Em particular vale aqui mencionar que apenas com essas noções já é possível estabelecer as primeiras ideias que perpassem as Equações Diferenciais Ordinárias EDOs as quais podem ser utilizadas como ponto de partida para modelos matemáticos de problemas que envolvam a variação de um único parâmetro independente Entretanto ao passo que consideramos problemas que envolvam mais de uma única variável independente somos guiados a uma nova fronteira matemática na qual o estudo dos problemas deixa a reta real e guiase para o espaço euclidiano de múltiplas dimensões Nesse sentido fazse necessário considerar agora o cálculo diferencial de variáveis no qual agora nossas funções podem tornarse objetos mais complexos do que apenas escalares Em verdade aqui temos novos objetos matemáticos como as funções escalares que são aplicações como f D Rⁿ R a qual a partir de um vetor pertencente ao domínio D da função obtemse a partir dele um escalar real Além das funções escalares definimos ainda os campos vetoriais como os objetos da forma F Rⁿ Rm os quais pontos do espaço de dimensão n em outros vetores de dimensão m ou seja esse mapa atribui para cada ponto do espaço um vetor em vez de apenas um escalar Consequentemente ao passo que temos novas noções de funções e mapas os conceitos de derivada e integral antes limitados a reta real devem ser generalizados para acompanhar os novos objetos em questão No contexto da derivada a noção estendese desenvolvendo as derivadas parciais as quais computam a taxa de variação do mapa em cada uma de suas componentes x𝜇 Ademais aqui fazse necessário introduzir o operadores diferencial que no contexto tridimensional é dado por x x ŷ y ẑ z o qual utilizamos para o cálculo da taxa de variação das funções escalares chamamos de gradiente e ou para entendermos o quanto os campos vetoriais divergemse de um dado ponto nesse caso chamamos de divergente Por outro lado as noções de integrais também generalizamse agora abrese a possibilidade para estudarmos como diferentes elementos diferenciais associados a funções ou a campos podem ser integrados Nesse sentido a primeira noção é a estabelecida pela integral volumar a qual extende a noção conhecida de integral de Riemann para três dimensões considerando agora a soma dos elementos infinitesimais sobre uma região dV dxdydz em coordenadas cartesianas nesse caso denotamos essa integral associada a uma função ƒx y z sobre uma região sólida V como os V fx y z dV e agora temos três integrais a resolver sendo os limites de integração obtidos conforme as especificações da região delimitada pelo volume V Entretanto a noção de integração ganha ainda outra camada de complexidade ao passo que consideramos campos vetoriais Nesse caso podemos ainda realizar uma integração ao longo de curvas nos quais esses vetores estão definidos Nesse caso os elementos de integração tornamse elementos de linha vetoriais e orientados Nesse sentido denotamos a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C parametrizada por uma função rt t a b é definida por C F dr ab Frt rt dt No entanto essas noções que aparentemente são desconexas podem ser interligadas via importantes teoremas matemáticos Em particular temos o de Green que relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D delimitada por C C F dr D Qx Py dA onde F Px y Qx y Não obstante temos ainda o Teorema de Gauss no qual considerase um campo vetorial F diferenciável definido em um volume V delimitado por uma superfície fechada S o teorema estabelece que S F dS V F dV onde F Fx Fy Fz é um campo vetorial dS n dS é o vetor elemento de área com n normal à superfície F é a divergência do campo Em particular essas noções permitem que vários desenvolvimentos matemáticos e de modelagem sejam realizadas Especialmente a teoria eletromagnética isto é o eletromagnetismo é um dos grandes beneficiários desses resultados uma vez que utilizase dessas noções por exemplo para o cálculo do campo elétrico em certos problemas de interesse A seguir mostraremos um problema envolvendo a lei de Gauss paro o eletromagnetismo e como essas noções estabelecidas pelo cálculo vetorial podem ser úteis nesse dado contexto 3 Cálculo do campo elétrico Tendo em vistas as noções anteriores vamos agora determinar o campo elétrico gerado por uma esfera sólida de raio R com carga total q uniformemente distribuída considerando especificamente a região externa r R A abordagem utilizará a Lei de Gauss Primeiramente vamos escolher a superfície gaussiana como uma nova esfera que envolve a esfera que estamos interessados em estudar de modo que essa satisfaça as seguintes características Selecionamos uma superfície gaussiana esférica concêntrica com a esfera carregada com raio r R A simetria esférica do sistema garante que O campo elétrico E será radial A magnitude Er dependerá apenas da distância r ao centro De posse diss recorremos a Leii de Gauss a qual estabelece que ΦE S E dA qintε0 O vetor área dA é sempre perpendicular à superfície gaussiana Pela simetria radial E é paralelo a dA em todos os pontos O produto escalar simplificase para E dA ErdA Agora podemos seguir com o cálculo do fluxo total através da superfície gaussiana que é ΦE S ErdA Er S dA Er 4πr² no qual usamos o resultado de integração sobre toda a superfície S da esfera dA 4πr² que corresponde a superfície da esfera que envolve a esfera de raio R Como estamos na região em que r R toda a carga q está contida no interior da superfície gaussiana qint q Portanto agora substituindo na Lei de Gauss Er 4πr² qε0 Resolvendo a equação anterior para Er obtemos explicitamente o campo elétrico que é Er 14πε0 qr² que como é um campo vetorial pode ser escrito explicitamente como Er 1 4πϵ0 q r2 ˆr para r R revelando nesse caso o comportamento análogo do campo ao já conhecido pela lei de Couloumb isto é a dependência com o quadrado do inverso da distância r 4