Prova de Geometria Analítica - Exercícios Resolvidos

PROVA DE GEOMETRIA ANALITICA CURSO PROFEng Ms Braulio Melo ALUNOA RA Boa Prova 1 Sabendo que o vetor a 2i j 2k vetor b j2k e vetor c2k Determine a Produto interno a b b Ângulo entre vetor a e b c Produto externo a x b d abxc 2 Dados os pontos A25 e B34 Determine a equação geral e equação reduzida que passa pelos pontos 3 Considerando que a distância entre ponto Pk 4 e a reta r de equação 6x 8y 80 0 é igual a 6 unidades calcule o valor da coordenada k 4 Determine a equação geral da reta t que passa pelo ponto P2 3 e é paralela à reta r de equação 8x 2y 9 0 5 Determine a equação geral da reta s que passa pelo ponto P2 3 e é perpendicular à reta r de equação 8x 2y 9 0 6 Quais são o centro e o raio da circunferência de equação x² y² 2x 2 y 1 Questão 1 Seja ω 2i j 2k b j 2k c 2k Determine a Produto interno ωb Solução Temos ω 2 1 2 e b 0 1 2 Então ω b 2 1 2 0 1 2 20 11 22 0 1 4 3 Portanto ω b 3 b Ângulo entre os vetores ω e b Solução O ângulo entre os vetores ω e b é dado por cos θ ω b ω b Temos portanto ω b 3 ω 2 1 2 2² 1² 2² 4 1 4 9 3 b 0 1 2 0² 1² 2² 0 1 4 5 Logo cos θ ω b ω b cos θ 3 35 1 5 Daí θ arccoseno 1 5 θ 11656505 c Produto externo ω x b Solução Temos ω x b i j k 2 1 2 0 1 2 i 2 2 j 4 0 k 2 0 4 i 4 j 2 k Portanto ω x b 4 4 2 d ω b x c Solução Temos ω b x c 2 1 2 0 1 2 0 0 2 2 2 0 1 0 0 20 0 4 Portanto o bxc 4 Questão 2 Dados os pontos A 2 5 B 3 4 Determine a equação geral e equação reduzida que passa pelos pontos Solução Sejam A2 5 B 3 4 e Pxy um ponto qualquer temos 2 5 1 0 3 4 1 x y 1 2 4 y 5 3 x 1 3y 4x 0 8 2y 15 5x 3y 4x 0 9x y 23 0 Logo a equação geral da reta é dada por 9x y 23 0 Agora determinamos a equação reduzida da reta Lembrando a equação reduzida é do formo y mx n Onde x e y são respectivamente a variável independente e a variável dependente m coeficiente angular e n é o coeficiente linear Temos m 4 5 4 5 9 3 2 1 Então como y mx n Consideramos o ponto B 3 4 temos 4 93 n 4 27 n n 4 27 n 23 Logo y 9x 23 é a equação reduzida da reta Portanto Equação geral da reta 9x y 23 0 Equação reduzida da reta y 9x 23 Questão 3 Considerando que a distância entre ponto Px4 e a reta r 6x 8y 80 0 é igual a 6 unidades Calcule o valor da coordenada k Solução A distância entre o ponto P e a reta r é dada por dpr a x0 b y0 c sqrta2 b2 onde a b c são os coeficientes da equação da reta e x0 y0 são coordenadas do ponto p Temos a 6 b 8 c 80 x0 k y0 4 Logo dpr 6k 84 80 sqrt62 82 6k 32 80 sqrt36 64 6k 112 sqrt100 6k 112 10 Por outro lado dpr 6 Logo 6 6k 112 10 60 6k 112 60 6k 112 6k 112 60 k 172 6 86 3 Portanto k 86 3 Questão 4 Determine a equação da reta t que passa pelo ponto P23 e é paralela a reta r 8x 2y 9 0 Solução Para determinar a equação da reta basta conhecermos um ponto dessa reta e seu coeficiente angular Temos o ponto P23 da reta procurada resta encontrar o seu coeficiente angular Como t é paralela a r então possuem mesmo coeficiente angular Logo 8x 2y 9 0 2y 8x 9 2y 8x 9 y 8x 92 y 4x 92 Portanto o coeficiente angular é m 4 Utilizaremos a fórmula y y0 m x x0 para determinar a equação de reta t onde x0 y0 são coordenadas do ponto P 23 y 3 4 x 2 y 3 4x 8 4x 8 y 3 0 4x y 5 0 Portanto a equação geral da reta t é 4x y 5 0 Questão 5 Equação geral da reta s que passa pelo ponto P 23 e é perpendicular a reta r 8x dy 9 0 Solução Pela questão 4 vimos que o coeficiente angular da reta r é mr 4 Como a reta s é perpendicular a reta r segue mrms 1 4ms 1 ms 14 onde ms é o coeficiente angular da reta s Pelo equação geral da reta y y0 ms x x0 onde x0 2 y0 3 Temos y 3 14 x 2 y 3 14 x 24 14 x 12 y 3 0 14 x y 72 0 Portanto a equação geral da reta s é 14 x y 72 0 Questão 6 Quais são o centro e o raio da circunferência de equação x² y² 2x 2y 1 Solução Vamos encontrar a forma reduzida Temos x² y² 2x 2y 1 0 x² 2x y² 2y 1 0 completando quadrados x² 12x 1 1 y² 12y 1 1 1 0 x² 2x 1 y² 2y 1 1 1 1 0 x 1² y 1² 3 0 x 1² y 1² 3 Logo o centro é C 1 1 e o raio r² 3 r 3 Portanto centro é C 1 1 e raio r 3