Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial: Equações de Retas Tangentes, Comprimento de Curvas e Derivadas Direcionais

Determine a equação da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas x t2 1 y t2 1 e z t 1 no ponto 1 1 1 a rt 2t 2t 1 b rt 0 0 1 c rt t t t d rt 1 1 1 t e rt 1 2t 1 2t 2 Qual o comprimento da curva rt 2ti etj etk quando 0 t 1 a e1e b e 1e c e1e 1 d e1e 1 e e 1e 2 Calcule a derivada direcional da função fx y x4 x2y3 no ponto 2 1 na direção do vetor v i 3j a 1010 b 31010 c 14105 d 6105 e 4105 Questão 1 Temos rx y z rt 21t 21t1 Assim notamos que o ponto 111 corresponde a t0 ou seja r 0111 Derivando a equação para r obtemos r 2t 2t 1 Em t0 obtemos então r 00 01 Logo a equação para a reta tangente é Tr 0 tr 0 T001t 111 T111t Qual o vetor tangente unitário à curva rt sin ti 2 cos tj quando t π4 a u 55 255 b u 255 55 c u 22 2 d u 55 255 e u 22 2 Questão 2 O comprimento de arco é dado por S 0 1 dx dt 2 dy dt 2 dz dt 2 dt S 0 1 d 2t dt 2 d e t dt 2 d e t dt 2 dt S 0 1 2 2e t 2e t 2dt S 0 1 2e 2te 2tdt S 0 1 e te t 2dt S 0 1 e te tdt Se te t 0 1 Se 1e 1e 0e 0 Se 1e 111 Se1 e Classifique os vetores abaixo como paralelos A ou perpendiculares B a 4 6 e b 3 2 a 2i 6j 4k e b 3i 9j 6k a a b c e b b a 0 Assinale a alternativa que contém a sequência correta a B A A b A B B c A B A d A A B e B A B Questão 3 Temos f x 4x 2 y 3 x x 4x 2 y 3 y f 4 x 32 x y 3 x 2 y 3 y f 4 x 32x y 3 3 x 2 y 2 Logo temos f 2142 3221 3 32 21 2 f 21484 12 f 2132412 f 212812 Assim a derivada direcional é dada por D 13 1 23 2 f 21 1 19 13 2812 281123 10 2836 10 8 10 810 1010 8 10 10 Qual a equação vetorial do segmento de reta que liga os pontos P1 1 2 e Q4 1 7 nessa ordem a rt 3t 1 2t 1 5t 2 b rt 3t 1 2t 1 5t 2 c rt 3t 1 2t 1 5t 2 d rt 3t 1 2t 1 5t 2 e rt 3t 1 2t 1 5t 2 410 5 Questão 4 Temos rsint 2cost Assim temos r cos t 2sint r π 4cos π 4 2sin π 4 r π 42 2 2 2 2 r π 42 2 2 Assim o vetor unitário é dado por u r r u 2 2 2 2 2 2 2 2 u2 2 2 2 4 2 Qual o ângulo em graus formado entre os vetores a 3 1 5 e b 2 4 3 Assinale a alternativa que contém o inteiro mais próximo a 2 b 80 c 38 d 81 e 123 u2 2 2 2 4 8 4 u2 2 2 10 4 u 2 102 2 2 u 10 1010 222 u25 10 222 u2 25 10 22 25 10 u 25 10 4 5 10 u5 5 2 5 5 Sejam a 1 2 1 b 0 1 3 e c 2 4 1 Considere ainda os vetores u b a e v 3c 2b Assinale a alternativa incorreta a Os vetores a e v são paralelos b Os vetores u e b são perpendiculares c v 6 10 3 d vu uv 63 e u 5 3 1 Questão 5 Temos 4 632342612120 São