Atividade de Cálculo

ESAMC Cálculo V 1º Semestre de 2024 Roteiro de Trabalho para Avaliação de Alunos em Regime Especial Nome RA 1 A equação diferencial dy dx y x2 é separável Encontre y x dada a condição de contorno y 2 4 2 Resolva o problema de valor inicial dy dx 2x 3 y 1 2 3 Dada a equação diferencial y 2y 3ex a Escreva sua forma reduzida b Encontre o fator integrante c Resolva a equação sabendo que y 0 4 4 Determine a função y x que satisfaz a equação diferencial y y 1 sujeita às condições y 0 7 e y 0 2 Dica Faça a substituição p y e separe as variáveis dependentes das independentes Formulário y y x y dydx e y d2ydx2 y P x y Q x mu x ePx dx ea eb eab a ln x ln xa eln x x ln ex x ddx f u x dfdu dudx ddx f x g x g dfdx f dgdx u dv u v v du xn dx xn1n1 cos x dx sen x sen x dx cos x ex dx ex ddx xn n xn1 ddx sen x cos x ddx cos x sen x ddx ex ex dxx ln x ddx ln x 1x dp1p ln 1p EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Questão 1 Dada a equação diferencial separável temos dydx yx2 dyy x2 dx Integrando ambos os lados temos 1y dy x2 dx lny x33 C1 elny ex33 C1 y ex33 eC1 C2 ex33 Aplicando a condição de contorno temos y2 4 C e233 4 C 4e233 4e83 4 e83 Portanto a solução da equação diferencial é yx 4 e83 ex33 4ex33 83 Questão 2 Dada a equação diferencial temos 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑥 3 𝑑𝑦 2𝑥 3𝑑𝑥 Integrando ambos os lados temos 𝑑𝑦 2𝑥 3 𝑑𝑥 𝑦 𝑥2 3𝑥 𝐶 Aplicando a condição de valor inicial temos 𝑦1 2 2 12 3 1 𝐶 𝐶 2 1 3 2 Portanto a solução da equação diferencial é 𝑦𝑥 𝑥2 3𝑥 2 Questão 3 a Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem forma reduzida dada por y pxy qx Logo a forma reduzida da equação diferencial é y 2y 3ex sendo px 2 e qx 3ex b O fator integrante é dado por mux epx dx Logo o fator integrante é mux e2 dx e2x c Multiplicando ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante temos e2x y 2e2x y 3e2x ex e2x y 2e2x y 3ex Pela Regra do Produto temos ddx e2x y 3ex d e2x y 3ex dx Integrando ambos os lados temos d e2x y 3ex dx e2x y 3ex C y 3exe2x Ce2x 3ex C e2x Aplicando a condição de valor inicial temos y0 4 4 3e0 C e0 4 3 C C 7 Portanto a solução da equação diferencial é yx 3ex 7e2x Questão 4 Dada a equação diferencial fazendo a substituição p y temos p p 1 Reescrevendo a equação diferencial temos p 1 p Agora separando as variáveis dependentes das independentes temos dpdx 1 p dp1p dx dpp1 dx Integrando ambos os lados temos 1p1 dp dx lnp1 x C1 lnp1 x C1 elnp1 exC1 p 1 exC1 p exC1 1 exeC1 1 C2 ex 1 C2ex 1 Retornando a substituição temos y C2ex 1 Reescrevendo a equação diferencial temos dydx C2ex 1 dy C2ex 1 dx Integrando ambos os lados temos dy C2ex 1 dx y C2 ex dx dx y C2 ex x C3 C2ex x C3 Aplicando as condições de contorno temos y0 7 C2e0 1 7 C2 1 7 C2 6 y0 2 C2e0 0 C3 2 6e0 C3 2 6 C3 2 C3 8 Portanto a solução da equação diferencial é yx 6ex x 8