Lista de Exercícios Resolvidos Dinâmica de Máquinas - Regime Especial

n 4 Regime Especial Dinâmica de Máquinas 1 A placa quadrada gira em torno de um pino fixo O No instante representado a sua velocidade angular é ω 6 rads e sua aceleração angular é α 4 rads2 nas direções indicadas na figura Determine a a velocidade e a aceleração do ponto A em temos dos vetores unitários iˆ e ˆj e seus módulos Determine as expressões vetoriais para a velocidade e a aceleração do ponto P cujo vetor posição no instante mostrado é r 375iˆ 400 ˆj 300kˆ mm Confira os módulos de seus resultados a partir dos valores escalares v r e a r 2 b a velocidade e a aceleração do ponto B em temos dos vetores unitários iˆ e ˆj e seus módulos 2 A velocidade angular de uma engrenagem é controlada de acordo com 12 3t 2 onde ω em radianos por segundo é positivo no sentido horário e onde t é o tempo em segundos a Encontre o deslocamento anular líquido Δθ desde o instante de tempo t 0 até t 3 s b Encontre também o número total de rotações N por meio do qual a engrenagem gira durante os três segundos 3 A aceleração angular de um corpo que está girando em torno de um eixo fixo é dada por k 2 onde a constante k 01 sem unidades Determine o deslocamento angular e o tempo decorrido quando a velocidade angular tiver sido reduzida para um terço do seu valor inicial o 12 rads 4 O disco circular gira com uma velocidade angular constante 40 rads em torno de seu eixo que está inclinado no plano yz no ângulo tan1 3 5 O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabo e polia mostrado Se os pontos A e B têm velocidades de 04 ms e 02 ms respectivamente calcule a velocidade de P a velocidade do ponto C para o instante representado e a velocidade angular da polia 6 O carretel gira sobre seu cubo subindo o cabo interno A enquanto a placa compensadora B puxa os cabos externos para baixo Os três cabos estão firmemente enrolados em torno de suas respectivas periferias e não deslizam Se no instante representado B tiver se deslocado para baixo uma distância de 1600 mm a partir do repouso com uma aceleração constante de 02 ms2 determine a velocidade do ponto C e a aceleração do centro O para esse instante em particular 7 A figura abaixo mostra um came de excêntrico cicloidal com raio mínimo 45 mm que gira no sentido anti horário com frequência 1800 RPM Também é mostrado um seguidor de rolete com raio 5 mm e haste com retorno por mola O deslocamento do seguidor no movimento considerado é de 40 mm a Verifique se há formação de ponta na subida do rolete para β 180 b Determine o ângulo de pressão máximo αmax para o mesmo β c Determine a velocidade da haste na subida e na descida 8 Projetar um came de disco com seguidor radial de rolete para realizar os deslocamentos conforme diagrama abaixo e com os seguintes dados Rm 30 mm Rr 14 mm sentido de giro do came horário Movimento harmônico simples β 120º a Calcular o αmax b Calcular R0 para αmax 35º Utilize o monograma para determinação do ângulo de pressão máximo dado no exercício anterior 9 Os cames são identificados de acordo com sua forma na figura abaixo temos alguns tipos básicos identifique a nomenclatura destes seguindo o sentido da esquerda para direita 10 Defina corretamente a nomenclatura do came de disco com seguidor radial de rolete conforme a indicação das setas abaixo 1 A placa quadrada gira em torno de um pino fixo O No instante representado a sua velocidade angular é ω 6 rads e sua aceleração angular é α 4 rads2 nas direções indicadas na figura Determine a a velocidade e a aceleração do ponto A em temos dos vetores unitários i e j e seus módulos b a velocidade e a aceleração do ponto B em temos dos vetores unitários i e j e seus módulos Solução Para o Ponto A r A0i45 j ω6k α4k V Aωr A645k j 270imm s a Aωωr Aα r A 6k 6k 0i45 j 4 k0i45 j 6k 270i180i 180i1620 j mm s 2 Para o Ponto B r B30i45 j ω6k α4k V BωrB6k 30i45 j 270i180 j mm s aBωωrBα r B 6k 6k 30i45 j4 k30i45 j 6k 270i180 j120 j180i 1260i1500 j mm s 2 2 A velocidade angular de uma engrenagem é controlada de acordo com ω 123t 2 onde ω em radianos por segundo é positivo no sentido horário e onde t é o tempo em segundos a Encontre o deslocamento anular líquido Δθ desde o instante de tempo t 0 até t 3 s b Encontre também o número total de rotações N por meio do qual a engrenagem gira durante os três segundos Solução Basta integrar a expressão de velocidade angular em relação a t dθ dt ωdθωdt dθωdt θ10 θ2θ dθ t10 t23 ωdt θ t10 t23 123t 2dt θ1233 3 θ36279rad Número total de rotações sabendo que 2π vale uma rotação e que θ9rad temos então N1233 3 2π 143 3 A aceleração angular de um corpo que está girando em torno de um eixo fixo