Modelos de Otimização em Pesquisa Operacional

Análise de Problemas Modelos de otimização Lineares nãolineares discretos e mistos Apresentação Seja bemvindo De modo geral a pesquisa operacional PO é a aplicação de métodos científicos a problemas complexos para auxiliar no processo de tomada de decisões como projetar planejar e operar sistemas em situações que requerem alocações eficientes de recursos escassos A PO é um ramo interdisciplinar da matemática aplicada que faz uso de modelos matemáticos estatísticos e de algoritmos na ajuda à tomada de decisão A pesquisa operacional é uma ciência voltada para a solução de problemas reais tendo como foco a tomada de decisões aplicação de conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção planejamento ou operação de sistemas Nesta Unidade de Aprendizagem serão apresentados alguns dos diferentes modelos de PO e suas aplicações Assim você verá que se trata de uma maneira de as empresas identificarem soluções para problemas complexos com ajuda de fórmulas e cálculos que otimizam resultados e aumentam o desempenho corporativo Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Comparar modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos Construir modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos Apontar modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos Desafio Você é o engenheiro de produção responsável de uma fábrica de chocolates No dia a dia sua profissão o obriga a tomar importantes decisões que são determinantes na otimização da produção Veja um exemplo Com relação a esse caso você deverá resolver o problema de otimização linear apresentando as variáveis a função objetivo as restrições e a modelagem Infográfico No âmbito da Engenharia de Produção a pesquisa operacional tem sido aplicada principalmente nas atividades de produção e logística cadeias de suprimentos Problemas de planejamento programação e controle da produção em geral envolvem ambientes complexos e incertos com dúvidas nas demandas de produto dos clientes restrições de capacidade dos processos de fabricação necessidades de matériasprimas e estoques intermediários limitações de disponibilidade de recursos como mão de obra e capital entre outros Cada modelo de otimização apresenta aplicações específicas Confira no Infográfico a seguir algumas dessas aplicações Conteúdo do livro Existem diferentes modelos de otimização Dentre eles a programação linear se destaca por ser um modelo matemático desenvolvido para resolver determinados tipos de problema em que as relações entre as variáveis relevantes possam ser expressas por equações e inequações lineares Porém os modelos de otimização vêm ganhando cada vez mais espaço não somente na área de engenharia de produção mas também em áreas como planejamento urbano controle de poluição ambiental planejamento de serviços entre outras Para saber mais a respeito dos métodos de otimização confira o capítulo Análises de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos do livro Modelagem e otimização de sistema da produção base teórica desta Unidade de Aprendizagem Boa leitura MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO DE SISTEMA DA PRODUÇÃO Ronei Stein Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Comparar modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos Construir modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos Apontar aplicações práticas de modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos Introdução De modo geral a pesquisa operacional PO é a aplicação de métodos científicos a problemas complexos para auxiliar no processo de tomada de decisões como projetar planejar e operar sistemas em situações que demandem alocações eficientes de recursos escassos A PO é um ramo interdisciplinar da matemática aplicada que faz uso de modelos matemáticos estatísticos e de algoritmos na ajuda à tomada de decisão A PO é uma ciência voltada para a solução de problemas reais com foco na tomada de decisões e na aplicação de conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção no planejamento ou na operação de sistemas Neste capítulo você vai estudar diferentes modelos de PO e suas aplicações U N I D A D E 2 C03ModelagemeOtimizacaoindd 1 20042018 164232 Modelos de otimização