Roteiro de Trabalho Cálculo V - Resolução de Equações Diferenciais

ESAMC Cálculo V 2º Semestre de 2023 Roteiro de Trabalho para Avaliação de Alunos em Regime Especial Nome RA 1 A equação diferencial dy dx y x2 é separável Encontre y x dada a condição de contorno y 2 4 2 Resolva o problema de valor inicial dy dx 2x 3 y 1 2 3 Dada a equação diferencial y 2y 3ex a Escreva sua forma reduzida b Encontre o fator integrante c Resolva a equação sabendo que y 0 4 4 Determine a função y x que satisfaz a equação diferencial y y 1 sujeita às condições y 0 7 e y 0 2 Dica Faça a substituição p y e separe as variáveis dependentes das independentes Formulário y y x y dydx e y d²ydx² y Pxy Qx μ x ePxdx ea eb eab a ln x ln xa eln x x ln ex x ddx f u x dfdu dudx ddx f x g x g dfdx f dgdx u dv uv v du xn dx xn1n1 cos x dx sen x sen x dx cos x ex dx ex ddx xn n xn1 ddx sen x cos x ddx cos x sen x ddx ex ex dxx ln x ddx ln x 1x dp1p ln 1 p Questão 1 1 A equação diferencial dydx yx² é separável Encontre yx dada a condição de contorno y2 4 Solução da questão 1 Com efeito veja que dydx yx² dyy x² dx dyy x² dx lny x³3 C yx cex³3 Da condição de contorno temos que y2 4 4 ce83 c 4 e83 e disso temos que a solução do problema é yx 4 e83 ex³3 4 ex³ 8 3 Questão 2 2 Resolva o problema de valor inicial dydx 2x 3 y1 2 Solução da questão 2 Com efeito veja que dydx 2x 3 dy 2x 3 dx dy 2x 3 dx yx 2x²2 3x C yx x² 3x C Da condição inicial temos que y1 2 2 1² 3 C C 2 e disso temos que a solução do problema é yx x² 3x 2 Questão 3 3 Dada a equação diferencial y 2y 3 ex a Escreva sua forma reduzida b Encontre o fator integrante c Resolva a equação sabendo que y0 4 Solução da questão 3 Solução da questão 3 item a A forma reduzida da EDO é y 2y 3ex Solução da questão 3 item b O fator integrante μx é uma função tal que ddx μy μy μy μy 2μy 3μ ex μ 2μ Então temos que μ 2μ dμμ 2 dx dμμ 2 dx lnμ 2x μ e2x e o fator integrante é μ e2x Solução da questão 3 item c Então multiplicando a EDO pelo fator integrante temos que dye2xdx 3ex e2x dye2xdx dx 3ex dx ye2x 3ex C yx 3ex C e2x Daí segue então do PVI que y0 4 4 3e0 C e0 3 C C 7 Com isso segue que obtemos o seguinte resultado yx 3ex 7 e2x que é a solução buscada Questão 4 4 Determine a função yx que satisfaz a equação diferencial y y 1 sujeita às condições y0 7 e y0 2 Solução da questão 4 Façamos p y desse modo temos que a EDO acima se reduz ao seguinte p p 1 p 1 p dp1 p dx dp1 p dx ln1 p x C 1 p cex px yx 1 cex Da condição inicial temos que y0 7 7 1 ce0 1 c c 6 portanto temos que yx 1 6ex dy 1 6ex dx dy 1 6ex dx yx x 6ex C Com o PVI y0 2 temos que 2 y0 0 6e0 C 6 C C 8 e com isso ficamos com a seguinte solução yx x 6ex 8