Lista de Exercícios Resolvidos Dinâmica de Máquinas - Engenharia Mecânica

n 4 Regime Especial Dinâmica de Máquinas 1 A placa quadrada gira em torno de um pino fixo O No instante representado a sua velocidade angular é ω 6 rads e sua aceleração angular é α 4 rads2 nas direções indicadas na figura Determine a a velocidade e a aceleração do ponto A em temos dos vetores unitários iˆ e ˆj e seus módulos Determine as expressões vetoriais para a velocidade e a aceleração do ponto P cujo vetor posição no instante mostrado é r 375iˆ 400 ˆj 300kˆ mm Confira os módulos de seus resultados a partir dos valores escalares v r e a r 2 b a velocidade e a aceleração do ponto B em temos dos vetores unitários iˆ e ˆj e seus módulos 2 A velocidade angular de uma engrenagem é controlada de acordo com 12 3t 2 onde ω em radianos por segundo é positivo no sentido horário e onde t é o tempo em segundos a Encontre o deslocamento anular líquido Δθ desde o instante de tempo t 0 até t 3 s b Encontre também o número total de rotações N por meio do qual a engrenagem gira durante os três segundos 3 A aceleração angular de um corpo que está girando em torno de um eixo fixo é dada por k 2 onde a constante k 01 sem unidades Determine o deslocamento angular e o tempo decorrido quando a velocidade angular tiver sido reduzida para um terço do seu valor inicial o 12 rads 4 O disco circular gira com uma velocidade angular constante 40 rads em torno de seu eixo que está inclinado no plano yz no ângulo tan1 3 5 O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabo e polia mostrado Se os pontos A e B têm velocidades de 04 ms e 02 ms respectivamente calcule a velocidade de P a velocidade do ponto C para o instante representado e a velocidade angular da polia 6 O carretel gira sobre seu cubo subindo o cabo interno A enquanto a placa compensadora B puxa os cabos externos para baixo Os três cabos estão firmemente enrolados em torno de suas respectivas periferias e não deslizam Se no instante representado B tiver se deslocado para baixo uma distância de 1600 mm a partir do repouso com uma aceleração constante de 02 ms2 determine a velocidade do ponto C e a aceleração do centro O para esse instante em particular 7 A figura abaixo mostra um came de excêntrico cicloidal com raio mínimo 45 mm que gira no sentido anti horário com frequência 1800 RPM Também é mostrado um seguidor de rolete com raio 5 mm e haste com retorno por mola O deslocamento do seguidor no movimento considerado é de 40 mm a Verifique se há formação de ponta na subida do rolete para β 180 b Determine o ângulo de pressão máximo αmax para o mesmo β c Determine a velocidade da haste na subida e na descida 8 Projetar um came de disco com seguidor radial de rolete para realizar os deslocamentos conforme diagrama abaixo e com os seguintes dados Rm 30 mm Rr 14 mm sentido de giro do came horário Movimento harmônico simples β 120º a Calcular o αmax b Calcular R0 para αmax 35º Utilize o monograma para determinação do ângulo de pressão máximo dado no exercício anterior 9 Os cames são identificados de acordo com sua forma na figura abaixo temos alguns tipos básicos identifique a nomenclatura destes seguindo o sentido da esquerda para direita 10 Defina corretamente a nomenclatura do came de disco com seguidor radial de rolete conforme a indicação das setas abaixo 1 A placa quadrada gira em torno de um pino fixo O No instante representado a sua velocidade angular é ω 6 rads e sua aceleração angular é α 4 rads2 nas direções indicadas na figura Determine a a velocidade e a aceleração do ponto A em temos dos vetores unitários i e j e seus módulos b a velocidade e a aceleração do