Lista de G a

GEOMETRIA ANALÍTICA 1 Dados os vetores 𝑢 e 𝑣 abaixo construa os vetores a 𝑢 𝑣 b 𝑣 2𝑢 2 Dados os vetores 𝑢 e 𝑣 e 𝑤 de acordo com a figura abaixo construir o vetor 2𝑢 3𝑣 1 2 𝑤 𝑠 3 Represente graficamente os vetores a 𝑎 1 4 b 𝑏 1 4 c 𝑐 1 2 3 d 𝑑 1 3 2 4 Calcule e represente graficamente os seguintes vetores a 2𝑢 3𝑣 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 1 1 𝑒 𝑣 2 1 b 1 2 𝑣 𝑢 2𝑤 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 3 2 𝑣 1 4 𝑒 𝑤 0 5 5 Se 𝐴𝐵 5 8 e 𝐴 3 2 calcule o ponto 𝐵 6 Calcule o módulo dos vetores abaixo a 𝑎 0 4 b 𝑏 1 2 c 𝑐 12 2 d 𝑑 1 2 1 7 Dados 𝑢 3𝑖 𝑗 e 𝑣 6𝑖 e 𝑤 3𝑖 7𝑗 calcule o módulo dos vetores 𝑢 𝑣 e 𝑤 8 Sejam 𝑎 𝑖 2𝑗 3𝑘 e 𝑏 2𝑖 𝑗 2𝑘 Determine um versor dos vetores abaixo a 𝑎 𝑏 b 2𝑎 3𝑏 c 5𝑎 4𝑏 9 Dados os pontos 𝐴123 𝐵6 23 e 𝐶121 determinar o versor 𝑤 tal que 𝑤 3𝐵𝐴 2𝐵𝐶 10 Determine um vetor da mesma direção de 𝑣 2𝑖 𝑗 2𝑘 e que a Tenha módulo igual a 9 b Seja versor de 𝑣 c Tenha módulo igual a metade de 𝑣 11 Calcule o produto escalar 𝑢 𝑣 para a 𝑢 231 𝑒 𝑣 145 b 𝑢 12 3 𝑒 𝑣 201 c 𝑢 111 𝑒 𝑣 2 1 1 d 𝑢 134 𝑒 𝑣 111 12 Determine o ângulo entre o vetor 𝑢 11 𝑒 𝑣 10 13 Sendo 𝑎 2 11 𝑏 1 2 2 𝑒 𝑐 11 1 Calcule um vetor 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 tal que 𝑣 𝑎 4 𝑣 𝑏 9 𝑣 𝑐 5 14 Calcule o produto vetorial 𝑢 𝑣 para a 𝑢 543 𝑒 𝑣 101 b 𝑢 312 𝑒 𝑣 225 c 𝑢 1 11 𝑒 𝑣 2 34 d 𝑢 1 2 2 𝑒 𝑣 20 1 e 𝑢 21 1 𝑒 𝑣 1 13 1 GEOMETRIA ANALÍTICA Gabriel Rodrigues de Oliveira Alves 118739 Questão 1 Sejam os vetores a O vetor 𝑢 𝑣 é dado por b O vetor 𝑣 2𝑢 é dado por Questão 2 Sejam os vetores 2 O vetor 𝑠 2𝑢 3𝑣 1 2 𝑤 é dado por Questão 3 a Seja o vetor 𝑎 14 sua representação gráfica é dada por b Seja o vetor 𝑏 14 sua representação gráfica é dada por 3 c Seja o vetor 𝑐 123 sua representação gráfica é dada por d Seja o vetor 𝑑 132 sua representação gráfica é dada por Questão 4 a Sejam os vetores 𝑢 1 1 e 𝑣 21 4 A representação gráfica do vetor 2𝑢 3𝑣 é dada por b Sejam os vetores 𝑢 32 𝑣 14 e 𝑤 05 A representação gráfica do vetor 1 2 𝑣 𝑢 2𝑤 é dada por 5 Questão 5 Sejam os pontos 𝐴 32 e 𝐵 𝑥 𝑦 Se 𝐴𝐵 58 então devemos ter 𝐴𝐵 58 𝐵 𝐴 58 𝑥 𝑦 32 58 𝑥 3 𝑦 2 58 𝑥 3 5 𝑦 2 8 𝑥 8 𝑦 10 Portanto o ponto é 𝐵 810 Questão 6 a Seja os vetor 𝑎 0 4 O módulo do vetor 𝑎 é dado por 𝑎 02 42 0 16 16 4 b Seja o vetor 𝑏 1 2 O módulo do vetor 𝑏 é dado por 𝑏 12 22 1 4 5 c Seja o vetor 𝑐 12 2 O módulo do vetor 𝑐 é dado por 𝑐 12 22 22 1 4 4 9 3 d Seja o vetor 6 𝑑 1 21 O módulo