Antes de começarmos a tratar dos principais modelos de otimização é ne cessário entender o conceito de otimização A otimização de acordo com Neumann 2015 referese ao estudo de problemas em que se busca minimizar ou maximizar uma função por meio da escolha sistemática dos valores de vari áveis reais ou inteiras dentro de um conjunto viável A otimização referese a maximização de parâmetros tais como lucro vendas uso efetivo de uma área nível de produção e uso de determinado recurso minimização de parâmetros tais como custos de produção uso de um de um determinado recurso de alto valor monetário e emprego de mão de obra A área que estuda problemas de otimização é classicamente chamada de programação matemática Para isso os modelos de programação matemática ou otimização matemática têm um papel destacado na PO De acordo com Batalha 2008 para um determinado problema um modelo de programação matemática representa alternativas ou escolhas desse problema como variáveis de decisão e procura por valores dessas variáveis de decisão que minimizam ou maximizam funções dessas variáveis as quais são chamadas de funções objetivas sujeitas a restrições sobre os possíveis valores dessas variáveis de decisão A investigação operacional IO também conhecida como pesquisa operacional PO é um ramo interdisciplinar da matemática aplicada que faz uso de modelos matemáticos estatísticos e de algoritmos na ajuda à tomada de decisão Essa técnica é usada sobretudo para analisar sistemas complexos do mundo real tipicamente com o objetivo de melhorar ou otimizar a perfor mance Batalha 2008 menciona que para resolver os modelos de PO existem diversas técnicas e métodos disponíveis na literatura de PO A PO não é uma ciência em si mas sim a aplicação da ciência à solução de problemas gerenciais e administrativos Ela centrase no desempenho de sistemas organizados como um todo em vez de suas partes tomadas separadamente Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos 2 C03ModelagemeOtimizacaoindd 2 20042018 164233 Principais modelos de otimização Vários tipos de modelos são usados por analistas de PO sendo que os principais modelos são apresentados a seguir Otimização linear ou programação linear PL Consiste em métodos para resolver problemas de otimização de uma função objetivo linear sujeita a restrições desigualdades também lineares Ou seja é um modelo matemático desenvolvido para resolver determinados tipos de problemas em que as relações entre as variáveis relevantes possam ser expressas por equações e inequações lineares Dada a relativa abundância de problemas com essas características em muitas áreas profi ssionais prin cipalmente na engenharia de produção não é de espantar que a PL tenha se tornado no mais popular modelo de ciência da gerência MOREIRA 2008 Em um programa linear a otimização poderá ser maximização ou minimi zação da funçãoobjetivo e as restrições podem ser do tipo ou De acordo com Corrar e Theóphilo 2004 as variáveis reais podem ser não negativas eou assumir qualquer valor real Uma função é considerada linear quando todas as suas variáveis têm relações proporcionais entre si Por isso sua representação gráfica é uma linha reta A função y 2x em que x pode assumir os valores de 0 a 10 é um exemplo de função linear Na Figura 1 é possível observar que todos os valores assumidos pela função podem ser ligados por uma única linha reta Figura 1 Gráfico da função y 2x Fonte Mineiro 2007 p 46 3 Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos C03ModelagemeOtimizacaoindd 3 20042018 164233 Um problema de PL é composto por uma função linear formada com as variáveis de decisão chamada de funçãoobjetivo cujo valor deve ser otimizado relações de interdependência entre as variáveis de decisão que se expressam por um conjunto de equações ou inequações lineares chamadas de restrições do modelo variáveis de decisão que devem ser positivas ou nulas Otimização não linear ou programação não linear Esses modelos também têm sido utilizados em diversos problemas de En genharia de Produção embora com menor frequência do que os modelos de programação linear discreta e mista BATALHA 2008 Em matemática programação não linear é o processo de resolução de um PO defi nido por um sistema de equações e desigualdades