ponto B em temos dos vetores unitários i e j e seus módulos Solução A posição do ponto A no espaço é r A0i45 j A velocidade angular é ω6k A aceleração angular é α4k Da definição de velocidade angular uma vez que temos o vetor posição do referido ponto conseguimos calcular a velocidade linear dessa forma temos V Aωr A645k j Realizando o produto vetorial encontramos 270imm s A aceleração do referido ponto também pode ser obtida em termos da aceleração angular no ponto A e tendo em vista a componente de velocidade angular no ponto assim a Aωωr Aα r A 6k 6k 0i45 j 4 k0i45 j Realizando o produto vetorial temos 6k 270i180i Resposta final 180i1620 j mm s 2 A posição do ponto B no espaço é r B30i45 j A velocidade angular e aceleração anular são as mesmas a saber ω6k rad s 1eα4k rad s 2 Analogamente ao ponto A uma vez que é conhecido o vetor posição do referido ponto conseguimos calcular a velocidade linear dessa forma temos V BωrB6k 30i45 j Aplicando o produto vetorial temos 270i180 j mm s De forma análoga a análise feita para o item a a aceleração pode ser obtida em termos da aceleração angular no ponto e da velocidade angular no mesmo ponto assim aBωωrBα r B 6k 6k 30i45 j4 k30i45 j Aplicando o produto vetorial temos 6k 270i180 j120 j180i Resposta final 1260i1500 j mm s 2 2 A velocidade angular de uma engrenagem é controlada de acordo com ω 123t 2 onde ω em radianos por segundo é positivo no sentido horário e onde t é o tempo em segundos a Encontre o deslocamento anular líquido Δθ desde o instante de tempo t 0 até t 3 s b Encontre também o número total de rotações N por meio do qual a engrenagem gira durante os três segundos Solução Basta integrar a expressão de velocidade angular em relação a t dθ dt ωdθωdt dθωdt θ10 θ2θ dθ t10 t23 ωdt θ t10 t23 123t 2dt θ1233 3 θ36279rad Número total de rotações sabendo que 2π vale uma rotação e que θ9rad temos então N1233 3 2π 143 3 A aceleração angular de um corpo que está girando em torno de um eixo fixo é dada por α kω 2 onde a constante k 01 sem unidades Determine o deslocamento angular e o tempo decorrido quando a velocidade angular tiver sido reduzida para um terço do seu valor inicial ωo 12 rads Solução A derivada da velocidade angular deve ser igual à expressão de aceleração angular dada Integramos essa equação em relação ao tempo e resolvemos para o tempo t Observe que para t 0 temos ωo 12 rads enquanto que para o tempo final t temos ω ωf 4 rads dω dt α dω dt k ω 2 ω0 ω dω ω 2 0 t k dt 1 ω0 1 ωkt t1 k 1 ω 1 ω0 ωωf4rad s t 1 01 1 4 1 121667 s Continuamos resolvendo ω na última equação da etapa anterior 1 ω0 1 ωkt 1 ω0 kt 1 ω Reorganizando ω ω0 1k ω0t Finalmente observe que a derivada da posição angular θ é igual a ω que podemos integrar em relação ao tempo e resolvendo Δθ que é igual a θ θ0 temos dθ dt ωdθωdt θ 0 t ωdtθ0 Δθ 0 t ω0 1k ω0t dt 1 k 0 t k ω0 1k ω0t dt 1 k ln 1k ω0t t 0 Substituindo valores nós temos 1 01 ln 4O disco circular gira com uma velocidade angular constante ω 40 rads em torno de seu eixo que está inclinado no plano yz no ângulo θ tan1 34 Determine as expressões vetoriais para a velocidade e a aceleração do ponto P cujo vetor posição no instante mostrado é r375i 400j 300k mm Confira os módulos de seus resultados a partir dos valores escalares v rω e a rω2 Solução Dada a relação de θ temos θtan 13 43687 Vetor posição do ponto P r375i400 j300k Velocidade angular ω40cosθ ksenθ j ω40 4 4 23 2 k 3 4 23 2 j ω 160 4 23 2 k 120 4 23 2 j Da definição de velocidade linear obtemos Vωr 32k24 j375i400 j300k Aplicando o produto vetorial obtemos 20000i12000 j9000k Aeleração linear em P aα rωV Como a velocidade angular é contante α0 assim podemos