do vetor 𝑑 é dado por 𝑑 12 22 12 1 4 1 6 Questão 7 Sejam os vetores 𝑢 3𝑖 𝑗 31 𝑣 6𝑖 60 e 𝑤 3𝑖 7𝑗 37 Os módulos dos vetores 𝑢 𝑣 e 𝑤 são dados por 𝑢 32 12 9 1 10 𝑣 62 02 36 0 36 𝑤 32 72 9 49 58 Questão 8 Sejam os vetores 𝑎 𝑖 2𝑗 3𝑘 123 e 𝑏 2𝑖 𝑗 2𝑘 212 a O vetor 𝑎 𝑏 é dado por 𝑎 𝑏 12 3 21 2 1 22 1 3 2 33 5 O módulo do vetor 𝑎 𝑏 é dado por 𝑎 𝑏 32 32 52 9 9 25 43 Logo o versor do vetor 𝑎 𝑏 é dado por 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 33 5 43 3 43 3 43 5 43 343 43 343 43 543 43 b O vetor 2𝑎 3𝑏 é dado por 2𝑎 3𝑏 2123 3212 246 636 2 64 3 6 6 410 7 O módulo do vetor 2𝑎 3𝑏 é dado por 2𝑎 3𝑏 42 12 02 16 1 0 17 Logo o versor do vetor 2𝑎 3𝑏 é dado por 2𝑎 3𝑏 2𝑎 3𝑏 410 17 4 17 1 17 0 417 17 17 17 0 c O vetor 𝑎 𝑏 é dado por 5𝑎 4𝑏 512 3 4212 51015 848 5 810 4 15 8 131423 O módulo do vetor 5𝑎 4𝑏 é dado por 5𝑎 4𝑏 132 142 232 169 196 529 894 Logo o versor do vetor 5𝑎 4𝑏 é dado por 5𝑎 4𝑏 5𝑎 4𝑏 1314 23 894 13 894 14 894 23 894 13894 894 14894 894 23894 894 Questão 9 Sejam os pontos 𝐴123 𝐵623 e 𝐶121 Os vetores 𝐵𝐴 e 𝐵𝐶 são dados por 𝐵𝐴 𝐴 𝐵 123 623 1 62 23 3 740 𝐵𝐶 𝐶 𝐵 121 623 1 62 21 3 742 Logo o vetor 𝑤 é dado por 𝑤 3𝐵𝐴 2𝐵𝐶 3740 2742 21120 1484 21 1412 80 4 744 8 O módulo do vetor 𝑤 é dado por 𝑤 72 42 42 49 16 16 81 9 O versor do vetor 𝑤 é dado por 𝑤 𝑤 𝑤 744 9 7 9 4 9 4 9 Questão 10 Seja o vetor 𝑣 2𝑖 𝑗 2𝑘 212 a Seja um vetor 𝑤 𝑛𝑣 com 𝑛 ℝ Se 𝑤 9 então devemos ter 𝑤 9 𝑛𝑣 9 𝑛212 9 2𝑛𝑛 2𝑛 9 2𝑛2 𝑛2 2𝑛2 9 4𝑛2 𝑛2 4𝑛2 9 9𝑛2 9 9𝑛2 81 𝑛2 9 𝑛 3 Logo um vetor de mesma direção que 𝑣 e módulo 9 é dado por 𝑤 3𝑣 3212 6 36 b O módulo do vetor 𝑣 é dado por 𝑣 22 12 22 4 1 4 9 3 O versor do vetor 𝑣 é dado por 𝑣 𝑣 𝑣 212 3 2 3 1 3 2 3 c Seja um vetor 𝑤 𝑛𝑣 com 𝑛 ℝ Se 𝑤 𝑣 2 3 2 então devemos ter 𝑤 3 2 𝑛𝑣 3 2 𝑛212 3 2 2𝑛𝑛 2𝑛 3 2 2𝑛2 𝑛2 2𝑛2 3 2 4𝑛2 𝑛2 4𝑛2 3 2 9𝑛2 3 2 9𝑛2 9 4 9 𝑛2 1 4 𝑛 1 2 Logo um vetor de mesma direção que 𝑣 e módulo 3 2 é dado por 𝑤 1 2𝑣 1 2 212 1 1 2 1 Questão 11 a Sejam os vetores 𝑢 231 e 𝑣 145 O produto escalar entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 231 145 2 1 3 4 1 5 2 12 5 19 b Sejam os vetores 𝑢 12 3 e 𝑣 201 O produto escalar entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 123 201 1 2 2 0 3 1 2 3 1 c Sejam os vetores 𝑢 111 e 𝑣 2 11 O produto escalar entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 111 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 4 d Sejam os vetores 𝑢 134 e 𝑣 111 O produto escalar entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 134 111 1 1 3 1 4 1 1 3 4 8 Questão 12 Sejam os vetores 𝑢 11 e 𝑣 10 10 O ângulo 𝜃 entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é tal que cos𝜃 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos𝜃 11 10 12 12 12 02 cos𝜃 1 1 1 0 1 1 1 cos𝜃 1 2 1 cos𝜃 1 2 𝜃 arccos 1 2 𝜃 45 Portanto o ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é de 45 Questão 13 Sejam os vetores 𝑎 211 𝑏 1 2 2 e 𝑐 111 Dado o vetor 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 temos que 𝑣 𝑎 4 𝑥 𝑦 𝑧 2 11 4 2𝑥 𝑦 𝑧 4 𝑣 𝑏 9 𝑥 𝑦 𝑧 1 2 2 9 𝑥 2𝑦 2𝑧 9 𝑣 𝑐 5 𝑥𝑦 𝑧 111 5 𝑥 𝑦 𝑧 5 Desse modo obtemos o sistema 2𝑥 𝑦 𝑧 4 𝑥 2𝑦 2𝑧 9 𝑥 𝑦 𝑧 5 Somando a primeira equação com a terceira obtemos 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 4 5 3𝑥 9 𝑥 3 Somando o dobro da terceira equação com a segunda obtemos 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 2𝑧 25 9 2𝑥 2𝑦 2𝑧 𝑥 2𝑦 2𝑧 10 9 3𝑥 4𝑧 1 Substituindo o valor de 𝑥 encontrado obtemos 11 33 4𝑧 1 9 4𝑧 1 4𝑧 8 𝑧 2 Substituindo os valores de 𝑥 e 𝑧 encontrados na primeira equação obtemos 23 𝑦 2 4 6 𝑦 2 4 𝑦 4 𝑦 4 Portanto o vetor dado por 𝑣 342 Questão 14 a Sejam os vetores 𝑢 543 e 𝑣 101 O produto vetorial entre os vetores 𝑢 e 𝑣 dado por 𝑢 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 5 4 3 1 0 1 4 0𝑖 3 5𝑗 0 4𝑘 4𝑖 2𝑗 4𝑘 42 4 b Sejam os vetores 𝑢 312 e 𝑣 225 O produto vetorial entre os vetores 𝑢 e 𝑣 dado por 𝑢 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 3 1 2 2 2 5 5 4𝑖 4 15𝑗 6 2𝑘 𝑖 19𝑗 8𝑘 1198 c Sejam os vetores 𝑢 111 e 𝑣 234 O produto vetorial entre os vetores 𝑢 e 𝑣 dado por 𝑢 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 1 1 1 2 3 4 12 4 3𝑖 2 4𝑗 3 2𝑘 𝑖 2𝑗 𝑘 12 1 d Sejam os vetores 𝑢 12 2 e 𝑣 20 1 O produto vetorial entre os vetores 𝑢 e 𝑣 dado por 𝑢 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 1 2 2 2 0 1 2 0𝑖 4 1𝑗 0 4𝑘 2𝑖 3𝑗 4𝑘 234 e Sejam os vetores 𝑢 211 e 𝑣 113 O produto vetorial entre os vetores 𝑢 e 𝑣 dado por 𝑢 𝑣 𝑖 𝑗 𝑘 2 1 1 1 1 3 3 1𝑖 1 6𝑗 2 1𝑘 2𝑖 7𝑗 3𝑘 27 3 Geometria Analítica Gabriel Rodrigues de Oliveira Alves 118739 Questão 1 Sejam os vetores 𝑢 𝑣 a O vetor 𝑢 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 b O vetor 𝑣 2 𝑢 é dado por 𝑢 𝑣 𝑣 2 𝑢 𝑣 2 𝑢 Questão 2 Sejam os vetores 𝑢 𝑣 𝑤 O vetor 𝑠 2 𝑢 3 𝑣 1 2 𝑤 é dado por 𝑣 𝑤 2 𝑢 𝑢 3 𝑣 1 2 𝑤 𝑠 Questão 3 a Seja o vetor 𝑎 1 4 sua representação gráfica é dada por 𝑥 𝑦 1 4 𝑎 b Seja o vetor 𝑏 1 4 sua representação