coletivamente denominadas restrições por meio de um conjunto de desconhecido variáveis reais juntamente com uma funçãoobjetivo a ser maximizada ou minimizada em que algumas das restrições ou a funçãoobjetivo são não lineares Os problemas que se encaixam em programação não linear têm por finali dade resolver problemas que envolvem funções constituídas de variáveis que compartilham relações desproporcionais entre si não linearidade Assim utilizamse os mesmos conceitos otimização função objetivo variáveis de decisão e restrições embora os procedimentos matemáticos empregados na solução dos problemas de natureza não linear sejam diferentes MINEIRO 2007 Uma função é considerada não linear quando uma ou mais de suas variáveis têm relações desproporcionais entre si Dessa forma não é possível interligar todos os pontos com uma reta A função y x2 em que x pode assumir os valores de 0 a 10 é um exemplo de função não linear Na Figura 2 é eviden ciada a representação gráfica Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos 4 C03ModelagemeOtimizacaoindd 4 20042018 164233 Figura 2 Gráfico da função y 2x2 Fonte Mineiro 2007 p 48 Otimização discreta ou programação linear inteira Um modelo de PL no qual algumas ou todas as variáveis do problema per tencem ao conjunto dos números inteiros Um problema de PL inteira pode apresentar as seguintes situações 1 todas as varáveis de decisões são inteiras são problemas denominados problemas de programação linear inteira pura PLIP 2 parte das varáveis de decisões são inteiras são problemas denominados problemas de programação linear inteira mista PLIM 3 todas as varáveis de decisões são binárias são problemas denominados problemas de programação linear inteira binária PLIB 4 parte das varáveis de decisões são binárias são problemas denominados problemas de programação linear inteira binária mista PLIBM 5 Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos C03ModelagemeOtimizacaoindd 5 20042018 164233 Otimização mista ou programação linear inteira mista PLIM Quando todas as variáveis são inteiras o modelo é denominado programação inteira pura caso contrário é denominado programação inteira mista Construção dos diferentes tipos de modelos de otimização Os modelos de PL têm sido amplamente utilizados em grande diversidade de problemas de Engenharia de Produção Para entender melhor como ocorre a construção de um modelo de PL será apresentado um exemplo de problema de mix de produção Os processos de produção podem envolver um ou vários estágios ou níveis de produção conforme Batalha 2008 Suponha que uma empresa produza dois produtos produtos 1 e 2 e tenha duas linhas de produção uma para cada produto A linha 1 tem capacidade para produzir 60 produtos do tipo 1 semanalmente enquanto a linha 2 pode produzir 50 produtos do tipo 2 por semana Cada unidade do produto 1 requer uma hora de trabalho para ser produzida e cada unidade do produto 2 requer duas horas Apenas 120 horas de trabalho estão disponíveis por semana para as duas linhas de produção Se as margens de contribuição ao lucro dos produtos 1 e 2 são 20 e 30 respectiva mente quanto deve ser produzido de cada produto por semana de modo a maximizar a margem de contribuição ao lucro total Resposta Definindose x1 e x2 como as quantidades produzidas por semana dos produtos 1 e 2 e Z como a margem de contribuição ao lucro total esse problema de mix de produção pode ser formulado da seguinte forma Max Z 20 x 1 30 x 2 1x1 0x2 60 0x1 1x2 50 1x1 2x2 120 x1 0 x2 0 A funçãoobjetivo maximiza a margem de contribuição ao lucro total Z e a primeira e a segunda restrições garantem que as capacidades de produção das linhas 1 e 2 respectivamente não sejam excedidas A terceira restrição referese à limitação de horas de trabalho disponíveis para as duas linhas e a quarta restrição impõe que as variáveis de decisão x1 e x2 de modelo sejam não negativas Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos 6 C03ModelagemeOtimizacaoindd 6 20042018 164233 No exemplo apresentado anteriormente é possível resolver o problema por meio de uma simples análise gráfica conforme apresentado na Figura 3 As restrições do modelo definem uma região de soluções x1 e x2 factíveis ou viáveis para o modelo Uma solução ótima é produzir x1 60 