escrever aωV 32k24 j20000i12000 j9000k 600000i640000 j480000 k Módulos Magnitudes r625mm V25000mm s a1000000mm s 2 Checagem v rω 625 x 40 25000 mm s a rω2 625 x 40² 1000000 mm s² OK 5 O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabo e polia mostrado Se os pontos A e B têm velocidades de 04 ms e 02 ms respectivamente calcule a velocidade de P a velocidade do ponto C para o instante representado e a velocidade angular da polia Solução Fazendo o perfil de velocidade do sistema nós temos Assim a velocidade angular da polia pode ser determinada como ωv Av B r B A 0402 04 05rad s Velocidade do Ponto C vCv BωrBC 020501 025m s 1 Velocidade do Ponto P vBvBωr BP 020502 03m s 1 6 O carretel gira sobre seu cubo subindo o cabo interno A enquanto a placa compensadora B puxa os cabos externos para baixo Os três cabos estão firmemente enrolados em torno de suas respectivas periferias e não deslizam Se no instante representado B tiver se deslocado para baixo uma distância de 1600 mm a partir do repouso com uma aceleração constante de 02 ms2 determine a velocidade do ponto C e a aceleração do centro O para esse instante em particular Solução Podemos usar a equação do movimento para de B porque está indo para baixo com aceleração constante Para B V 2V 0 22as V B20216 V B08m s Da condição de não deslizamento temos r r outr d SB r d S0 r Diferenciando dos dois lados temos V B r V 0 r Isolando V0 temos r V B r V 0 E sabendo que r r outr Assim V 0r V B routr Substituindo V 0004 08 02004 V 002m s Velocidade no ponto C V CV Bωr B C 08 08 02004 04 12m s De modo análogo para a aceleração nós temos aOaBα r B O 02 02 02004 0 2 005m s 2 7 A figura abaixo mostra um came de excêntrico cicloidal com raio mínimo 45 mm que gira no sentido antihorário com frequência 1800 RPM Também é mostrado um seguidor de rolete com raio 5 mm e haste com retorno por mola O deslocamento do seguidor no movimento considerado é de 40 mm A Verifique se há formação de ponta na subida do rolete para β 180 b Determine o ângulo de pressão máximo αmax para o mesmo β Solução β1 180 L d 40 mm R0 45 mm Logo L R0 40 45 0889 E ρminR0 125 ρmin 125 x 45 5625 mm ρmin 5625 Rr 10 portanto não ocorre formação de ponta e muito menos interferência b L R0 0889 Assim αmáx 24 8 Projetar um came de disco com seguidor radial de rolete para realizar os deslocamentos conforme diagrama abaixo e com os seguintes dados Rm 30 mm Rr 14 mm sentido de giro do came horário Movimento harmônico simples β 120º a Calcular o αmax b Calcular R0 para αmax 35º Solução Para elevação β1 120 Para Retorno β2 120 L d 34 mm R0 30 14 44 mm Logo L R0 34 44 0773 Assim αmáx 24 Tanto para elevação quanto para retorno β 120 e sendo αmáx 35 temos que Para αmáx 24 L R0 149 como consequência temos R0 34 149 2282mm Traçado de letra a e b respectivamente 9 Os cames são identificados de acordo com sua forma na figura abaixo temos alguns tipos básicos identifique a nomenclatura destes seguindo o sentido da esquerda para direita Solução 10 Defina corretamente a nomenclatura do came de disco com seguidor radial de rolete conforme a indicação das setas abaixo A Ponto de Traçado B Círculo Base C Círculo Principal D Perfil Primitivo E Perfil do Came F Círculo Primitivo G Ponto Primitivo H Ângulo de Pressão 1 A placa quadrada gira em torno de um pino fixo O No instante representado a sua velocidade angular é ω 6 rads e sua aceleração angular é α 4 rads2 nas direções indicadas na figura Determine a a velocidade e a aceleração do ponto A em temos dos vetores unitários i e j e seus módulos b a velocidade e a aceleração do ponto B em temos dos vetores unitários i e j e seus módulos Solução A posição do