gráfica é dada por 𝑥 𝑦 1 4 𝑏 c Seja o vetor 𝑐 1 2 3 sua representação gráfica é dada por 𝑥 𝑦 𝑧 1 2 3 𝑐 d Seja o vetor 𝑑 1 3 2 sua representação gráfica é dada por 𝑥 𝑦 𝑧 1 3 2 𝑑 Questão 4 a Sejam os vetores 𝑢 1 1 e 𝑣 2 1 A representação gráfica do vetor 2 𝑢 3 𝑣 é dada por 𝑥 𝑦 𝑣 2 𝑢 𝑢 3 𝑣 2 𝑢 3 𝑣 b Sejam os vetores 𝑢 3 2 𝑣 1 4 e 𝑤 0 5 A representação gráfica do vetor 1 2 𝑣 𝑢 2 𝑤 é dada por 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 𝑤 1 2 𝑣 1 2 𝑣 𝑢 2 𝑤 1 2 𝑣 𝑢 2 𝑤 Questão 5 Sejam os pontos 𝐴 3 2 e 𝐵 𝑥 𝑦 Se 𝐴𝐵 5 8 então devemos ter 𝐴𝐵 5 8 𝐵 𝐴 5 8 𝑥 𝑦 3 2 5 8 𝑥 3 𝑦 2 5 8 𝑥 3 5 𝑦 2 8 𝑥 8 𝑦 10 Portanto o ponto é 𝐵 8 10 Questão 6 a Seja os vetor a 0 4 O módulo do vetor a é dado por a0²4²016164 b Seja o vetor b 1 2 O módulo do vetor b é dado por b1²2²145 c Seja o vetor c 122 O módulo do vetor c é dado por c1²2²2²14493 d Seja o vetor d 121 O módulo do vetor d é dado por d1²2²1²1416 Questão 7 Sejam os vetores 𝑢 3 𝑖 𝑗 3 1 𝑣 6 𝑖 6 0 e 𝑤 3 𝑖 7 𝑗 3 7 Os módulos dos vetores 𝑢 𝑣 e 𝑤 são dados por 𝑢 32 12 9 1 10 𝑣 62 02 36 0 36 𝑤 32 72 9 49 58 Questão 8 Sejam os vetores a i 2j 3k 123 e b 2i j 2k 212 a O vetor a b é dado por a b 123 212 12 21 32 335 O módulo do vetor a b é dado por a b 3² 3² 5² 9 9 25 43 Logo o versor do vetor a b é dado por a ba b 33543 343 343 543 34343 34343 54343 b O vetor 2a 3b é dado por 2a 3b 2123 3212 246 636 26 43 66 410 O módulo do vetor 2a 3b é dado por 2a 3b 4² 1² 0² 16 1 0 17 Logo o versor do vetor 2a 3b é dado por 2a 3b2a 3b 41017 417 117 0 41717 1717 0 c O vetor 5a 4b é dado por 5a 4b 5123 4212 51015 848 58 104 158 131423 O módulo do vetor 5a 4b é dado por 5a 4b 13² 14² 23² 169 196 529 894 Logo o versor do vetor 5a 4b é dado por 5a 4b5a 4b 131423894 13894 14894 23894 13894894 14894894 23894894 Questão 9 Sejam os pontos A1 2 3 B6 2 3 e C1 2 1 Os vetores BA e BC são dados por BA A B 1 2 3 6 2 3 16 22 33 7 4 0 BC C B 1 2 1 6 2 3 16 22 13 7 4 2 Logo o vetor w é dado por w 3BA 2BC 37 4 0 27 4 2 21 12 0 14 8 4 2114 128 04 7 4 4 O módulo do vetor w é dado por w 7² 4² 4² 49 16 16 81 9 O versor do vetor w é dado por w ww 7 4 49 79 49 49 Questão 10 Seja o vetor vetor 2 i j 2 k 2 1 2 a Seja um vetor w n vetor com n IR Se w 9 então devemos ter w 9 n vetor 9 n2 1 2 9 2n n 2n 9 2n² n² 2n² 9 4n² n² 4n² 9 9n² 9 9n² 81 n² 9 n 3 Logo um vetor de mesma direção que vetor e módulo 9 é dado por w 3 vetor 32 1 2 6 3 6 b O módulo do vetor vetor é dado por