unidades do produto 1 e x2 30 unidades do produto 2 resultando em um lucro z 2100 Figura 3 Resolução gráfica Fonte adaptada de Batalha 2008 O vídeo disponível no link a seguir apresenta mais um exemplo de modelo de oti mização linear httpsgooglri57na Como já mencionado anteriormente os métodos de otimização não li neares também são usados na Engenharia de Produção porém com uma frequência menor em relação ao método de otimização linear Para ilustrar de forma prática o método de otimização não linear vamos tomar como exemplo o problema apresentado por Batalha 2008 sobre o problema de planejamento da produção com custos quadráticos Supondo que uma empresa produza um determinado produto em n fábricas diferentes onde d é a demanda do produto no período de planejamento e x1 é a variável de decisão do problema que 7 Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos C03ModelagemeOtimizacaoindd 7 20042018 164233 define a quantidade produzida do produto na fábrica i i1n Caso o custo de produzir x1 unidades do produto na fábrica i seja quanto produzir em cada fábrica de maneira a minimizar o custo variável total de produção Z De modo geral este problema pode ser formulado pelo seguinte modelo de programação quadrática Dessa forma a função objetiva minimizar o custo variável total de produção z A primeira restrição garante que a demanda d seja atendida e a segunda restrição impõe que as variáveis de decisão xi sejam não negativas Esse modelo pode ser resolvido por técnicas de programação quadrática ou programação dinâmica determinística Logo temse Xi cid c1 c2 cn para i 1 2 n Imaginando que n 4 fábricas d 500 unidades demandadas do produto e que os coeficientes de custo em cada fábrica sejam c1 20 c2 40 c3 30 e c4 10 respectivamente a solução para custo mínimo é produzir x1 100 x2 200 x3 150 e x4 50 em cada fábrica resultando em x 2500 Anteriormente mostrouse um exemplo de aplicação de programação linear Porém uma limitação importante que impede um número muito maior de aplicações é a hipótese da divisibilidade que requer que valores não inteiros sejam permitidos para variáveis de decisão De acordo com Hillier e Lieberman 2012 em muitos problemas práticos as variáveis de decisão na verdade fazem sentido apenas se tiverem valores inteiros Por exemplo normalmente é necessário alocar pessoal máquinas e veículos para atividades em quantidades inteiras Se a exigência de valores inteiros for a única maneira pela qual um problema se afaste da formulação de programação linear então tratase de um problema de programação inteira PI ou também conhecido como programação dinâmica A fim de facilitar o entendimento vamos supor que uma empresa visa a expandir e construir uma nova fábrica em São Paulo ou então no Rio de Janeiro ou quem sabe até mesmo em ambas as cidades A empresa também considera a possibilidade de construir pelo menos um novo depósito mas a escolha Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos 8 C03ModelagemeOtimizacaoindd 8 20042018 164234 do local está restrita a uma cidade na qual a nova fábrica será construída O valor presente líquido rentabilidade total considerandose o valor temporal do dinheiro de cada uma dessas alternativas é mostrado na quarta coluna da Tabela 1 a seguir A coluna mais à direita fornece o capital necessário já incluído no valor presente líquido para os respectivos investimentos em que o capital total disponível é de R 10 milhões O objetivo é encontrar a combinação de alternativas que maximize o valor presente líquido total Fonte adaptada de Hillier 2014 Número de decisões Pergunta sim ou não Variável de decisão Valor presente líquido Capital exigido 1 Construir a fábrica em São Paulo x1 R 9 milhões R 6 milhões 2 Construir a fábrica no Rio de Janeiro x2 R 5 milhões R 3 milhões 3 Construir o depósito em São Paulo x3 R 6 milhões R 5 milhões 4 Construir o depósito no Rio de Janeiro x4 R 4 milhões R 2 milhões Tabela 1 Dados para exemplo Todas as variáveis de decisão têm a forma binária onde Z será o valor presente líquido total dessas decisões Caso o investimento for feito para construir determinada instalação de modo que a variável de decisão correspondente tenha valor igual a 1 o valor presente líquido estimado desse investimento é dado na quarta coluna da 