Conceitos Básicos de Matemática Financeira

1 CONCEITOS BÁSICOS FLUXO DE CAIXA Conjunto de entradas e saídas de dinheiro caixa ao longo do tempo Podemos ter fluxo de caixa de empresas de investimentos de projetos de operações financeiras de acordos judiciais etc Entrada s 4 5 6 8 Saídas 2 5 6 5 JUROS Remuneração do capital a qualquer título empregado em atividades produtivas capital de terceiros remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo ano semestre trimestre mês dia Exemplos 12 ao ano 12 aa 10 ao mês 10 am 00065 ao dia 00065 ad VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO Do ponto de vista da matemática financeira R 100000 hoje não são iguais a R 100000 em qualquer outra data pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos devido à taxa de juros por período Assim podemos afirmar que dado uma taxa de juros de 10 aa é indiferente termos R 100000 hoje ou R 110000 daqui um ano R 100000 hoje somente será igual a R 100000 daqui um ano na hipótese irreal da taxa de juros ser considerada igual a zero OBJETIVOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 A transformação e o manuseio de fluxos de caixa com a aplicação das taxas de juros de cada período para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo 2 a obtenção de taxa interna de juros que está implícita no fluxo de caixa 3 A análise e a comparação de diversas alternativas de fluxo de caixa 2 SIMBOLOGIA ADOTADA n Número de períodos de capitalização de juros i Taxa de juros por período de capitalização expressa em percentagem e sempre mencionada a unidade de tempo considerada Atenção Para efetuar um cálculo o período expresso em n deve igual ao tempo considerado em i Exemplos n 12 meses i 10 am n 2 anos i 125 aa J Juros de um determinado período PV Valor Presente Present Value ou seja valor do capital inicial principal aplicado FV Valor Futuro Future Value ou seja valor do montante acumulado no final de n períodos de capitalização com a taxa de juros i PMT Valor de cada prestação da Série Uniforme Periodic PayMenT que ocorre no final de cada período Série Postecipada Todos os meses têm a mesma duração de 30 dias mês comercial Um ano tem 360 dias e 12 meses ano comercial Os valores monetários seja de PV FV ou PMT devem ser registrados na calculadora sempre de acordo com a convenção de sinal isto é as entradas de caixa recebimentos devem ser o sinal positivo e as saídas de caixa pagamentos devem ter o sinal negativo Para calcular um dos elementos acima não há a necessidade de incluir os dados conhecidos dos outros elementos Apenas o elemento que está sendo procurado é que deve ser teclado por último Exemplo Ao calcular o FV informe PV n i depois tecle FV Ao calcular o i informe PV FV n depois tecle i 3 JUROS SIMPLES Os juros de cada período são sempre calculados em função do capital inicial principal aplicado Os juros do período não são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes Os juros não são capitalizados e consequentemente não rendem juros Assim apenas o principal é que rende juros Principa l 10000 0 Juros 10 aa Período 5 anos Ano Principa l Juros Saldo 0 10000 0 100000 1 10000 110000 2 10000 120000 3 10000 130000 4 10000 140000 5 10000 150000 J PV i n J valor dos juros expresso em unidades monetárias C capital É o valor em representativo de determinado momento i taxa de juros expressa em sua forma unitária n prazo PV J i n i J PV n n J PV i FV PV J FV PV PV i n FV PV 1 i n PV FV 1 i n J FV PV Exercícios Propostos de Juros Simples 1 Um capital de R 4700000 é aplicado à taxa de 47 ab durante 150 dias Pedese determinar o valor do montante ao final deste período R 5252250 2 Um capital de R 5000000 foi aplicado num fundo de investimento por 13 meses e os juros se somaram no valor de R 6968000 Pedese