vetor 2² 1² 2² 4 1 4 9 3 O versor do vetor vetor é dado por ˆv vetor vetor 2 1 2 3 23 13 23 c Seja um vetor w n vetor com n IR Se w vetor 2 32 então devemos ter w 32 n vetor 32 n2 1 2 32 2n n 2n 32 2n² n² 2n² 32 4n² n² 4n² 32 9n² 32 9n² 94 n² 14 n 12 Logo um vetor de mesma direção que vetor e módulo 32 é dado por w 12 vetor 12 2 1 2 1 12 1 Questão 11 a Sejam os vetores 𝑢 2 3 1 e 𝑣 1 4 5 O produto escalar entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 2 3 1 1 4 5 2 1 3 4 1 5 2 12 5 19 b Sejam os vetores 𝑢 1 2 3 e 𝑣 2 0 1 O produto escalar entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 1 2 3 2 0 1 1 2 2 0 3 1 2 3 1 c Sejam os vetores 𝑢 1 1 1 e 𝑣 2 1 1 O produto escalar entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 4 d Sejam os vetores 𝑢 1 3 4 e 𝑣 1 1 1 O produto escalar entre os vetores 𝑢 e 𝑣 é dado por 𝑢 𝑣 1 3 4 1 1 1 1 1 3 1 4 1 1 3 4 8 Questão 12 Sejam os vetores u 1 1 e vetor 1 0 O ângulo θ entre os vetores u e vetor é tal que cosθ u vetor u vetor cosθ 1 1 1 0 1² 1² 1² 0² cosθ 11 10 1 1 1 cosθ 1 2 1 cosθ 12 θ arccos 12 θ 45 Portanto o ângulo entre os vetores u e vetor é de 45 Questão 13 Sejam os vetores 𝑎 2 1 1 𝑏 1 2 2 e 𝑐 1 1 1 Dado o vetor 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 temos que 𝑣 𝑎 4 𝑥 𝑦 𝑧 2 1 1 4 2𝑥 𝑦 𝑧 4 𝑣 𝑏 9 𝑥 𝑦 𝑧 1 2 2 9 𝑥 2𝑦 2𝑧 9 𝑣 𝑐 5 𝑥 𝑦 𝑧 1 1 1 5 𝑥 𝑦 𝑧 5 Desse modo obtemos o sistema 2𝑥 𝑦 𝑧 4 𝑥 2𝑦 2𝑧 9 𝑥 𝑦 𝑧 5 Somando a primeira equação com a terceira obtemos 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 4 5 3𝑥 9 𝑥 3 Somando o dobro da terceira equação com a segunda obtemos 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 2𝑧 25 9 2𝑥 2𝑦 2𝑧 𝑥 2𝑦 2𝑧 10 9 3𝑥 4𝑧 1 Substituindo o valor de 𝑥 encontrado obtemos 33 4𝑧 1 9 4𝑧 1 4𝑧 8 𝑧 2 Substituindo os valores de 𝑥 e 𝑧 encontrados na primeira equação obtemos 23 𝑦 2 4 6 𝑦 2 4 𝑦 4 𝑦 4 Portanto o vetor dado por 𝑣 3 4 2 Questão 14 a Sejam os vetores u 5 4 3 e vetor 1 0 1 O produto vetorial entre os vetores u e vetor dado por u vetor i j k 5 4 3 1 0 1 4 0 i 3 5 j 0 4 k 4 i 2 j 4 k 4 2 4 b Sejam os vetores u 3 1 2 e vetor 2 2 5 O produto vetorial entre os vetores u e vetor dado por u vetor i j k 3 1 2 2 2 5 5 4 i 4 15 j 6 2 k i 19 j 8 k 1 19 8 c Sejam os vetores u 1 1 1 e vetor 2 3 4 O produto vetorial entre os vetores u e vetor dado por u vetor i j k 1 1 1 2 3 4 4 3 i 2 4 j 3 2 k i 2 j k 1 2 1 d Sejam os vetores u 1 2 2 e vetor 2 0 1 O produto