ponto A no espaço é 𝑟𝐴 0𝑖 45𝑗 A velocidade angular é 𝜔 6𝑘 A aceleração angular é 𝛼 4𝑘 Da definição de velocidade angular uma vez que temos o vetor posição do referido ponto conseguimos calcular a velocidade linear dessa forma temos 𝑉𝐴 𝜔 𝑟𝐴 6 45 𝑘 𝑗 Realizando o produto vetorial encontramos 270𝒊 𝑚𝑚 𝑠 A aceleração do referido ponto também pode ser obtida em termos da aceleração angular no ponto A e tendo em vista a componente de velocidade angular no ponto assim 𝑎𝐴 𝜔 𝜔 𝑟𝐴 𝛼 𝑟𝐴 6𝑘 6𝑘 0𝑖 45𝑗 4𝑘 0𝑖 45𝑗 Realizando o produto vetorial temos 6𝑘 270𝑖 180𝑖 Resposta final 180𝑖 1620𝑗 𝑚𝑚 𝑠2 A posição do ponto B no espaço é 𝑟𝐵 30𝑖 45𝑗 A velocidade angular e aceleração anular são as mesmas a saber 𝜔 6𝑘 𝑟𝑎𝑑 𝑠1 e 𝛼 4𝑘 𝑟𝑎𝑑 𝑠2 Analogamente ao ponto A uma vez que é conhecido o vetor posição do referido ponto conseguimos calcular a velocidade linear dessa forma temos 𝑉𝐵 𝜔 𝑟𝐵 6𝑘 30𝑖 45𝑗 Aplicando o produto vetorial temos 270𝑖 180𝑗 𝑚𝑚 𝑠 De forma análoga a análise feita para o item a a aceleração pode ser obtida em termos da aceleração angular no ponto e da velocidade angular no mesmo ponto assim 𝑎𝐵 𝜔 𝜔 𝑟𝐵 𝛼 𝑟𝐵 6𝑘 6𝑘 30𝑖 45𝑗 4𝑘 30𝑖 45𝑗 Aplicando o produto vetorial temos 6𝑘 270𝑖 180𝑗 120𝑗 180𝑖 Resposta final 1260𝑖 1500𝑗 𝑚𝑚 𝑠2 2 A velocidade angular de uma engrenagem é controlada de acordo com ω 123t2 onde ω em radianos por segundo é positivo no sentido horário e onde t é o tempo em segundos a Encontre o deslocamento anular líquido Δθ desde o instante de tempo t 0 até t 3 s b Encontre também o número total de rotações N por meio do qual a engrenagem gira durante os três segundos Solução Basta integrar a expressão de velocidade angular em relação a t 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 𝑑𝜃 𝜔𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝜔𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝜃2𝜃 𝜃10 𝜔𝑑𝑡 𝑡23 𝑡10 𝜃 12 3t2𝑑𝑡 𝑡23 𝑡10 𝜃 12 3 33 𝜃 36 27 9 𝑟𝑎𝑑 Número total de rotações sabendo que 2𝜋 vale uma rotação e que 𝜃 9 𝑟𝑎𝑑 temos então 𝑁 12 3 33 2𝜋 143 3 A aceleração angular de um corpo que está girando em torno de um eixo fixo é dada por α kω 2 onde a constante k 01 sem unidades Determine o deslocamento angular e o tempo decorrido quando a velocidade angular tiver sido reduzida para um terço do seu valor inicial ωo 12 rads Solução A derivada da velocidade angular deve ser igual à expressão de aceleração angular dada Integramos essa equação em relação ao tempo e resolvemos para o tempo t Observe que para t 0 temos ωo 12 rads enquanto que para o tempo final t temos ω ωf 4 rads 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝛼 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑘𝜔2 𝑑𝜔 𝜔2 𝜔 𝜔0 𝑘 𝑑𝑡 𝑡 0 1 𝜔0 1 𝜔 𝑘𝑡 𝑡 1 𝑘 1 𝜔 1 𝜔0 𝜔 𝜔𝑓 4 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑡 1 01 1 4 1 12 1667 𝑠 Continuamos resolvendo 𝜔 na última equação da etapa anterior 1 𝜔0 1 𝜔 𝑘𝑡 1 𝜔0 𝑘𝑡 1 𝜔 Reorganizando 𝜔 𝜔0 1 𝑘𝜔0𝑡 Finalmente observe que a derivada da posição angular 𝜃 é igual a 𝜔 que podemos integrar em relação ao tempo e resolvendo Δ𝜃 que é igual a 𝜃 𝜃0 temos 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 𝑑𝜃 𝜔𝑑𝑡 𝜃 𝜔𝑑𝑡 𝑡 0 𝜃0 Δ𝜃 𝜔0 1 𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡 𝑡 0 1 𝑘 𝑘𝜔0 1 𝑘𝜔0𝑡 𝑑𝑡 𝑡 0 1 𝑘 ln1 𝑘𝜔0𝑡 𝑡 0 Substituindo valores nós temos 1 01 ln1 01121667 1099 𝑟𝑎𝑑 4O disco circular gira com uma velocidade angular constante ω 40 rads em torno de seu eixo que está inclinado no plano yz no ângulo θ tan1 34 Determine as expressões vetoriais para a velocidade e a aceleração do ponto P cujo vetor posição no instante mostrado é r375i 400j 300k mm Confira os módulos de seus resultados a partir dos valores escalares v rω e a rω2 Solução Dada a relação de 