é dada por α kω 2 onde a constante k 01 sem unidades Determine o deslocamento angular e o tempo decorrido quando a velocidade angular tiver sido reduzida para um terço do seu valor inicial ωo 12 rads Solução A derivada da velocidade angular deve ser igual à expressão de aceleração angular dada Integramos essa equação em relação ao tempo e resolvemos para o tempo t Observe que para t 0 temos ωo 12 rads enquanto que para o tempo final t temos ω ωf 4 rads dω dt α dω dt k ω 2 ω0 ω dω ω 2 0 t k dt 1 ω0 1 ωkt t1 k 1 ω 1 ω0 ωωf4rad s t 1 01 1 4 1 121667 s Continuamos resolvendo ω na quinta equação da etapa anterior 1 ω0 1 ωkt 1 ω0 kt 1 ω Reorganizando ω ω0 1k ω0t Finalmente observe que a derivada da posição angular θ é igual a ω que integram essa equação em relação ao tempo e resolvemos um que é igual a θ θ0 dθ dt ωdθωdt θ 0 t ωdtθ0 Δθ 0 t ω0 1k ω0t dt 1 k 0 t k ω0 1k ω0t dt 1 k ln 1k ω0t t 0 1 01 ln 4O disco circular gira com uma velocidade angular constante ω 40 rads em torno de seu eixo que está inclinado no plano yz no ângulo θ tan1 34 Determine as expressões vetoriais para a velocidade e a aceleração do ponto P cujo vetor posição no instante mostrado é r375i 400j 300k mm Confira os módulos de seus resultados a partir dos valores escalares v rω e a rω2 Solução Tangente Cat Oposto Cad Adjacente θtan 13 43687 Vetor posição do ponto P r375i400 j300k Velocidade angular ω40cosθ ksenθ j ω40 4 4 23 2 k 3 4 23 2 j ω 160 4 23 2 k 120 4 23 2 j Vωr 32k24 j375i400 j300k 20000i12000 j9000k Aeleração em P aα rωV Como a velocidade angular é contante α0 assim aωV 32k24 j20000i12000 j9000k 600000i640000 j480000 k Magnitudes r625mm V25000mm s a1000000mm s 2 Checagem v rω 625 x 40 25000 mm s a rω2 625 x 40² 1000000 mm s² OK 5 O bloco de concreto P está sendo abaixado pelo arranjo de cabo e polia mostrado Se os pontos A e B têm velocidades de 04 ms e 02 ms respectivamente calcule a velocidade de P a velocidade do ponto C para o instante representado e a velocidade angular da polia Solução Fazendo o perfil de velocidade do sistema nós temos Assim a velocidade angular da polia pode ser determinada como ωv Av B r B A 0402 04 05rad s Velocidade do Ponto C vCv BωrBC 020501 025m s 1 Velocidade do Ponto P vBvBωr BP 020502 03m s 1 6 O carretel gira sobre seu cubo subindo o cabo interno A enquanto a placa compensadora B puxa os cabos externos para baixo Os três cabos estão firmemente enrolados em torno de suas respectivas periferias e não deslizam Se no instante representado B tiver se deslocado para baixo uma distância de 1600 mm a partir do repouso com uma aceleração constante de 02 ms2 determine a velocidade do ponto C e a aceleração do centro O para esse instante em particular Solução Podemos usar a equação do movimento para de B porque está indo para baixo com aceleração constante Para B V 2V 0 22as V B20216 V B08m s Da condição de não deslizamento temos r r outr d SB r d S0 r Diferenciando dos dois lados temos V B r V 0 r Isolando V0 temos r V B r V 0 E sabendo que r r outr Assim V 0r V B routr Substituindo V 0004 08 02004 V 002m s Velocidade no ponto C V CV Bωr B C 08 08 02004 04 12m s De modo análogo para a aceleração nós temos aOaBα r B O 02 02 02004 0 2 005m s 2 7 A figura abaixo mostra um came de excêntrico cicloidal com raio mínimo 45 mm que gira no sentido antihorário com frequência 1800 RPM Também é mostrado um seguidor de rolete com raio 5 mm e haste com retorno por mola O deslocamento do seguidor no movimento considerado é de 40 mm A Verifique se há formação de ponta na subida do rolete para β 180 b Determine o ângulo de pressão máximo αmax para o mesmo β Solução β1 180 L d 40 mm R0 45 mm Logo L R0 40 45 0889 E ρminR0 125 ρmin 125 x 45 5625 mm ρmin 5625 Rr 10 portanto não ocorre formação de ponta e muito menos interferência b L R0 0889 Assim αmáx 24 8 Projetar um came de disco com seguidor radial de rolete para realizar os deslocamentos conforme diagrama abaixo e com os seguintes dados Rm 30 mm Rr 14 mm sentido de giro do came horário Movimento harmônico simples β 120º a Calcular o αmax b Calcular R0 para αmax 35º Solução Para elevação β1 120 Para Retorno β2 120 L d 34 mm R0 30 14 44 mm Logo L R0 34 44 0773 Assim αmáx 24 Tanto para elevação quanto para retorno β 120 e sendo αmáx 35 temos que Para αmáx 24 L R0 149 como consequência temos R0 34 149 2282mm Traçado de letra a e b respectivamente 9 Os cames são identificados de acordo com sua forma na figura abaixo temos alguns tipos básicos identifique a nomenclatura destes seguindo o sentido da esquerda para direita Solução 10 Defina corretamente a nomenclatura do came de disco com seguidor radial de rolete conforme a indicação das setas abaixo