vetorial entre os vetores u e vetor dado por u vetor i j k 1 2 2 2 0 1 2 0 i 4 1 j 0 4 k 2 i 3 j 4 k 2 3 4 e Sejam os vetores u 2 1 1 e vetor 1 1 3 O produto vetorial entre os vetores u e vetor dado por u vetor i j k 2 1 1 1 1 3 3 1 i 1 6 j 2 1 k 2 i 7 j 3 k 2 7 3 GEOMETRIA ANALÍTICA Gabriel Rodrigues de Oliveira Alves 118739 Questão 1 Sejam os vetores a O vetor uv é dado por b O vetor v2u é dado por Questão 2 Sejam os vetores 1 O vetor s2u3 v1 2 w é dado por Questão 3 a Seja o vetor a14 sua representação gráfica é dada por b Seja o vetor b14 sua representação gráfica é dada por 2 c Seja o vetor c123 sua representação gráfica é dada por d Seja o vetor d132 sua representação gráfica é dada por Questão 4 a Sejam os vetores u11ev21 3 A representação gráfica do vetor 2u3 v é dada por b Sejam os vetores u32 v14ew05 A representação gráfica do vetor 1 2 vu2w é dada por 4 Questão 5 Sejam os pontos A32 e Bx y Se AB5 8 então devemos ter AB5 8 BA58x y 3258x3 y258 x35 y28 x8 y10 Portanto o ponto é B810 Questão 6 a Seja os vetor a04 O módulo do vetor a é dado por a0 24 2016164 5 b Seja o vetor b12 O módulo do vetor b é dado por b1 22 2145 c Seja o vetor c122 O módulo do vetor c é dado por c1 22 22 214493 d Seja o vetor d121 O módulo do vetor d é dado por d1 22 21 21416 Questão 7 Sejam os vetores u3 ij31 v6 i60ew3 i7 j37 Os módulos dos vetores u v e w são dados por u3 21 29110 v6 20 236036 w3 27 294958 Questão 8 Sejam os vetores ai2 j3 k123eb2 ij2k212 6 a O vetor ab é dado por ab123 212122132335 O módulo do vetor ab é dado por ab3 23 25 2992543 Logo o versor do vetor ab é dado por ab ab 335 43 3 43 3 43 5 43 343 43 343 43 543 43 b O vetor 2a3b é dado por 2a3b2 1233 21224 6 636 264366410 O módulo do vetor 2a3b é dado por 2a3b4 21 20 2161017 Logo o versor do vetor 2a3b é dado por 2a3b 2a3b 410 17 4 17 1 17 0 417 17 17 17 0 c O vetor ab é dado por 5a4 b5 123 4 2125 1015848 581041581314 23 O módulo do vetor 5a4 b é dado por 5 a4 b13 214 223 2169196529894 Logo o versor do vetor 5a4 b é dado por 7 5 a4 b 5 a4 b 13 14 23 894 13 894 14 894 23 894 13894 894 14894 894 23894 894 Questão 9 Sejam os pontos A 123B 6 23eC 121 Os vetores BA e BC são dados por BAAB1236 23162233 74 0 BCCB12162316 2213 74 2 Logo o vetor w é dado por w3 BA2 BC3 7 402 74 22112014 84 2114 12804 7 44 O módulo do vetor w é dado por w7 24 24 2491616819 O versor do vetor w é dado por w w w 7 44 9 7 9 4 9 4 9 Questão 