𝜃 temos 𝜃 tan13 4 3687 Vetor posição do ponto P 𝑟 375𝑖 400𝑗 300𝑘 Velocidade angular 𝜔 40𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑘 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗 𝜔 40 4 42 32 𝑘 3 42 32 𝑗 𝜔 160 42 32 𝑘 120 42 32 𝑗 Da definição de velocidade linear obtemos 𝑉 𝜔 𝑟 32𝑘 24𝑗 375𝑖 400𝑗 300𝑘 Aplicando o produto vetorial obtemos 20000i 12000j 9000k Aeleração linear em P 𝑎 𝛼 𝑟 𝜔 𝑉 Como a velocidade angular é contante 𝛼 0 assim podemos escrever 𝑎 𝜔 𝑉 32𝑘 24𝑗 20000i 12000j 9000k 600000i 640000j 480000k Módulos Magnitudes 𝑟 625 𝑚𝑚 𝑉 25000 𝑚𝑚 𝑠 𝑎 1000000 𝑚𝑚 𝑠2 Checagem v rω 625 x 40 25000 mms a rω2 625 x 40² 1000000 mms² OK 5 O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabo e polia mostrado Se os pontos A e B têm velocidades de 04 ms e 02 ms respectivamente calcule a velocidade de P a velocidade do ponto C para o instante representado e a velocidade angular da polia Solução Fazendo o perfil de velocidade do sistema nós temos Assim a velocidade angular da polia pode ser determinada como 𝜔 𝑣𝐴 𝑣𝐵 𝑟𝐵𝐴 04 02 04 05 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Velocidade do Ponto C 𝑣𝐶 𝑣𝐵 𝜔 𝑟𝐵 𝐶 02 05 01 025𝑚 𝑠1 Velocidade do Ponto P 𝑣𝐵 𝑣𝐵 𝜔 𝑟𝐵 𝑃 02 05 02 03 𝑚 𝑠1 6 O carretel gira sobre seu cubo subindo o cabo interno A enquanto a placa compensadora B puxa os cabos externos para baixo Os três cabos estão firmemente enrolados em torno de suas respectivas periferias e não deslizam Se no instante representado B tiver se deslocado para baixo uma distância de 1600 mm a partir do repouso com uma aceleração constante de 02 ms2 determine a velocidade do ponto C e a aceleração do centro O para esse instante em particular Solução Podemos usar a equação do movimento para de B porque está indo para baixo com aceleração constante Para B 𝑉2 𝑉0 2 2 𝑎 𝑠 𝑉𝐵 2 02 16 𝑉𝐵 08 𝑚 𝑠 Da condição de não deslizamento temos 𝑟 𝑟𝑜𝑢𝑡 𝑟𝑖𝑛 𝑑𝑆𝐵 𝑟 𝑑𝑆0 𝑟𝑖𝑛 Diferenciando dos dois lados temos 𝑉𝐵 𝑟 𝑉0 𝑟𝑖𝑛 Isolando V0 temos 𝑟𝑖𝑛 𝑉𝐵 𝑟 𝑉0 E sabendo que 𝑟 𝑟𝑜𝑢𝑡 𝑟𝑖𝑛 Assim 𝑉0 𝑟𝑖𝑛 𝑉𝐵 𝑟𝑜𝑢𝑡 𝑟𝑖𝑛 Substituindo 𝑉0 004 08 02 004 𝑉0 02 𝑚 𝑠 Velocidade no ponto C 𝑉𝐶 𝑉𝐵 𝜔 𝑟𝐵𝐶 08 08 02 004 04 12 𝑚 𝑠 De modo análogo para a aceleração nós temos 𝑎𝑂 𝑎𝐵 𝛼 𝑟𝐵𝑂 02 02 02 004 02 005 𝑚 𝑠2 7 A figura abaixo mostra um came de excêntrico cicloidal com raio mínimo 45 mm que gira no sentido antihorário com frequência 1800 RPM Também é mostrado um seguidor de rolete com raio 5 mm e haste com retorno por mola O deslocamento do seguidor no movimento considerado é de 40 mm A Verifique se há formação de ponta na subida do rolete para β 180 b Determine o ângulo de pressão máximo αmax para o mesmo β Solução β1 180 L d 40 mm R0 45 mm Logo 𝐿 𝑅0 40 45 0889 E ρminR0 125 ρmin 125 x 45 5625 mm ρmin 5625 Rr 10 portanto não ocorre formação de ponta e muito menos interferência b 𝐿 𝑅0 0889 Assim αmáx 24 8 Projetar um came de disco com seguidor radial de rolete para realizar os deslocamentos conforme diagrama abaixo e com os seguintes dados Rm 30 mm Rr 14 mm sentido de giro do came horário Movimento harmônico simples β 120º a Calcular o αmax b Calcular R0 para αmax 35º Solução Para elevação β1 120 Para Retorno β2 120 L d 34 mm R0 30 14 44 mm Logo 𝐿 𝑅0 34 44 0773 Assim αmáx 24 Tanto para elevação quanto para retorno β 120 e sendo αmáx 35 temos que Para αmáx 24 𝐿 𝑅0 149 como consequência temos 𝑅0 34 149 2282 𝑚𝑚 Traçado de letra a e b respectivamente 9 Os cames são identificados de acordo com sua forma na figura abaixo temos alguns tipos básicos identifique a nomenclatura destes seguindo o sentido da esquerda para direita Solução 10 Defina corretamente a nomenclatura do came de disco com seguidor radial de rolete conforme a indicação das setas abaixo