apurar a taxa de juros oferecida por esta operação R 303 am 3 Uma aplicação de R 25000000 rendendo uma taxa de juros de 18 ao mês produz ao final de determinado período juros no valor de R 2700000 Calcular o prazo da aplicação R 6 meses 4 Uma pessoa aplica R 1800000 à taxa de 35 am durante 8 meses Determinar o valor acumulado ao final deste período R 2304000 5 Uma dívida de R 90000000 irá vencer em 4 meses O credor está oferecendo um desconto de 20 am para o devedor liquidar sua dívida hoje Calcular o valor que o devedor pagará pela antecipação de pagamento R R 83333333 6 Um empréstimo captado hoje no valor de R 10000000 será liquidado em 12 meses no montante de R 13600000 Qual é a taxa de juros simples deste empréstimo R 3am 7 João necessita de R 100000 para realizar a viagem dos sonhos sabendo que se ele depositar na poupança hoje o valor de R 5800000 com uma taxa de 2am quanto tempo ele deverá esperar para ter o valor que necessita para a viagem R 37 meses 8 Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 134 ab durante 7 meses Ao final deste período os juros somaram R 68000 Determinar o valor do empréstimo R 4628999 9 Uma pessoa aplica R 6000000 na poupança e deixa rendendo por 6 meses e resgata o valor de R 68000 no final do período Identifique a taxa de juros oferecida neste investimento R 222am 5 TAXA EQUIVALENTE DE JUROS SIMPLES Temos dois prazos 1 Prazo referente à taxa de juros 2 Prazo de capitalização ocorrência dos juros 20 am prazo mensal da taxa de juros 5 meses prazo de ocorrência dos juros 240 aa prazo anual da taxa de juros 3 anos prazo de ocorrência dos juros 200 aa prazo anual da taxa de juros 9 meses prazo de ocorrência dos juros 60 aa prazo anual da taxa de juros 1 mês prazo de ocorrência dos juros 15 am prazo mensal da taxa de juros 2 anos prazo de ocorrência dos juros 25 am prazo mensal da taxa de juros 3 anos prazo de ocorrência dos juros 200 aa 12 167 am 60 aa 12 05 am 15 am 12 180 aa 25 am 12 300 aa Exercícios Propostos de Taxas Equivalentes Juros Simples 1 Calcular a taxa anual equivalente a a 60 am ao mês 72 aa b 100 ab ao bimestre 60 aa c 13 am ao mês 156 aa d 005 ad ao dia 18 aa e 100 as ao semestre 20 aa f 30 at ao trimestre 12 aa 2 Calcular a taxa de juros mensal equivalente a a 600 aa ao ano 5 am b 90 at ao trimestre 3 am c 126 aa ao ano 105 am d 60 ab ao bimestre 3 am e 160 as ao semestre 266 am f 240 aq ao quadrimestre 6 am 3 A taxa de 360 aa é equivalente à taxa de 12 at Demonstre Não 48 aa 4 A taxa de 110 ab é equivalente à taxa de 660 aa Demonstre Sim 66 aa 5 A taxa de 60 aq é equivalente à taxa de 45 at Demonstre Sim 6 DESCONTOS DESCONTO COMERCIAL ou BANCÁRIO ou POR FORA As operações de desconto de duplicatas e promissórias sendo bastante comum no sistema financeiro possuem uma sistemática de cálculo bem caracterizada chamada de desconto comercial ou bancário Em certa venda uma empresa emitiu uma duplicata de R 500000 para vencimento dentro de dois meses Precisando de dinheiro a empresa levou a duplicata a um banco que lhe propôs adiantar um desconto à taxa de 20 am Dizemos neste caso que o banco propôs um desconto de R 20000 N Valor nominal valor de face n Prazo de vencimento do título d Taxa de desconto utilizada na operação em porcentagem por período D Desconto comercial ou bancário D N d n D 5000 2 2 D 5000 002 2 D 200 DESCONTO VERDADEIRO ou RACIONAL ou POR DENTRO Com outra duplica de R 500000 para vencimento também em dois meses a empresa foi a outro banco que lhe propôs adiantar o recurso com uma taxa de desconto de 20 am Neste banco o desconto foi de R 19231 D N d n 1 d n D 5000 2 2 1 2 2 D 5000 002 2 1 002 2 D 200 104 D 19231 Usando as fórmulas de juros simples PV FV 1 i n e J FV PV PV FV 1 i n PV 5000 1 2 2 PV 5000 1 002 2 PV 5000 104 PV 480769 J FV