9 Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos C03ModelagemeOtimizacaoindd 9 20042018 164234 Tabela 1 Se o investimento não for realizado e assim a variável de decisão será igual a 0 o valor presente líquido será 0 Portanto usa unidades de milhões de reais Z 9x1 5x2 6x3 4x4 A coluna mais à direita da Tabela 1 indica que o volume de capital gasto nas quatro instalações não pode exceder R 10 milhões Consequentemente continuando a usar unidades de milhões de reais uma restrição no modelo é 6x1 3x2 5x3 2x4 10 Pelo fato de as duas últimas decisões representarem alternativas mutu amente exclusivas a empresa quer no máximo um depósito novo também precisamos da restrição x3 x4 1 Além disso as decisões 3 e 4 são decisões contingentes pois elas são contingentes em relação às decisões 1 e 2 respectivamente a empresa con sideraria construir um depósito em determinada cidade somente se também fosse construir uma nova fábrica lá Logo no caso da decisão 3 é necessá rio que x3 0 se x1 0 Essa limitação sobre x3 quando x1 0 é imposta adicionandose a restrição x3 x1 De modo similar a exigência de que x4 0 caso x2 0 é imposta adicio nandose a restrição x4 x2 Dessa forma após reescrever essas duas restrições para trazer todas as variáveis para o lado esquerdo da equação o modelo PIB completo ficará Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos 10 C03ModelagemeOtimizacaoindd 10 20042018 164234 De maneira equivalente as três últimas linhas desse modelo podem ser substituídas por uma única restrição xj é binária para j 1 2 3 4 Tanto na PI como na PLIM não existem condições de otimização conhe cidas para testar se uma dada solução viável é ótima a não ser por meio da comparação explícita ou implícita dessa solução com cada uma das soluções viáveis do problema Este é o motivo pelo quais estes são resolvidos por in termédio de métodos de enumeração que buscam solução ótima no conjunto de soluções viáveis Em relação à PLIM Pinedo 2010 apresenta um exemplo de uma empresa que visa a construir hidrelétricas para atender diferentes municípios Dessa forma podese supor que existem n pontos elegíveis para a construção n máximo e desejase instalar certa quantidade de usinas nmínimo sabendo que existem m pontos municípios que devem ser atendidos pelas usinas Em razão das restrições econômicas o número de usinas a serem instaladas deve ser superior ao nmínimo e inferior ao nmáximo Supondo que cada usina tem uma capacidade máxima de produção e estoque e cada cliente tem uma demanda que deve ser integralmente atendida utilizase então uma variável 11 Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos C03ModelagemeOtimizacaoindd 11 20042018 164234 aleatória 0 ou 1 para representar a decisão de instalar uma usina em cada um dos n pontos possíveis 1 se o local j é escolhido para a instalação de uma usina e 0 se não É necessário também uma variável contínua que representa o percentual da demanda do cliente j que foi atendida pela usina i i 1 2 3 m j 1 2 3 3 n Associase um custo fixo de instalação da usina a cada um dos n pontos que representa o custo de construção da usina e os custos fixos de operação O custo de transporte de produtos entre o depósito da usina e o cliente os custos variáveis de operação e suprimentos do depósito inclusive o custo de transporte de produtos entre os pontos de suprimentos primários e os depósi tos são representados pelo custo variável de suprimentos Podese então formalizar o problema de localização das usinas por meio da funçãoobjetivo e do conjunto de restrições a seguir min Z min minimizar o custo total sujeita às restrições Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos 12 C03ModelagemeOtimizacaoindd 12 20042018 164234 A igualdade 30 garante que todos os clientes municípios serão total mente atendidos A expressão 31 garante que nenhuma usina ultrapassará sua produção máxima A equação 32 determina que o número de usinas esteja limitado ao intervalo nmínimo nmáximo Aplicações práticas dos modelos de otimização Batalha 2008 menciona que a pesquisa operacional tem caráter multidiscipli nar uma vez que se estende por praticamente todos os domínios da atividade humana da Engenharia à Medicina passando pela Economia e pela Gestão Empresarial Dentre as áreas de aplicação