perpendiculares 264396 32966465424 0 São paralelos abc ba0babac0baab0 São perpendiculares Assim temos que a resposta é BAB Questão 6 Temos rPQPt r1124 17112 t r112325t r13t 12t 25t Questão 7 Temos cosθ ab ab cosθ 3 15 24 3 3 21 25 22 24 23 2 cosθ 6415 91254169 cosθ 5 3529 θarccos 5 1015 θ810 Questão 8 Temos v3 2412 013 v6123 026 v6103 C é correta u i j k 0 1 3 1 2 1 163001 u531 E é correta Assim temos uv5316103 uv30303 uv63 D é correta Temos ub5310130330 B é correta Logo letra A é incorreta Questão 1 Temos 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 𝑟 𝑡2 1 𝑡2 1 𝑡 1 Assim notamos que o ponto 111 corresponde a 𝑡 0 ou seja 𝑟0 111 Derivando a equação para 𝑟 obtemos 𝑟 2𝑡 2𝑡 1 Em 𝑡 0 obtemos então 𝑟0 001 Logo a equação para a reta tangente é 𝑇 𝑟0𝑡 𝑟0 𝑇 001𝑡 111 𝑻 𝟏𝟏 𝟏 𝒕 Questão 2 O comprimento de arco é dado por 𝑆 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2 𝑑𝑧 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 1 0 𝑆 𝑑2𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑒𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑒𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 1 0 𝑆 2 2 𝑒𝑡2 𝑒𝑡2𝑑𝑡 1 0 𝑆 2 𝑒2𝑡 𝑒2𝑡𝑑𝑡 1 0 𝑆 𝑒𝑡 𝑒𝑡2𝑑𝑡 1 0 𝑆 𝑒𝑡 𝑒𝑡𝑑𝑡 1 0 𝑆 𝑒𝑡 𝑒𝑡0 1 𝑆 𝑒1 𝑒1 𝑒0 𝑒0 𝑆 𝑒1 𝑒1 1 1 𝑺 𝒆 𝟏 𝒆 Questão 3 Temos 𝑓 𝑥4 𝑥2𝑦3 𝑥 𝑥4 𝑥2𝑦3 𝑦 𝑓 4𝑥3 2𝑥𝑦3 𝑥2𝑦3 𝑦 𝑓 4𝑥3 2𝑥𝑦3 3𝑥2𝑦2 Logo temos 𝑓21 4 23 2 2 13 3 2212 𝑓21 4 8 4 12 𝑓21 32 4 12 𝑓21 28 12 Assim a derivada direcional é dada por 𝐷 13 12 32 𝑓21 1 1 9 13 28 12 28 1 12 3 10 28 36 10 8 10 810 1010 810 10 𝟒𝟏𝟎 𝟓 Questão 4 Temos 𝑟 sin 𝑡 2 cos 𝑡 Assim temos 𝑟 cos 𝑡 2 sin𝑡 𝑟 𝜋 4 cos 𝜋 4 2 sin 𝜋 4 𝑟 𝜋 4 2 2 2 2 2 𝑟 𝜋 4 2 2 2 Assim o vetor unitário é dado por 𝑢 𝑟 𝑟 𝑢 2 2 2 2 2 2 2 2 𝑢 2 2 2 2 4 2 𝑢 2 2 2 2 4 8 4 𝑢 2 2 2 10 4 𝑢 2 10 2 2 2 𝑢 10 1010 2 22 𝑢 25 10 2 22 𝑢 2 25 10 22 25 10 𝑢 25 10 4 5 10 𝒖 𝟓 𝟓 𝟐 𝟓 𝟓 Questão 5 Temos 46 32 3 4 2 6 12 12 0 São perpendiculares 26 4 3 96 3 2 9 6 6 4 6 54 24 0 São paralelos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 0 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 0 𝑏𝑎 𝑎𝑏 0 São perpendiculares Assim temos que a resposta é 𝐵 𝐴 𝐵 Questão 6 Temos 𝑟 𝑃 𝑄 𝑃𝑡 𝑟 1 12 417 1 12𝑡 𝑟 1 12 325𝑡 𝒓 𝟏 𝟑𝒕 𝟏 𝟐𝒕𝟐 𝟓𝒕 Questão 7 Temos cos 𝜃 𝑎 𝑏 𝑎𝑏 cos 𝜃 3 15 243 32 12 5222 42 32 cos 𝜃 6 4 15 9 1 254 16 9 cos 𝜃 5 3529 𝜃 arccos 5 1015 𝜽 𝟖𝟏𝟎 Questão 8 Temos 𝑣 3241 2013 𝑣 6123 026 𝑣 610 3 C é correta 𝑢 𝑖 𝑗 𝑘 0 1 3 1 2 1 1 6 3 00 1 𝑢 5 3 1 E é correta Assim temos 𝑢 𝑣 5 3 1 610 3 𝑢 𝑣 30 30 3 𝑢 𝑣 63 D é correta Temos 𝑢 𝑏 5 3 1 013 0 3 3 0 B é correta Logo letra A é incorreta