P1 Dinamica dos Solidos - Cinemática e Dinâmica da Partícula

Faculdade de Engenharia P1 Dinâmica dos Sólidos Total Nome Curso Turma RA Data Leia as questões antes de respondêlas A interpretação das questões faz parte da avaliação Os cálculos devem ser demonstrados para validação dos exercícios Questões com respostas sem UNIDADE terão pontos descontados É permitido o uso de lápis borracha caneta e calculadora Qualquer material sob as carteiras será considerado irregular e a prova retirada As respostas dos exercícios devem ser com tinta azul ou preta prova com resposta a lápis será corrigida normalmente mas não dará direito à arguição quanto à correção quando da vista a mesma Desligue o celular e observe o tempo disponível para resolução Instruções Dinâmica dos Sólidos Prof Dr Luíz Guilherme Rezende Rodrigues P1 Cinemática e dinâmica da partícula Introdução A equação de movimento fornece informações sobre a trajetória da partícula Nesse contexto é a partir dela que conseguimos estudar o movimento e obter informações sobre sua velocidade e sua aceleração Esses são os grandes objetivos da Mecânica Obter informações específicas sobre o movimento De uma forma geral a equação vetorial de um movimento no sistema de coordenadas cartesianas apresenta no máximo três componentes sendo cada uma delas utilizadas para representar o movimento em uma dimensão Ou seja 𝒔 𝑠𝑥𝒊 𝑠𝑦𝒋 𝑠𝑧𝒛 1 As informações de cada dimensão são dadas respectivamente por 𝑠𝑥 𝑠𝑦 𝑠𝑧 Dessa forma sabe se que a velocidade em um determinado movimento é caracterizada por definição como sendo a taxa de variação da equação de movimento em relação ao tempo De maneira análoga a aceleração é vista como sendo a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo ou a segunda derivada da equação do movimento em relação ao tempo Matematicamente o que queremos dizer é que a velocidade e a aceleração são dadas respectivamente por 𝒗 𝑑𝒔 𝑑𝑡 2 𝒂 𝑑𝒗 𝑑𝑡 𝑑2𝒔 𝑑𝑡2 3 Nos movimentos mais gerais o vetor aceleração é uma composição de uma componente tangencial e uma componente centrípeta Isso quer dizer que 𝒂 𝒂 𝒕 𝒂 𝒄 4 A componente tangencial é dada por definição como 𝒂 𝒕 𝑑𝒗 𝑑𝑡 5 Em contrapartida a componente centrípeta pode definição é uma função dependente do raio da trajetória curvilínea Isso quer dizer que 𝒂 𝒄 𝑣2 𝑅 𝒓 6 Nesse caso 𝑟 é o vetor unitário que dá a direção da componente centrípeta que aponta sempre para o centro da trajetória Questão 1 A trajetória toroidal Imagine que um elétron é acelerado em um sistema com a finalidade de estudar a colisão entre partículas Nesse contexto um cientista conseguiu obter a seguinte equação de movimento para descrever o movimento do elétron em um sistema cartesiano de coordenadas 𝒔 4 𝑠𝑒𝑛20𝑡cos𝑡𝒊 4 𝑠𝑒𝑛20𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡𝒋 cos20𝑡𝒛 7 Graficamente o movimento descrito pelo elétron é visto da seguinte maneira Figura Movimento de espira toroidal Baseado nas informações dada responda as seguintes perguntas a Qual a velocidade vetorial do elétron no movimento descrito b Qual a componente tangencial da aceleração no movimento descrito c Calcule o módulo da velocidade obtida no ítem a d Obtenha o módulo da componente centrípeta da aceleração considerando o raio da trajetória como 𝑅 e Calcule o produto escalar entre a componente tangencial da aceleração e a posição do elétron f Calcule o produto vetorial entre a componente tangencial da aceleração e a posição do elétron Questão 1 a A velocidade é dada por d Sdt v 𝑣 20 cos20t cos t 5 sen t 5 sen 20t i 20 cos 20 t 5 sen t cos t 5 sin20t j 20sen 20t k b A componente tangencial da aceleração é dada por d 𝑣dt a t a t 401 sen 20t cos t 40cos 20t 5 sen t i 401 sen 20t 5 sen t 40 cos 20t cos t j 400 cos 20t k c O módulo da velocidade é dado por v v x2 v y2 v x2 N 400 cos2 20t cos 2 t 40 cos 20t cos t 5 sen t 5 sen 20t sen 2 t sin 2 20t 400 cos 2 20t sen 2 t 40 cos 20t sen t cos t 5 sen 20t cos 2 t sin220t 400 sen 2 20t N 400 cos 220t cos 2 t 5 sen 2 t sen 2 20t cos 2 t 5 sen 2 t 400 sen 2 20t v 400 cos 2 20t sen 2 20t 400 sen 2 20t v 400 cos 2 20t 401 sen 2 20t d O módulo da componente centrípeta será a c v2R a c 400 cos 2 20t 401 sen 2 20tR e O produto escalar entre a t S a t S 1604 sen 20t cos t 160 60 20t 5 sen t 401 sen 2 20t cos 2 20t 40 cos 20t 5 sen t sen20t cos t 1604 sen 20t 5 sen t 160 cos 20t cos t 40 cos 20t cos t 5 sen 20t 5 sen t 401 sen 20t 5 sen 3 t 400 cos 2 20t a t S 1604 sen 20t cos t 5 sen t 160 cos 20t cos t 5 sen t 401 sen 2 20t 400 cos 2 20t f O produto escalar será a t x S 1604 sen 20t cos t 160 20t 5 sen t 407 sen 2 20t 5 sen t 40 cos 20t 5 sen 2 t k 401 sen 20t cos 20t cos t 40 cos 2 20t 5 sen t j 1604 sen 20t 5 sen t 160 cos 20t cos t 401 sen 2 20t 5 sen t cos t 40 cos 20t 5 sen 20t cos t k 1600 cos 20t 400 cos 20t 5 sen 20t j 1600 cos 20t 400 cos 20t 5 sen 20t 5 sen t i a t x S cos 20t 401 sen 20t 5 sen t 1600 400 sen 20t 5 sen t 40 cos 2 20t cos t i cos 20t 407 sen 20t cos t 1600 400 sen 20t cos t 40 cos 2 20t 5 sen t j 1604 sen 20t 5 sen t cos t 40 cos 20t 5 sen 20t 760 cos 20t 5 sen t cos t k a t x S cos t 5 sen 20t 5 sen t 1600 40 cos 2 20t cos t i cos 20t 5 sen 20t cos t 1600 40 cos 2 20t 5 sen t j 1604 sen 20t 5 sen t cos t 40 cos 20t 5 sen 20t 760 cos 20t 5 sen t cos t k