estão a administração da produção a agricultura a alimentação a coleta de lixo a análise de investimentos a alocação de recursos limitados o planejamento regional a logística o custo de transporte entre várias outras Especifi camente tratando da Engenharia de Produção o modelo de PL é aplicação em Planejamento logístico de frotas e rotas Planejamento da produção de longo médio e curto prazos Decisão em escolha de mix de produtos em manufatura Estratégias operacionais em mineração siderurgia petroquímicas e agricultura Decisão de localização de facilidade ou instalação de fábricas ou centros de distribuição Decisão em finanças na escolha da melhor carteira de investimentos Problemas de mix de produção consistem em decidir quais produtos produzir e quanto produzir de cada produto em cada período considerando as restrições de capacidade dos processos de produção e as limitações de disponibilidade dos recursos envolvidos como mão de obra equipamentos etc de maneira a maximizar a margem de contribuição ao lucro Os processos de produção podem envolver um ou vários estágios ou níveis de produção conforme Batalha 2008 13 Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos C03ModelagemeOtimizacaoindd 13 20042018 164235 A empresa Kellog empresa multinacional americana produtora de cereais utilizou modelos de PL multiperíodos para auxiliar no processo de tomada de decisões de produção e distribuição dos seus cereais Desta a empresa desenvolveu um modelo de planejamento operacional para determinar onde produzir os produtos e como transportálos entre as plantas e os centros de distribuição Com o auxílio desse modelo de otimização operacional a empresa reduziu os custos de produção estocagem e distribuição em US 45 milhões por ano BATALHA 2008 Os modelos de programação não linear também têm sido utilizados em diversos problemas de Engenharia de Produção como o planejamento da produção de gasolina e fluidos de freios porém cabe ressaltar em menor frequência do que os modelos de PL BATALHA 2008 Para programação não linear o mundo em geral tem problemas não lineares que significa que o modelo real violará uma ou todas as propriedades citadas Contudo mui tas aplicações da otimização linear têm sido bemsucedidas mesmo sendo aproximações da realidade Se o modelo contiver sérias violações suficientes para invalidar o modelo linear então se torna necessário utilizar um modelo não linear MINEIRO 2007 Exemplos de problemas que utilizam o método de programação não linear Problemas de mix de produtos em que a margem de lucro por produto varia conforme a quantidade vendida Problemas de transporte com custos variáveis dependendo da quan tidade enviada A Texaco é uma grande empresa do ramo petrolífero Por meio do uso de modelos de programação não linear baseados em modelos de mistura começou a tomar decisões de como refinar óleo cru para produzir gasolina regular unleaded gasolina plus unleaded e gasolina super unleaded em suas refinarias Com o uso destes modelos a empresa passou a economizar cerca de US 30 milhões por ano BATALHA 2008 Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos 14 C03ModelagemeOtimizacaoindd 14 20042018 164235 Da mesma forma que os outros modelos de otimização a programação discreta também têm sido utilizados com sucesso em uma grande diversidade de problemas em Engenharia de Produção incluindo problemas de carga fixa e problemas de dimensionamento e programação de lotes de produção produção e sequenciamento de lotes de bebidas problemas de programação da produção como o balanceamento de linhas de montagem problemas de localização de instalações e facilidades localização de centros de distribuição de combustíveis em postos de gasolina problemas de corte de materiais corte de chapas em fábricas de móveis problemas de carregamento de carga arranjo de caixas em pallets e contêineres problemas de designação e programação de grade de horários atribuição de professores cursos e salas de aula programação de calendários em torneios esportivos problemas de cobertura partição e empacotamento de conjuntos programação de tripulação de aviões e localiza ção de unidades de atendimento emergencial problemas de caixeiroviajante roteiro de clientes a serem visitados por um vendedor problemas