PV J 5000 480769 J 19231 Concluímos assim que o desconto verdadeiro racional ou por dentro é o cálculo de juros simples Exercícios Propostos de Descontos 1 Uma nota promissória de R 1800000 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento a uma taxa de desconto bancário de 25 am a Obtenha o desconto RR D 90000 b Obtenha o valor líquido recebido pela empresa 1710000 1710000 c Calcular a verdadeira efetiva taxa de juros da operação R 263 am 263 am d Calcular o valor do desconto pelo desconto verdadeiro ou por dentro R R 85714 D 85714 2 Uma nota promissória de R 1200000 foi descontado em um banco 42 dias antes do vencimento a uma taxa de desconto comercial de 20 am a Obtenha o desconto RR 336 D 33600 b Obtenha o valor líquido recebido pela empresa sabendo que o banco cobrou uma taxa administrativa de 05 do valor da nota promissória R R 11604 1160400 c Calcular a verdadeira efetiva taxa de juros da operação de seu período R 341 ao 341 ao período d Calcular o valor do desconto pelo desconto verdadeiro ou por dentro R R 32685 32685 e Obtenha o valor líquido recebido pela empresa pelo desconto verdadeiro sabendo que o banco cobrou uma taxa administrativa de 05 do valor da nota promissória R R 1161315 1161315 f Calcular a taxa efetiva de juros da operação R 333 ao período ou 238 am 333 ao período 3 Uma duplicata foi descontada em R 70000 pelos 120 dias de antecipação Se foi usada uma operação de desconto comercial simples com a utilização de uma taxa anual de desconto de 20 o valor atual do título era de N R 1050000 7 JUROS COMPOSTOS Ao contrário do regime de juros simples o regime de juros compostos segue o príncípio natural de que os juros formados a cada período também rendem juros nos períodos seguintes Principa l 10000 0 Juros 10 aa Ano Principa l Juros Saldo 0 10000 0 100000 1 10000 110000 2 11000 121000 3 12100 133100 4 13310 146410 5 14641 161051 Uma pessoa investe na poupança o valor de R 100000 e deixa rendendo por 5 anos Sabendo que o banco paga 10 aa qual será o valor de resgate deste investimento n FV PV 1 i J FV PV n PV FV 1 i FV Valor futuro PV Valor presente i taxa de juros n período J Juros PV 100000 i 10 aa 010 n 5 anos FV n FV PV 1 i 5 FV 1000 1 10 5 FV 1000 1 010 5 FV 1000 110 FV 1000 16105 FV 161051 10000 0 i 10 aa n 5 anos 1000 CHS PV 10 i 5 n FV Resposta 161051 16105 1 i 10 aa n 5 anos 161051 FV 10 i 5 n Exercícios Propostos Juros Compostos FV PV1in PV FV1in 1 Um capital de R 8000000 é aplicado à taxa de 25 am durante 3 meses Pedese determinar o valor futuro neste período 8615125 615125 2 Um negociante tomou um empréstimo de R 10000000 pagando uma taxa de juros compostos de 60 am durante nove meses Determinar o valor a ser pago deste empréstimoR R 16894790 3 Um capital de R 4000000 foi aplicado num fundo de investimento por 11 meses à taxa de 15 am Calcular o valor do resgate R 4711796 4 Uma aplicação de R 25000000 rendendo uma taxa de juros de 18 ao mês durante 24 meses Calcular o valor final da aplicação R R 38360714 5 Calcular o valor aplicado de um resgate total de R 15000000 durante 5 meses à taxa de 25 am R R 13257814 6 Calcular o valor aplicado de um resgate total de R 25000000 durante 25 meses à taxa de 10 am R R 19494211 7 Determine o valor do empréstimo tomado sendo que o mesmo foi pago no final R 12000000 a uma taxa de 1 am durante 12 meses R R 10649391 8 Determine o valor do principal referente ao empréstimo captado em janeiro09 e devidamente liquidado em abril09 no montante de R 22500000 à taxa de 30 am R R 20590687 9Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira a juros compostos de 2 a mês de forma que possa retirar de R 1000000 no final do sexto mês e R 2000000 no final do décimo segundo mês Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados R 2464958