10 Seja o vetor v2 ij2k212 a Seja um vetor wn v com nR Se w9 então devemos ter w9n v9n 21292nn2n 9 2n 2n 22n 294n 2n 24n 299n 29 9n 281 n 29n3 8 Logo um vetor de mesma direção que v e módulo 9 é dado por w3 v3 212 636 b O módulo do vetor v é dado por v2 21 22 241493 O versor do vetor v é dado por v v v 212 3 2 3 1 3 2 3 c Seja um vetor wn v com nR Se wv 2 3 2 então devemos ter w3 2 n v3 2 n 2123 2 2nn2n 3 2 2n 2n 22n 23 2 4n 2n 24n 23 2 9n 23 2 9n 29 4 n 21 4 n 1 2 Logo um vetor de mesma direção que v e módulo 3 2 é dado por w1 2 v1 2 21211 2 1 Questão 11 a Sejam os vetores u231ev14 5 O produto escalar entre os vetores u e v é dado por uv231145213415212519 b Sejam os vetores 9 u123 e v201 O produto escalar entre os vetores u e v é dado por uv123 201122031231 c Sejam os vetores u111e v211 O produto escalar entre os vetores u e v é dado por uv11121112111 12114 d Sejam os vetores u134 ev111 O produto escalar entre os vetores u e v é dado por uv134 1111131411348 Questão 12 Sejam os vetores u11ev10 O ângulo θ entre os vetores u e v é tal que cos θ u v uvcos θ 1110 1 21 21 20 2 cos θ 111 0 111 cosθ 1 2 1 cos θ 1 2 θarccos 1 2θ45 Portanto o ângulo entre os vetores u e v é de 45 Questão 13 Sejam os vetores 10 a211 b122ec111 Dado o vetor vx y z temos que v a4x y z 21142 xyz4 v b9 x y z 1229 x2 y2 z9 v c5 x y z 1115 x yz5 Desse modo obtemos o sistema 2 xyz4 x2 y2 z9 x yz5 Somando a primeira equação com a terceira obtemos 2 xyz x yz 453 x9 x3 Somando o dobro da terceira equação com a segunda obtemos 2 x yz x2 y2 z 2 5 9 2 x2 y2z x2 y2z 1093 x4 z1 Substituindo o valor de x encontrado obtemos 3 34 z194 z14 z8 z2 Substituindo os valores de x e z encontrados na primeira equação obtemos 2 3y24 6 y24 y4 y4 Portanto o vetor dado por v342 Questão 14 a Sejam os vetores 11 u543ev101 O produto vetorial entre os vetores u e v dado por u v i j k 5 4 3 1 0 1 40 i35 j04 k4 i2 j4 k4 24 b Sejam os vetores u312ev225 O produto vetorial entre os vetores u e v dado por u v i j k 3 1 2 2 2 5 54 i415 j62 ki19 j8k1198 c Sejam os vetores u111e v234 O produto vetorial entre os vetores u e v dado por u v i j k 1 1 1 2 3 4 43 i24 j32 ki2 jk121 d Sejam os vetores u122e v20 1 O produto vetorial entre os vetores u e v dado por 12 u v i j k 1 2 2 2 0 1 20 i41 j04 k2 i3 j4k234 e Sejam os vetores u211e v113 O produto vetorial entre os vetores u e v dado por u v i j k 2 1 1 1 1 3 31 i16 j21 k2 i7 j3 k273 13