de carteiro chinês coleta de lixo nas ruas de uma cidade entre outros BATALHA 2008 A Ford fábrica de automóveis começou a usar modelos de programação discreta no dimensionamento e gerenciamento de testes de veículos protótipos baseados em modelos de cobertura de conjuntos e modelos de simulação desenvolvendo um modelo de otimização de protótipos para orçar planejar e gerenciar a frota de veículos protótipos tendo como objetivo minimizar o número de veículos construídos e sujeitos às restrições dos testes a serem realizados nos veículos dentro dos prazos estabelecidos Com isso estimase que a empresa economizou cerca de US 250 milhões por ano BATALHA 2008 A PLIM é a metodologia mais comum usada em modelos de localizações comerciais e a grande vantagem da PI é permitir que sejam incluídos na análise os custos fixos bem como diferentes níveis de custos variáveis para as instalações A variável continua correspondente às variáveis de processo temperatura peso medida distância etc Os modelos baseados na PLIM têm solução mais complexa em relação àqueles que utilizam a PL 15 Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos C03ModelagemeOtimizacaoindd 15 20042018 164235 1 O modelo de otimização no qual algumas ou todas as variáveis do problema pertencem ao conjunto dos números inteiros é denominado de a otimização discreta b otimização linear c otimização mista d otimização não linear e otimização dinâmica 2 Entre as alternativas a seguir qual representa uma aplicação prática da otimização linear a Problemas de transporte com custos variáveis dependendo da quantidade enviada b Problemas de carga fixa e problemas de dimensionamento e programação de lotes de produção c Busca para localizações comerciais d Planejamento logístico de frotas e rotas e Problemas de designação e programação de grade de horários 3 A seguir apresentase um exemplo de programação linear Imagine que um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a R 2000 de lucro por caixa pelo menos 100 caixas de pêssego a R 1000 de lucro por caixa e no máximo 200 caixas de tangerinas a R 3000 de lucro por caixa Levando em conta que o vendedor queira carregar o caminhão visando a obter o lucro máximo qual alternativa está correta em relação à restrição desse problema Adote X1 quantidade de caixas de pêssego X2 quantidade de caixas de tangerina Ambas as variáveis são positivas e números inteiros a X1 X2 600 sendo que X1 0 e X2 200 b X1 X2 600 sendo que X1 0 e X2 200 c X1 X2 600 sendo que X1 0 e X2 200 d X1 X2 800 sendo que X1 0 e X2 200 e X1 X2 600 sendo que X1 0 e X2 200 4 Em se tratando dos elementos dos modelos de otimização assinale a alternativa correta a Os objetivos visam a definir e identificar as variáveis de decisão do problema b As restrições definem o conjunto de equações ou inequações do problema c As restrições buscam definir critérios de avaliação capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras d As variáveis de decisão podem assumir valores unicamente positivos e O problema tem um conjunto de variáveis manipuláveis no procedimento de busca pelo ótimo e estas são as restrições do problema 5 Uma empresa química visa a instalar uma nova filial o que gerará novas vagas de trabalho e aumento de imposto Para isso a empresa Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos 16 C03ModelagemeOtimizacaoindd 16 20042018 164236 recebeu cinco propostas diferentes de municípios que têm interesse em receber as novas instalações Qual o método de otimização mais apropriado que a empresa deve escolher para tomada da decisão a Otimização dinâmica b Otimização não linear c Otimização linear d Otimização linear inteira mista e Otimização discreta BATALHA M O Org Introdução à engenharia de produção Rio de Janeiro Elsevier 2008 CORRAR L J THEÓPHILO C R Coord Pesquisa Operacional para Decisão em Con tabilidade e Administração São Paulo Atlas 2004 HILLIER F S LIEBERMAN G J Introdução à pesquisa operacional 9 ed Porto Alegre AMGH 2012 MINEIRO A A C Aplicação de Programação NãoLinear como ferramenta de auxílio à tomada de decisão na gestão de um clube de investimento 2007 105 f Dissertação Mestrado em Engenharia de Produção Universidade Federal de Itajubá Itajubá 2007 MOREIRA D A Administração da produção e operações 