Lista de Exercícios Cálculo IV ESAMC - Curvas no Espaço, Divergente, Rotacional e Integrais

ESAMC Regime especial 202301 Cálculo IV Prof Diogo Cirulli Parte 01 Curvas no espaço R³ 1 Obtenha uma parametrização das seguintes curvas determinando I 2 Elimine o parâmetro de 3 Determine o vetor tangente às seguinte curvas 4 Determine as equações da reta tangente às seguintes curvas 5 Determine o comprimento de arco das seguinte curvas Parte 02 Divergente e Rotacional 1 Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores 2 Determine se os seguintes campos são conservativos e em caso afirmativo ache seu potencial Parte 03 Integrais Parte 04 Teorema de Green ut 0 2 1 1t x t u y 2 t c x² y² 16 x 4cos t u y 4sin t d x² y 1 y 1 x² 1x1x x t y 1t1t c x 1² y1² 4 x 2cos t 1 u y 2sin t 1 f 9x² 4y² 36 936 x² 436 y² 1 x 36 cos t u y 26 sin t x 12 cos t u y 13 sin t Cálculo 4 Parte 1 1 Parametrização a y 2x 7 x 0 y 7 u x 1 y 9 P00 7 u P11 9 Então ut P0 P0P1 t 0 7 1 0 9 7t ut 0 7 1 2t x t u y 7 2t b y x 2 0 y x 2 x 0 y 2 u x 1 y 1 P00 2 u P11 1 então ut P0 P0P1 t 0 2 1 0 1 2t 2 a xt alt u yt bt Temos que x a at t axa lxa Portanto y bt b l xa b ba x y b l xa b xt asec t yt atg t Temos que x² a²sec²t a² 1 tg²t a² 1 y²a² Logo x² y² a² c xt 2tgt yt 3cotgt Temos que y 3cotgt 37 tg t x 2tg t 2 37 y 6x d xt 2t 2 yt 2t2 4t Temos que x 2t 2 2t x 2 t x2 1 u outras y 2x2 12 4x2 1 y 2x24 x 1 2x 4 x22 2x 2 2x 4 y x22 2x 2 c xt 21 cost yt 2 sint Temos que x2 y2 41 cost2 4 sin2t x2 y2 41 2 cos t cos2 t 4 sin2 t x2 y2 4 8 cos t 4 cos2 t 4 sin2 t x2 y2 4 8 cos t 4 16 8 cos t u como x 2 2 cos t 2 cos t x 2 cos t x2 1 logo x2 y2 16 8x21 16 4x 8 x2 y2 4x 8 f xt sen4t yt cos4t Temos que x sen4 t t arcsen4x logo y cos4arcsen4x 3a xt a1 t yt b t u dxdt dydt u a b b xt a sec t yt a tgt u dxdt dydt u a sec t tg t a sec2 t 6 c xt 2 tgt yt 3 cotgt u dxdt dydt u 2 sec2 t 3 cosec2 t d xt 2t 2 yt 2t2 4t u dxdt dydt u 2 4t 4 e xt 21 cost yt 2 sint u dxdt dydt u 2 sin t 2 cos t f xt sen4t yt cos4t u dxdt dydt u 4 sin3 t cos t 4 cos3 t sen t 4a γt t 1 t2 2 em P0 1 2 Temos que x t y 1 t2 z 2 logo t 0 7 de modo que γt 1 2t 0 γ0 1 0 0 e a reta tangente υt γ0 γ0t 0 1 2 1 0 0t x t y 1 z 2 b γt 2t31 3 5t2 8t2 em P1 2 10 2t3 1 1 2t3 2 t 1 3 5t2 2 5t2 5 t 1 8t 2 10 8t 8 t 1 γt 6t2 10t 8 γ1 6 10 8 di modo que 7 υt γ1 γ1t υt 1 2 10 6 10 8t x 1 6t y 2 10t z 10 8t c βt et tet t4 com P1 0 4 x et 1 t 0 y tet 0 t 0 z t 4 4 t 0 βt et et tet 1 β0 1 1 1 e portanto υt β0 β0t υt 1 0 4 1 1 1t x 1 t y t z 4 t 8 3 a xt 21sent yt 21cost 0 t π L from t1 to t2 dxdt2 dydt2 dt L from 0 to π 4sen2t 4cos2t dt 2 from 0 to π dt 2t from 0 to π L 2π b xt tcost yt tsent 0 t π L from t1 to t2 dxdt2 dydt2 dt L from 0 to π cos t tsen t2 sen t tcos t2 dt L from 0 to π cos2 t 2cos t sen t t2 sen2 t sen2 t 2cos t sen t t2 cos2 t dt L from 0 to π 1 t2 dt t tg φ dtdφ sec2 φ 9 F 𝑖 𝑗 𝑘 x y z x y² 3 x³ F x² y 1 4 x² y² b Fx y z x y 3 x² y³ F Fxx Fyy Fzz F 1 y F 𝑖 𝑗 𝑘 x y z x y 3 x² y³ F 3 1 2x 1 c Fx y z x² y³ 3⁴ x y³ x 3 y³ F Fxx Fyy Fzz 11 L ₀ʳᶜᵗg π d t² φ sec² φ dφ L ₀ʳᶜᵗg π sec³ d dφ Pela redução de integrais L sec³φ sinφ2 ₀ʳᶜᵗg π 12 ₀ʳᶜᵗg π secφ dφ L sec φ tg φ2 12 ln tg φ sec φ L π π² 1 ln π π² 12 Parte 2 a Fx y z x y² 3 x² x F Fxx Fyy Fzz F y² 0 0 F 𝑖 𝑗 𝑘 x y z x y² 3 x³ x y³ x³ y³ F 3 xy 4z³ 3 y3 3y² d Fx y z x y z² x y³ z x y z³ F Fxx Fyy Fzz F 2z x y 3 y² x z 2 z² x y F 𝑖 𝑗 𝑘 x y z x y z² x y³ z x y z³ F x 3³ x y ³ y 3³ 2 x y 3 y³ ³ x 3² 12 2 a Fxyz 2xj y2 2xy3y3 cj xex Fazendo x F i j k x y z 2xj y2 6y3 x ej xex x F 0 2x 2x 6y3 2y 006y3 2y 0 O campo não é conservativo b Fxyz xy cx cz x F i j k x y z xy cx cz x F 00cxx 0 O campo não é conservativo c Fxyz ex 2ey 3ez x F i j k x y z ex 2ey 3ez x F 000 O campo é conservativo Portanto F f logo 1 fx ex 2 fy 2ey 3 fz 3ez Partindo de 1 fx ex fxyz ex dx ex gyz então fy gy 2ey 2 gyz 2ey dy gyz 2ey hz E por fim fxyz ex 2ey hz fz hz 3ez 3 hz 3 ez dz hz 3ez C fxyz ex 2ey 3ez C Parte 3 1 a fxy 2xy2 com c γt cos t sin t 0 t π2 c fxy ds 0π2 ftdxdt2 dydt2 dt 0π2 2cos t sin2 t sin t2 cos t2 dt 2 0π2 cos t sin2 t dt u sin t du cos t dt Parte 4 1 a c 4ydx 7xdy c triângulo 00 40 e 22 Curva y 4 2 4 x c1 00 40 y0 dy0 c 4ydx 7xdy c1 40 dx 0 c2 40 22 ut 40 24 20t x 4 2t e y 2t 40 x 4 2t 4 t0 y 2t 0 t0 16 C fxy 2 0 1 u2 du 2 u33 0 1 C fxy ds 23 b fxy x2 y2 com C x2 y2 4 de A 20 até B 02 Sendo γt 2cost 2sint x 2cost 2 t1 0 x 2cost 0 t2 π2 y 2 sint 0 t1 0 y 2 sint 2 t2 π2 C x2 y2 ds 0 π22cost2 2 sint2 2cost2 2 sint2 dt 0 π2 44 dt 8t 0 π2 8π2 C x2 y2 ds 4 π 17 c fxy x2 y2 com C Reta de A20 até B02 Portanto ut AB ut 20 02 20t 20 2 2t x 2 2t e y 2t A20 x 2 2t 2 t 0 y 2t 0 t 0 B02 x 2 2t 0 t 1 y 2t 2 t 1 C x2 y2 ds 0 1 2 2t2 2t2 22 22 dt 8 0 1 4 8t 4t2 4t2 dt 8 0 1 4 8t 8t2 dt 8 4t 4t2 83t3 0 16 23 22 x 4 2t 2 t 1 y 2t 2 t 1 Sendo dx 2 dt e dy 2 dt c₂ 4y dx 7 x dy ⁰¹ 4 2t 2 dt 7 4 2t 2 dt ⁰¹ 16 t dt 56 dt 28 t dt ⁰¹ 56 44 t dt 56 t 22 t² ⁰¹ 34 C₃ 22 00 vt 22 0 2 0 2 t x 2 2t e y 2 2t 22 x 2 2t 2 t 0 y 2 2t 2 t 0 00 x 2 2t 0 t 1 y 2 2t 0 t 1 Sendo dx 2 dt e dy 2 dt c₃ 4 y dx 7 x dy ⁰¹ 4 2 2t 2 dt 7 2 2t 2 dt ⁰¹ 16 16 t dt 28 28 t dt ⁰¹ 44 t 44 dt 22 t² 44 t ⁰¹ 22 Portanto c 4 y dx 7 x dy 0 34 22 12 b Pelo Teorema de Green c P dx Q dy D Qx Py dA D 7 4 dA c 4 y dx 7 x dy 3 D dA De 00 22 2 0 m 2 0 m 1 2 x 2 y 2 x 2 y y x De 22 40 4 2 m 0 2 2 m 2 m 1 2 x 1 2 y 2 x 2 y y 4 x Portanto c 4 y dx 7 x dy 3 ₀² ₀ˣ d y d x 3 ₂⁴ ₀4x d y d x 3 ₀² y₀ˣ d x 3 ₂⁴ y₀4x d x 3 ₀² x d x 3 ₂⁴ 4 x d x Pelo teorema de Green c c1x dx c4 ln x 2x dy 11 0y41 c1x 2 c4x dx dy 11 0y41 dx dy 11 x0y41 dy 11 y4 1 dy y55 y11 25 b c cos x 5y dx 4x 14 dy c limitada por y x2 9 0 e y 5 0 Curva 9 x2 5 x2 4 x 2 Pelo teorema de Green c cos x 5y dx 4x 14 dy 22 09x2 4 5 dy dx 9 22 y09x2 dx 9 22 9 x2 5 dx 9 22 4 x2 dx 9 4x x3322 9323 96 c cos x 5y dx 4x 14 dy 96 c 4y dx 7x dy 3 x2206 3 4x x2224 342 3 44 162 42 42 12 c 4y dx 7x dy 12 2 c c1x dx c4 ln x 2x dy com c limitada por x y4 1 e x 2 Curva