2 ed São Paulo Cengage Learning 2008 NEUMANN C Engenharia de produção curso preparatório para concursos Rio de Janeiro Campus 2015 PINEDO K S Estudo sobre determinação de pontos ótimos para localização e implantação de usinas de biodiesel no estado do Tocantins Dissertação Mestrado em Agroenergia Universidade Federal do Tocantins Palmas 2010 Leituras recomendadas LACHTERMANCHER G Pesquisa operacional na tomada de decisões 4 ed São Paulo Pearson 2009 LOESCH C HEIN N Pesquisa Operacional fundamentos e modelos São Paulo Sa raiva 2009 PERIN FILHO C Introdução à Simulação de Sistemas Campinas Unicamp 1995 17 Análise de problemas modelos de otimização lineares não lineares discretos e mistos C03ModelagemeOtimizacaoindd 17 20042018 164236 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Dica do professor As etapas da pesquisa operacional são as seguintes 1 Definir o problema de interesse e coletar dados 2 Formular um modelo matematico para representar o problema 3 Desenvolver um procedimento computacional a fim de derivar solucoes para o problema com base no modelo 4 Testar o modelo e aprimoralo conforme necessario 5 Prepararse para a aplicacao continua do modelo conforme prescrito pela gerencia 6 Implementar o modelo Especificamente falando da etapa 2 existem diferentes métodos de formulação matématica e alguns destes são mostrados na Dica do Professor a seguir Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Na prática É essencial que os engenheiros especialmente os engenheiros de produção saibam identificar os elementos dos modelos de otimização sendo estes Decisões onde são identificadas as possíveis decisões ou seja são definidas as variáveis de decisão Objetivos onde são definidos os critérios de avaliação capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras ou seja é definida a função objetivo Restrições são identificadas quais as restrições que limitam as decisões a serem tomadas ou seja é definido o conjunto de equações ou inequações Os modelos de programação linear têm sido amplamente utilizados em grande diversidade de problemas de Engenharia de Produção Veja a seguir um exemplo prático do uso deste método na indústria Saiba Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Gestão e produção O transporte marítimo desempenha importante papel para a movimentação de grandes volumes de carga entre grandes distâncias Neste artigo estudase um problema de roteirização e programação dos navios para o transporte de petróleo das plataformas offshore para os terminais terrestres das refinarias motivado pelas operações de uma empresa petrolífera no Brasil Apresentase uma abordagem de otimização baseada num modelo de programação inteira mista para representar apropriadamente o problema de roteirização e programação no contexto desta empresa Confira no artigo a seguir os resultados e conclusões obtidos pelos autores Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Programação linear inteira mista e algoritmo genético aplicados ao problema de transferência e estocagem de produtos em uma indústria petrolífera As transformações econômicas a dinâmica dos mercados e a crescente competitividade fazem parte da globalização mundial a qual intensifica o comércio internacional de produtos e serviços Este trabalho aborda um problema de programação da produção scheduling envolvendo estocagem e distribuição de diesel em uma refinaria de petróleo Para solucionar este problema primeiramente foi utilizado um modelo de Programação Linear Inteira Mista PLIM com representação do tempo discreta Para saber mais a respeito confira no artigo a seguir Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Programação linear inteira mista aplicada à coordenação ótima de relés de sobrecorrente Nenhum sistema elétrico está imune à falha Sua proteção apresenta um papel fundamental na preservação de equipamentos geradores chaves seccionadoras condutores capacitores transformadores etc e indivíduos que tem contato com eles Neste trabalho é proposta uma metodologia para a coordenação ótima de relés de sobrecorrente em sistemas radiais utilizando PLIM Programação Linear Inteira Mista Leia o artigo a seguir e saiba mais a respeito deste método de otimização Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar